구조 텐서

수학에서 구조 텐서(structure tensor)는 함수의 구배에서 파생된 행렬이다.점 주위의 특정 근방에서 구배 분포를 설명하고 정보가 관측 좌표를 따르도록 합니다.구조 텐서는 영상 처리 및 컴퓨터 ^[1]^[2]^[3]시각에 자주 사용됩니다.

2D 구조 텐서

연속 버전

두 변수 p = (x, y)의 $함수$ I {\ $displaystyle$ I $}$ 의 $I$ 경우 구조 텐서는 2×2 행렬이다.

S_{w}(p)=bmatrix(r)(I_{x}(p-r))^{2},dr&\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r),dr\[10pt]\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r),dr&\int w(r)(I_{y}(p-r))^{2},dr\end{bmatrix}

$I_{x}$ 서 I x $(\$ $I_{y}$ I $(\$ $displaystyle$ $I_{y})$ 는 $I_{y}$ x 및 y에 대한 $I$ 의 $I$ $부분$ 도함수입니다. 적분 범위는 $\mathbb {R} ^{2}$ $(\$ 이며, w는 두 분포에서 고정된 "창 함수"입니다.les. 행렬 $S_{w}$ w { $displaystyle$ S_ ${w$ 자체는 p = (x, y)의 함수입니다.

위의 $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ 은 S $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ( $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ p ) $=$ w ( $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ) $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ( $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ - $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ) $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ r \ $displaystyle S_{w}(p$ )=\ $int$ w $(r)$ 로도 쓸 수 있습니다. $S_{0}(p-r),dr$ $S_{0}$ 서 $S_{0}$ 0 $(\$ 은 $S_{0}$ 다음에 의해 정의된 매트릭스 값 함수입니다.

\displaystyle S_{0}(p)=bgin{bmatrix}(I_{x}(p))^{2}&I_{x}(p)I_{y}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{y}(p)&(I_{y}(p))^{2}\end {bmatrix}}

구배 $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ I $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ ( $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ , $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ y ) $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ { \ $displaystyle$ \ $displayla$ I = ( $I _$ { x ) } 。 $I_{y}^{\text{$ $I$ $({displaystyle$ I $})$ 의 $I$ T $}$ 는 $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ 2×1(단열) 매트릭스로 표시됩니다.여기서 $(.)^{\text{T}}$ $T}}$ 은 $(.)^{\text{T}}$ 행 벡터를 열 벡터로 변환하는 전치 연산을 나타냅니다. $S_{0}$ $S_{0}$ 0 $({$ 은 $S_{0}$ 행렬 곱 $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ I $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ )( $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ i $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ $(\$ (\ $nabla I)^{\text})$ 로 쓸 수 있습니다. $T}}$ 또는 $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ 텐서 또는 외적 $\nabla I\otimes \nabla I$ I $\nabla I\otimes \nabla I$ $\nabla I\otimes \nabla I$ \ $displaystyle$ \ $nabla$ I \ $nabla$ I $\nabla I\otimes \nabla I$ }. 단 $,$ $S_{w}(p)$ $S_{w}(p)$ w $S_{w}(p)$ ( $S_{w}(p)$ { $displaystyle$ $S_{w}$ (p $)$ 는 $S_w(p)$ $w$ dirac delta 함수인 경우를 제외하고 일반적으로 이 방법으로 인수화할 수 없습니다.

디스크리트 버전

이미지 처리 및 기타 유사한 애플리케이션에서 $함수$ I $\displaystyle$ I $\$ displaystyle $I$ I $\displaystyle$ I[ $I[p]$ ]\displaystyle I $[p$ 는 일반적으로 $I[p]$ 의 이산 배열로 지정됩니다. 여기서 p는 정수 인덱스 쌍입니다.주어진 픽셀에서 2D 구조 텐서는 보통 이산 합계로 간주된다.

S_{w}[p]=sum begin{bmatrix}\sum _{r}w[r](I_{x}[p-r])^{2}&\sum _{r}w[r]I_{x}[p-r]I_{y}[p-r]\\[10pt]\sum _{r}w[r]I_{x}[p-r]I_{y}[p-r]&\sum _{r}w[r](I_{y}[p-r]^{2}\end {bmatrix}

여기서 합계 지수 r은 지수 쌍의 유한 세트(일반적으로 $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ { - $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ . $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ + $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ × $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ { - $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ . + $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ { - m } { $display$ \ { - $m$ } )에 걸쳐 있다. $+m\}\times \{-m..$ $+m\}),$ w[r]는 $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ r에 의존하는 고정 "중량"으로 모든 무게의 합계가 1이다. $I_{x}[p],I_{y}[p]$ $I_{x}[p],I_{y}[p]$ x [ $I_{x}[p],I_{y}[p]$ $I_{x}[p],I_{y}[p]$ 、 $I_{x}[p],I_{y}[p]$ $I_{x}[p],I_{y}[p]$ [ p $]$ { $display style$ I _ { $x$ } [ $p$ ] 、 $I_{y}[p]}$ 는 $I_x[p],I_y[p]$ 픽셀 p에서 샘플링된 편도함수이며, 예를 들어 유한 차분 공식에 의해I\ $displaystyle I$ 에서 $I$ 추정할 수 있습니다.

