부분군 성장

수학에서 부분군 성장은 특정 집단의 부분군에 대한 양적 문제를 다루는 집단 이론의 한 분야다.^[1]

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 정확히 생성된 그룹으로 두십시오$$.Then, for each integer ${\displaystyle n}$ define ${\displaystyle a_{n}(G)}$ to be the number of subgroups ${\displaystyle H}$ of index ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle G}$. Similarly, if ${\displaystyle G}$ is a topological group, ${\displaystyle s_{n}(G)}$ denotes the number of open subgroups ${\displaystyle U}$ of index ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle G}$. One similarly defines ${\displaystyle m_{n}(G)}$ and ${\displaystyle s_{n}^{\triangleleft }(G)}$ to denote the number of maximal and normal subgroups of index ${\displa$각각 $ystyle n$

부분군 성장은 이러한 기능, 상호 작용 및 이러한 기능 측면에서 그룹 이론적 속성의 특성화를 연구한다.

그 이론은 주어진 질서의 유한 집단을 열거하고 싶은 욕망과, 미하일 그로모프의 단어 성장 관념과의 유추에 의해 동기 부여되었다.

닐포텐트군

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 정밀하게 생성된 토션프리 nilpotent 그룹이 되도록$$ 한다.그리고 무한 순환 계수를 가진 구성 시리즈가 존재하며, 이는 (동형성이 반드시 그렇지는 않지만) 편차를 유도한다.

${\displaystyle \mathb {Z} ^{n}\longrightarrow G}$

이러한 좌표에서 그룹 곱셈은 다항식 함수로 표현할 수 있다. 특히 곱셈은 정의할 수 있다.p-adic 정수의 모델 이론에서 나온 방법 사용, F. Grunewald, D.시걸과 G. 스미스는 국부 제타 기능이 있다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \jeta _{G,p}=\sum _{\nu =0}^{\ns_{p^{n}}}(G)p^{-ns}}}$

$p{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$ ${\$ p$^{-s}$의 합리적인 함수$.$

예를 들어 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 이산 하이젠베르크 그룹으로 한다$$.이 그룹은 $생성자{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle$ x$,\,y,\,z}$ 및$$ 관계가 있는 "프레젠테이션"을 가지고 있음

${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=1.}$

따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 요소는 그룹 작업이 주어지는 정수의 3배$$$(,{\displaystyle b}$ ,${\displaystyle c}$ )${\displaystyle(a,\,b,\,c)$로 나타낼 수 있다$$.

$[\displaystyle (a,b,c)\c(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 각 유한 지수 부분군 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 대해 다음과 같이$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 모든 "좋은 베이스" 집합을 연결하십시오$.$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 일반 영상 시리즈가 있음$$

$\displaystyle G=\langle x,y,z\angle \triangle \triangle y,z\angle \triangle z\langle \triangle \triangle \triangle \triangleleright 1}$

무한 순환 계수를 가지고A triple ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})\in G}$ is called a good basis of ${\displaystyle U}$, if ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}$ generate ${\displaystyle U}$, and ${\displaystyle g_{2}\in \langle y,z\rangl$$e ,g_{3}\in \langle z\rangle$ $\}\}.$ 일반적으로 고정 $서브그룹{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$에 대한 양호한 베이스 집합을 결정하는 것은 상당히 복잡하다$.$ 이러한 어려움을 극복하기 위해 모든 유한 지수 서브그룹의 모든 좋은 베이스 집합을 결정하고, 이들 중 몇 개가 하나의 주어진 