구조 텐서의 공식은 $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ w [ $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ ] $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ r $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ [ $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ ] $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ [ $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ - $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ $]$ { $display$ S $_$ { $w$ } [ p ] = \ $sum$ _ { $r }$ w $[$ ] $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ 쓸 수 있다. $S_{0}$ [ p - r $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ ] $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ $S_{0}$ 서 S $S_{0}$ 0 { $display style$ S _ { 0 $S_{0}$ }은 $S_{0}$ 다음과 같은 매트릭스 값 배열입니다.

S_{0}[p]=begin{bmatrix}(I_{x}[p])^{2}&I_{x}[p]I_{y}[p]\[10pt]I_{x}[p]I_{y}[p]&(I_{y}[p])^{2}\end {bmatrix}

해석

2D 구조 $S_{w}$ $S_{w}$ w {\ $displaystyle S_{w}$ 의 $S_{w}$ 중요성은 팩트 고유값 ${\$ $\lambda _{1},\lambda _{2}$ , $2$ 2 { $displaystyle$ \ $lambda$ _ {1 $},$ \ $lambda$ _ ${2$ } $\lambda _{1},\lambda _{2}$ ( $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq 0$ 2 2 $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq 0$ 2 $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq 0$ 0 \ $displaystyle \lambda$ _ $1 }$ \ > 0 $gebda$ _ gebda _ 2 )에서 유래한다. $e_{1},e_{2}$ {\ $displaystyle e_{1$ }, $e_{$ 2 $e_{1},e_{2}$ }}: $=$ ( $\nabla I=(I_{x},I_{y})$ $\nabla I=(I_{x},I_{y})$ , $\nabla I=(I_{x},I_{y})$ y $\nabla I=(I_{x},I_{y})$ ) {\ $displaystyle \displayla$ I =( $I_{x})$ 의 분포를 요약합니다 $.$ $w$ $\$ $displaystyle$ w로 $w$ $w$ 되는 창 내에서 $I_$ { $y$ $p$ ^[1]^[2]^[3]의 $\nabla I = (I_x,I_y)$ I_ ${$ $y}$ 가 p\displaystylep를 중심으로 $p$ 됩니다.

즉, $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ 1 $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ > $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ 2 \ $displaystyle$ \ $lambda$ _ { } \ $lambda$ _ { $}$ 인 경우 $-e_{1}$ $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ 1 $e_{1}$ \ $display style$ - $e$ ${$ } $e_{1}$ （ $-e_{1}$ - e $-e_{1}$ \ displaystyle - e _ { $-e_{1}$ ） the the the the the that the that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that within that that that that that that that that that that that that that that that

특히, 만약λ 1>0,λ 2=0{\displaystyle \lambda_{1}>, 0,\lambda _{2}=0}e1{\displaystyle e_{1}}(, 부정적이거나 0긍정적인)그 다음에 그라데이션이 항상 배수, 이러한 경우가 있다면 나는 창 안의{\displaystyle 1세}방향 e1{\displaystyle e_을 따라 다양하다.{1}} 그러나 $({$ 를 $e_{2}$ 일정하다. 이 고유값의 조건은I({ $displaystyle$ I})의 $I$ Iso 곡선이 평행선으로 구성되기 때문에 선형 대칭 조건이라고도 한다. 즉, 2차원 $I$ 를 생성할 수 있는 1차원 $함수$ g({ $displaystyle$ g})가 $g$ 존재한다 $.$ $isplaystyle$ I $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ I ( $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ , $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ ) $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ ( $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ p $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ ) { $displaystyle$ I ( $x$ , y ) $= g$ ( $d^$ { \ $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ { ) $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ 상수 $벡터$ d $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ = $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ ( $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ x , $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ ) $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ { \ $displaystyle$ d $=$ ( $d$ _ { $x$ , $d$ _ { $y$ )^{ $T}}$ 및 $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ $p=(x,y)^{T}$ p $=$ ( $p=(x,y)^{T}$ , $p=(x,y)^{T}$ ) $p=(x,y)^{T}$ {\ $displaystyle$ p=( $x, y)^$ ${T$

반면, $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ 1 $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ ${\$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ { $displaystyle$ \ $displayda _$ {1} = \ $displayda _ {$ 2} $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ }인 경우 창의 그라데이션은 주요 방향을 가지지 않습니다. 예를 들어 이미지가 해당 창 내에서 회전 대칭인 경우 발생합니다.이 고유값 조건은 창의 모든 경사 방향이 동일한 빈도/확률일 때 유지되기 때문에 균형체 또는 방향 평형 조건이라고도 합니다.

$또한$ $조건$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ 1 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ 2 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ （ \ $displaystyle$ \ $displayda$ _ { } = \ $displayda$ _ { $\nabla I=(0,0)$ $\nabla I=(0,0)$ ( $\nabla I=(0,0)$ , $\nabla I=(0,0)$ 0 $\nabla I=(0,0)$ ) $W$ { \ $displaystyle$ $\ displaystyle$ I = ( $0$ , $0$ ) } $W$ ( ( ( ( ( constant constant constant constant constant constant constant constant constant constant constant and and constant constant constant and and and and and and and and and and and and and and further further and and and constant and and and and and and and and and and = $0$ further $I$ further further further further further further further further further

보다 일반적으로 k=1 또는 k=2에 대한 $\lambda _{k}$ k ${\displaystyle$ \ $displayda _{k$ 의 값은 $e_{k}$ e $e_{k}$ { $displaystyle e_{$ k $e_{k}$ 에 $따른$ I {\ $displaystyle$ I $}$ 의 $I$ 방향 도함수의p 근방의 w 가중 $w$ $평균$ 이다. $S_{w}$ w\ $displaystyle S_{w}$ 의 $S_{w}$ 두 고유값 사이의 상대적 불일치는 윈도우 내 구배 기울기의 이방성 정도, 즉 특정 방향(및 그 반대)^[4]^[5]에 얼마나 강하게 편향되어 있는지를 나타내는 지표입니다.이 속성은 다음과 같이 정의된 일관성에 의해 수량화할 수 있습니다.

c_{w}=\leftfrac {\displayda _{1}-\displayda _{2}}{\displayda _{1}+\displayda _{2}}\right}{2}

[ $\lambda _{2}>0$ $\lambda _{2}>0$ $>$ 0 \ $displaystyle$ \ $displayda _ { 2 >$ 0 $\lambda _{2}>0$ ]의 경우.이 양은 구배가 완전히 정렬된 경우 1이고 선호하는 방향이 없는 경우 0입니다.윈도우에서 이미지가 일정할 경우( 1 1 $=$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ $=$ 0 {\ $displaystyle$ \ $displayda$ _{1}=\ $displayda _{2$ }= $0})$ 에도 공식이 정의되지 않습니다.일부 저자는 이 경우 0으로 정의합니다.

윈도우 내부의 구배 $\displaystyle\nablaI$ 의 $\nabla I$ 평균은 이방성을 나타내는 좋은 지표가 아닙니다.정렬되었지만 반대 방향의 구배 벡터는 이 평균에서 상쇄되는 반면 구조 텐서에서는 적절히 ^[6]합산됩니다.이것이 $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ ( this $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ I $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ ) ( $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ i $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ ) $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ {\ $displaystyle (\nabla$ I) (\ $nabla$ I $)^{\text$ {\text $}$ 의 이유입니다. $T}}}$ 은 구조 $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ 텐서의 평균화에서 $\nabla I$ I \ $displaystyle \nabla$ I $\nabla I$ 대신 방향을 최적화하기 위해 사용됩니다.

윈도우 $w$ 의 유효 반지름을 w\ $displaystyle$ 로 확장 $($ 즉, 분산 증가)함으로써 공간 ^[5]^[7]분해능을 감소시켜도 노이즈 발생 시 구조 텐서를 더욱 견고하게 만들 수 있다.이 성질에 대한 형식적 근거는 아래에 자세히 설명되어 있으며, 여기서 다척도 구조 텐서라고 불리는 구조 텐서의 다척도 공식은 창 기능의 공간적 범위의 변화 하에서 방향 데이터의 진정한 다척도 표현을 구성하는 것으로 나타난다.

복잡한 버전

2D 구조 텐서의 해석과 구현은 복잡한 숫자를 사용하여 ^[2]특히 쉽게 접근할 수 있습니다.구조 텐서는 3개의 실수로 구성됩니다.

\displaystyle S_{w}(p)=bgin{bmatrix}\mu _{20}\mu _{11}\[10pt]\mu _{11}\mu _{02}\end {bmatrix}}}

${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ 서 ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ 20 ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ ( ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ ) ( ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ ( ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ - ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ ) ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ \ $textstyle$ \ $mu$ _ { $20$ = \ $int$ ( $w$ ( $r$ ) ( I _ { $x$ } ( p ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ - ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ )^{ $2}$ , $dr$ 、 ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ 02 ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ （ ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ $textstyle$ \ $mu =$ { $02$ int $int$ } _ 02 （ I ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ r ） $(r) I_{x}(p-r)$ $I_{y}(p-r),dr}.$ 여기서 ${\textstyle \mu _{11}=\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r)\,dr}$ 적분은 이산 표현을 위한 합계로 대체될 수 있습니다.Parsval의 아이덴티티를 사용하면 3개의 실수가 I $\display style$ I의 $파워$ 스펙트럼의 2차 모멘트가 되는 것이 명확합니다. $I의$ 파워 스펙트럼의 다음 2차 복합 모멘트는 다음과 같이 기술할 수 있습니다 $.$

\textstyle \kappa _{20}=\mu _{20}-\mu _{02}+i2\mu _{11}=\int (w(r)(I_{x}(p-r)+i)I_{y}(p-r)^{2},dr=(\lambda_{1}-\lambda_{2})\exp(i2\phi)}

$i={\sqrt {-1}}$ 서 i $i={\sqrt {-1}}$ - 1 $i={\sqrt {-1}}$ {\ $displaystyle$ i $=sqrt$ {- $1}}$ 및 $i={\sqrt {-1}}$ $\phi$ {\ $displaystyle \phi$ }은 $\phi$ $\phi =\angle {e_{1}}$ 구조 텐서의 가장 $\phi =\angle {e_{1}}$ 한 고유 벡터의 방향 각도이며 $e$ ∠ 1 \ $displaystyle$ \ $phi$ = \ $angle$ {e_1 $}$ $\phi =\angle {e_{1}}$ 및 $\lambda _{2}$ $\lambda _{1}$ 1 \ $display$ $\lambda _{1}$ style 2 \ $da$ _da $_da$ _ $\lambda _{2}$ displaystyle \da _ displaystyle \da _ display }입니다 $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ .t 및 최하위 고유값입니다.따라서 $\kappa _{20}$ 20 $\kappa _{20}$ { $displaystyle$ \ $kappa$ _ { $20$ } $|\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}$ $|\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}$ 1 - $|\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}$ 2 { $20$ } = \ $displaystyle$ \ $kappa$ _ { 20 } = \ $displayda$ _ {1 $}$ - \ displayda _ {2} = \ displaystyleda _ {1} - \ $dispartda$ _ { }}} $andda$ _ { {2} $|\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}$ in displayda _ {2}}}의 $\kappa _{20}$ $|\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}$ 복소수의 복소수로서 최적의 방향을 모두 포함하게 된다.또한 구배가 복소수로 표현되고 제곱에 의해 다시 매핑되는 경우(즉, 복잡한 구배의 인수 각도가 2배), 평균은 매핑된 도메인에서 최적 방향(배각 표현)과 관련 확실성 모두를 직접 전달하기 때문에 최적기로 작용한다.따라서 복소수는 이미지I의 선형 구조( $선형$ 대칭 $I$ 가 어느 정도 존재하는지 나타내며, 복소수는 고유값과 고유 벡터를 명시적으로 계산하지 않고 ( $복소$ ) 배각 표현에서의 구배를 평균하여 직접 구한다.

$마찬가지$ 로 I $($ $디스플레이$ 스타일 I $)$ 의 $I$ 파워 스펙트럼의 다음 2차 복잡한 순간은 항상 현실입니다. $왜냐하면$ 나는 현실적이기 때문입니다.

\textstyle \kappa _{11}=\mu _{20}+\mu _{02}=\int (w(r) I_{x}(p-r)+iI_{y}(p-r) ^{2},dr=\sqda _{1}+\sqda _{2}}

$\lambda _{1}$ 1 $\lambda _{1}$ \ $displaystyle$ \ $displayda$ _ { $1$ } $\lambda _{2}$ 2 $\lambda _{2}$ \ $displaystyle$ \ $displayda$ _ {2 $}$ values $\lambda _{2}$ as asvalues canvalues as 。이번에는 복잡한 구배 크기가 제곱된다는 점에 유의하십시오(항상 실재합니다).

그러나, 그것의 고유 벡터에서 구조 텐서를 분해하는 것은 텐서 성분을 다음과 같이 산출한다.

S_{w}(p)=\lambda_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}e_{2}e_{2}^{\text{T}}=(\lambda_{1}-\lambda_{2}e_{1}^{\text{)T}}+\lambda _{2}(e_{1}e_{1}^{\text{}T}}+e_{2}e_{2}^{\text{T}})=(\lambda _{1}-\lambda _{2}e_{1}e_{1}^{\text{)T}}+\lambda_{2}E

$E$ 서 E{\ $displaystyle$ E $}$ 는 $E$ 2D의 아이덴티티 매트릭스입니다. 왜냐하면 두 고유 벡터는 항상 직교(및 합계와 동일)하기 때문입니다.분해의 마지막 식 중 첫 번째 항 $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ 1 - $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ 2 $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ e $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ { $display$ style ( \ $lambda$ _ { $1}$ - \ $lambda$ _ { $2} e _ {1}^{$ \ $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$ { } $T$ 는 모든 방향 정보를 포함하는 구조 텐서의 선형 대칭 성분을 나타내고(랭크 1 매트릭스로), 두 번째 항은 방향 정보가 결여된 텐서의 균형 본체 성분을 나타낸다(등식 $매트릭스$ E {\ $display$ E $}$ 포함).I $(\displaystyle$ I $)$ 에 $I$ 얼마나 많은 방향 정보가 있는지 확인하는 것은 $\lambda _{1}-\lambda _{2}$ - $(\$ _{ $1}-\lambda$ _{ $2})$ 와 $\lambda _{1}-\lambda _{2}$ $\lambda _{2}$ (\ $displaystyle \lambda$ _ ${2$ 를 비교하는 것과 같습니다.

분명히 $§$ $(\displaystyle$ \ $kappa _{$ 20 $\kappa _{20}$ })은 텐서 분해의 첫 번째 항과 복소수 등가이다.

(\displaystyle (\kappa _{20} -\kappa _{11})/2=\displayda _{2})

두 번째 항에 해당합니다.따라서 세 개의 실수로 이루어진 두 개의 스칼라는

{displaystyle _{c}\kappa _{20}=(\displayda _{1}-\displayda _{2})\exp(i2\phi)&=&w*(h*I)^{2}\kappa _{11}=\displaystyda _{1}+\kappa _{{2}&w*\da _{{{{}\di}^2}^2}\d}\d

$h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ 서 $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ h ( $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ , $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ y ) $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ ( $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ + $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ ) exp $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ ( $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ - ( $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ + $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ 2 $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ ) $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ / ( $2 σ$ 2 ) $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ \ $display h$ ( x , y ) $=$ ( x + $iy )$ \ exp ( $x ^$ ${$ 2} + y ^ { $2}$ ) $}$ 는 $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ (복소수) 그라데이션 필터이며 $,$ (복소수 $)*)$ 는 $*$ convalution입니다.여기서와 $같이$ \ $displaystyle$ w는 일반적으로 $w$ 가우스(외측 스케일을 정의하는 특정 분산)인 로컬 이미지를 정의하고 $,$ ${\\displaystyle \sigma$ 는 $2\phi$ 2 $2\phi$ {\\ $displaystyle$ 2 $\phi }$ 의 $\sigma$ $2\phi$ 유효 주파수 범위를 결정하는 (내측 스케일 $)$ 파라미터입니다.짝짓기

복잡한 표현의 우아함은 구조 텐서의 두 성분이 평균으로 그리고 독립적으로 얻어질 수 있다는 것에서 비롯된다.즉, § $(\$ _ ${20})$ 및 $\kappa _{20}$ § $(\$ _ ${11})$ 을 $\kappa _{11}$ 축척 공간 표현에 사용하여 고유 방향의 증거와 대립 가설의 증거, 다중 균형 방향의 존재를 설명할 수 있다.엔벡터 및 고유값.지금까지 복소수 제곱과 같은 함수는 크기가 2보다 큰 구조 텐서에는 존재하지 않는 것으로 나타났다.Bigun 91에서는 복소수가 교환대수인 반면, 그러한 함수를 구성할 수 있는 후보인 사분위수가 비가환대수를 ^[8]구성하기 때문에 이것이 타당한 논거와 함께 제시되었다.

구조 텐서의 복잡한 표현은 지문 분석에 자주 사용되며, 지문 분석을 강화하는데 사용되는 특정성을 포함하는 방향 맵을 얻고, 전역(코어 및 델타) 및 국소(최소) 특이점의 위치를 찾고 지문의 품질을 자동으로 평가하기 위해 사용된다.

3D 구조 텐서

정의.

구조 텐서는 완전히 유사한 방법으로 세 변수 p=(x,y,z)의 $함수$ I $(\displaystyle$ I $)$ 에 $I$ 대해서도 정의할 수 있다.즉, 연속 버전에서는 $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ w ( $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ) $=$ $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ w ( $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ) $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ( $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ - $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ ) $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ r \ $displaystyle S_{w}(p$ )=\ $int$ w $(r)$ 가 $S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr$ . $S_{0}(p-r),dr$ 여기서

\displaystyle S_{0}(p)=bgin{bmatrix}(I_{x}(p))^{2}&I_{x}(p)I_{y}(p)&I_{x}(p)I_{z}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{y}(p)&(I_{y}(p))^{2}&I_{y}(p)I_{z}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{z}(p)&I_{y}(p)I_{z}(p)&(I_{z}(p))^{2}\end {bmatrix}}

$I_{x},I_{y},I_{z}$ 서 I x $I_{x},I_{y},I_{z}$ $I_{x},I_{y},I_{z}$ y $I_{x},I_{y},I_{z}$ $I_{x},I_{y},I_{z}$ { $displaystyle I$ _ { $x$ } 。 $I_{y}, I_{z$ $I$ 는 $I_x,I_y,I_z$ $I의$ 3가지 부분 도함수이며, $(\$ $\mathbb {R} ^{3}$ 의 적분 범위입니다.

디스크리트 $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ 에서는 S $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ [ $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ p ] $=$ w $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ [ $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ ] $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ 0 $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ [ $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ - r $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ ]{ $display style$ S $_$ { w $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ } [ p ]= \ $sum$ _ ${$ r } $w$ [ r $S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]$ ] $S_{0}[p-r$ 여기서

S_{0}[p]=begin{bmatrix}(I_{x}[p])^{2}&I_{x}[p]I_{y}[p]&I_{x}[p]I_{z}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{y}[p]&(I_{y}[p])^{2}&I_{y}[p]I_{z}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{z}[p]&I_{y}[p]I_{z}[p]&(I_{z}[p])^{2}\end {bmatrix}

합계는 일반적으로 $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ { $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ - $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ . $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ + $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ × $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ { - $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ . + $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ × { - m . + m } × $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ { - $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ . + $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ $}$ { - m } { displaystyle \ { - $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ m ; $+m\}\times \{-m..$ $+m\}\times \{-m..$ $+m\}:$ 몇 $\{-m..+m\}\times \{-m..+m\}\times \{-m..+m\}$ m 동안.

해석

2차원의 경우와 마찬가지로 $S_{w}[p]$ [ p $S_{w}[p]$ 의 고유값 ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ $23,$ \ $lambda$ _ ${2},$ \ $lambda$ _ ${3$ } 및 대응하는 ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ e ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ , e ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ 2, $^3.$ $창$ w\ $displaystyle$ w $w$ 에 의해 정의된 p 근방에서의 경사 방향의 분포를 marize 한다. 이 정보는 반축이 고유값과 동일한 타원체로 시각화되어 대응하는 고유 ^[9]^[10]벡터를 따라 지시될 수 있다.

3D 구조 텐서의 타원체 표현.

특히 타원이 시가처럼 한쪽 축만을 따라 늘어나는 경우(즉, $\lambda _{1}$ 1 $\lambda _{1}$ \ $display$ style \ $lambda$ _ { $\lambda _{2}$ $}$ $\lambda _{2}$ 2 \ $display$ style \ $lambda$ _ { } $\lambda _{3}$ 3 \ $display$ style \ $lambda$ _ {3 $}$ ） $e_{1}$ 2 2 $\lambda _{2}$ 2 2 \ display style \ $lambda$ _ { both 3 $\lambda _{3}$ both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both both $({$ I({ $displaystyle$ I $})$ 의 $I$ 등각면이 평탄하고 해당 벡터에 수직인 경향이 있습니다.예를 들어 p가 얇은 판 모양의 피쳐에 있거나 대조적인 값을 가진 두 영역 사이의 부드러운 경계에 있을 때 이러한 상황이 발생합니다.

표면과 같은 근방의 구조 텐서 타원체("surfel")입니다. 여기서

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

1

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

>

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

2

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

（

\

display style

\

lambda

_ {1}

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

> \ !

>

\

seconda

_ {

2}

\ about \

seconda

_ {3}

\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}

} 。

3D 영상의 두 균일한 영역 사이의 매끄러운 경계 표면을 가로지르는 3D 창입니다.

대응하는 구조 텐서 타원체.

타원체가 팬케이크처럼 한 방향으로만 평탄한 경우( $\lambda _{3}$ 3 $\$ $displaystyle \lambda$ _ ${$ 3 $\lambda _{3}$ } $1$ 1 $\lambda _{1}$ \ $displaystyle$ $\lambda _{2}$ \ $lambda$ _ ${$ 1} 및 $\lambda _{1}$ ${\$ 2 \ $displaystyle$ \ $lambda$ _ ${$ } ） $\lambda _{2}$ $e_{3}$ 3 \ $displaystyle$ $e_{3}$ {\ both both both both both both both both both3 \lambda _ { ） $e_{3}$ outstyle {\ {\ both both both both {\ {\ {\ both both both both both both both both both both both both both both both both both {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ both if {\ {\ $e_{3$ ; 즉, 등각면은 그 벡터에 평행한 튜브와 같은 경향이 있습니다.예를 들어 p가 얇은 선 모양의 피쳐에 있거나 대조적인 값을 가진 두 영역 간 경계의 날카로운 모서리에 있을 때 이 상황이 발생합니다.

선과 같은 근방의 구조 텐서("곡선")입니다. 여기서

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}>\!>\lambda _{3}

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}>\!>\lambda _{3}

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}>\!>\lambda _{3}

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}>\!>\lambda _{3}

>

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}>\!>\lambda _{3}

3 \

displaystyle

\

lambda

_ {1

}

\ about

\

lambda

_ {2

}

> \!

>\sqda

_

{3

3D 영상의 선과 같은 특징을 가로지르는 3D 창입니다.

대응하는 구조 텐서 타원체.

마지막으로, 타원체가 대략 구면( $즉$ , display 1 $\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}$ 2 $display$ 3 $\$ $lambda$ _ { $1$ } \ $approx$ 약 \ $lambda$ $_$ {2} \ $display$ )인 경우, 창의 경사 방향이 거의 균등하게 분포되어 있고 선호도가 표시되지 않은 상태이므로I는 $다음$ 과 같이 $I$ 한다 $I$ $.$ 그 부근의 c.예를 들어 함수가 p 부근에 구면 대칭을 가지고 있을 때 이러한 현상이 발생합니다.특히 타원체가 한 점(즉, 3개의 고유값이 0인 경우)으로 퇴화하면 창 내에서I {\ $displaystyle$ I $}$ 이 일정(구배 0)함을 $I$ 합니다.

등방성 근방의 구조 텐서입니다.여기서

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}

1

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}

\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}

\

displaystyle

\

lambda

_ {1} \

about

\

lambda

_ {2

}

\ about

\

lambda

_ {3

}

3D 영상의 구형 피쳐를 포함하는 3D 창입니다.

대응하는 구조 텐서 타원체.

다중 스케일 구조 텐서

구조 텐서는 스케일 공간 분석에서 중요한 도구입니다. $I$ 의 멀티스케일 구조 텐서 $($ 또는 멀티스케일 $2차$ 모멘트 매트릭스 $I$ )는 두 스케일 파라미터에 걸쳐 정의된 다른 단일 파라미터 스케일 공간 특징과 대조적입니다.영상의 $(\nabla I)(x;t)$ 구배( $(\nabla I)(x;t)$ ; $(\nabla I)(x;t)$ )(x $(\nabla I)(x;t)$ ; $(\nabla I)(x;t)$ )(\ $displaystyle (\nabla$ I $)(x;t$ 를 계산할 때 사전 평활량을 결정하려면 로컬 스케일 $t$ (\ $displaystyle$ t $t$ 라고 하는 스케일 파라미터가 필요합니다.공간 e를 지정하려면 통합 $스케일$ s(\ $displaystyle$ s $s$ 라고 하는 스케일 파라미터가 필요합니다.윈도 $w(\xi ;s)$ w ( $w(\xi ;s)$ ; $w(\xi ;s)$ ) \ $displaystyle$ w ( \ $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ $; s$ )의 $w(\xi; s)$ xtent는 구배 외부 곱의 컴포넌트가 $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ 그 위에 있는 영역의 가중치를 결정합니다( $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ ) T \ displaystyle ( \ $nabla I )^{$ \ $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ text { } $T}}}$ 이 $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ (가) 축적되었습니다.

좀 더 정밀하게, 내가 나는real-valued 신호 Rkm그리고 4.9초 만{\displaystyle \mathbb{R}^{k}에}정의된{\displaystyle 1세}. 어떤 지역 범위 동안이 아니였다>0{\displaystyle t>0}, 나는 이 신호의{I(x는)\displaystyle}(x는)multi-scale 표현을 제가 옆을 내리(x는))h(x는)∗ 나는())다고 가정해 보자. {\di $스플레이스타일 I(x;t)=h(x;t)*$ $I(x)}$ $h(x;t)$ 서 $I(x;t)=h(x;t)*I(x)$ h $h(x;t)$ ; $)$ { $displaystyle$ h $(x;t)}$ 는 평활 전 커널을 나타냅니다 $h(x;t)$ .또한 $(\nabla I)(x;t)$ ( $(\nabla I)(x;t)$ I $(\nabla I)(x;t)$ ) ( $(\nabla I)(x;t)$ ; $(\nabla I)(x;t)$ ) { $displaystyle (\nabla$ I $)(x;t)}$ 은 $(\nabla I)(x; t)$ 축척 공간 표현의 구배를 나타낸다.그런 다음, 다중 스케일 구조 텐서/초 모멘트 행렬은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \mu (x;t,s)=\int _{\xi \in \mathbb {R} ^{k}(x-\xi;t), (\displayla I)^{\text{T}}(x-\xi;t), w(\xi;s), d\xi }

Conceptually, one may ask if it would be sufficient to use any self-similar families of smoothing functions $h(x;t)$ and $w(\xi ;s)$ . If one naively would apply, for example, a box filter, however, then non-desirable artifacts could easily occur. $로컬 스케일$ t 증가 및 $t$ 통합 $스케일$ s $증가$ 모두에서 멀티 스케일 구조 텐서가 잘 작동하도록 하려면 평활 기능과 윈도우 기능이 모두 ^[7]가우스여야 합니다.이 고유성을 지정하는 조건은 이미지 강도의 규칙적인 가우스 스케일 공간에 대한 가우스 커널의 고유성을 도출하는 데 사용되는 스케일 공간 공리와 유사합니다.

이 영상 설명자 제품군에서 2-파라미터 축척 변동을 처리하는 방법은 여러 가지가 있습니다.로컬 스케일 $파라미터$ t ${style$ t $}$ 를 $t$ $고정$ 하고 통합 $스케일$ 파라미터 $s{style$ s $}$ 만 $s$ 증가시켜 윈도우 기능의 확장 버전을 적용하면 주어진 로컬 $스케일$ t ${displayst$ }에서 계산된 방향 데이터의 진정한 공식 스케일 공간 표현을 얻을 수 있다.핀란드 국영 방송에선}만약 우리가 상대적인 통합 규모에 의해의 r. 지역 규모와 통합 규모와 결합하면 ≥ 1{\displaystyle r\geq 1}, 그러한 r{r\displaystyle}의 고정된 값에 s)rt{\displaystyle s=rt}그때 .[7], 우리는 자주 계산 알을 단순화하는 데 사용됩니다 할인self-similarone-parameter 변화를 얻게 된다.gor예를 들어 모서리 감지, 관심점 감지, 텍스처 분석 및 이미지 매칭에 사용됩니다.이와 같은 자기 유사 스케일 변동으로 상대 적분 $r\geq 1$ r $r\geq 1$ 1 $r\geq 1$ { $displaystyle$ r \ $geq$ 1 $r\geq 1$ }을 $r\geq 1$ 변화시킴으로써 적분 스케일 증가를 통해 얻을 수 있는 방향 데이터의 멀티 스케일 특성을 파라미터화하는 또 다른 방법을 얻는다.

개념적으로 유사한 구성을 이산 신호에 대해 수행할 수 있습니다. 즉, 컨볼루션 적분이 컨볼루션 합계로 대체되고 연속 가우스 $g(x;t)$ g( $g(x;t)$ ; $g(x;t)$ )(\ $displaystyle g(x$ $T(n;t)$ ; $T(n;t)$ t)\ $displaystyle$ T $(n;t$

\mu (x;t,s)=\sum _{n\in \mathbb {Z}^{k}(\displayla I)(x-n;t),(\nabla I)^{\text{T}}(x-n;t),w(n;s)

실제 구현에서 스케일 $파라미터$ t $\displaystyle$ $s$ 와 $t$ s $\$ $displaystyle$ s를 $s$ 정량화할 때는 보통 0에서 최대 스케일 인덱스 m까지의 유한 $\alpha ^{i}$ i $\$ displaystyle $\alpha ^{i}$ 를 $\alpha ^{i}$ 사용한다.따라서 공간 서브샘플링은 후속 처리 단계에서 더 정확한 데이터를 보존하기 위해 반드시 사용되지는 않지만 이산 스케일 레벨은 이미지 피라미드와 어떤 유사성을 가질 것이다.

적용들

구조 텐서의 고유값은 코너 검출, 관심점 검출 및 특징 ^[9]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]추적과 같은 문제에 대해 많은 이미지 처리 알고리즘에서 중요한 역할을 합니다.구조 텐서는 Lucas-Kanade 광학 흐름 알고리즘과 아핀 형상 ^[11]적응을 추정하기 위한 확장에서도 중심적인 역할을 한다. 여기서 $\lambda _{2}$ 2 $(\$ _ ${2})$ 의 $\lambda _{2}$ 크기는 계산 결과의 신뢰성의 지표이다.텐서는 축척 공간 분석,^[7] 단안 또는 쌍안경 ^[12]단서로부터의 국소 표면 방향 추정, 비선형 지문 강화,^[19] 확산 기반 영상 ^[20]^[21]^[22]^[23]처리 및 기타 여러 영상 처리 문제에 사용되었습니다.구조 텐서는 지진 ^[24]데이터를 필터링하기 위해 지질학에도 적용될 수 있다.

구조 텐서로 시공간 영상 데이터 처리

3차원 구조 텐서는 3차원 비디오 데이터(x, y, time t의 ^[4]함수로 표시)를 분석하는 데 사용되었습니다.이 컨텍스트 중 하나가 갈릴레오 변환에서 불변하는 이미지 기술자를 대상으로 하는 경우, 사전 미지의 이미지 $v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}$ 도 v $v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}$ ( $v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}$ x , $v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}$ ) $v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}$ ${\$ v = ( $v$ _ { $x$ , $v$ _ { $y$ } )^{\ $text {$ $T}}}$

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

t

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

]

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

[

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

-

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}}

t

]

{

display

style {

begin

{

bmatrix }

x ' \ \

y

' \

t

' \

end

{

bmatrix

} = G { \

begin { batrix }

x

\ y

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t

matrix

}

matrix

}

그러나 계산적 관점에서는 갈릴레오 대각화^[25] 개념을 사용하여 구조 텐서/ $초순간$ $행렬$ S의 $성분$ 을 $S$ 매개변수화하는 것이 바람직하다.

S'=R_{\text{space}}^{-{\text{T}}},G^{-{\text{\text}T}},S,G^{-1},R_{\text{space}^{-1}=begin{bmatrix}\nu _{1}&,\,\,\nu _{2}&,\,\,\nu _{3}\end{bmatrix}}

$G$ 서 G $(\displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 고유값 분해에 해당하는 3차원 구조 텐서와 (물리적이지 않은) 3차원 3차원 텐서의 고유값 사용과 비교하여 시공간 $R_{\text{space}}$ R $(\$ 의 $R_{\text{space}}$ 2차원 회전 갈릴레오 변환을 나타낸다.시공간적 회전

]

T}},S,R_{\text{spacetime}}^{-1}=begin{bmatrix}\lambda_{1}&\lambda_{2}&\lambda_{3}\end{bmatrix

그러나 진정한 갈릴레오 불변성을 얻기 위해서는 공간적 이미지 데이터에서^[11] 시공간적 이미지 데이터로 아핀 형상 적응의 전송에 대응하여 시공간적 윈도우 함수의 형상도 ^[25]^[26]적응해야 한다.국소 시공간 히스토그램 ^[27]기술자와 조합하여, 이러한 개념은 갈릴레이의 시공간 ^[28]사건 불변 인식을 가능하게 한다.

「」를 참조해 주세요.

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[23] S. Arseneau & J. Cooperstock (November 2006). "An Improved Representation of Junctions through Asymmetric Tensor Diffusion". International Symposium on Visual Computing.

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[28] I. Laptev; B. Caputo; C. Schuldt & T. Lindeberg (2007). "Local velocity-adapted motion events for spatio-temporal recognition". Computer Vision and Image Understanding. Vol. 108. pp. 207–229. doi:10.1016/j.cviu.2006.11.023.

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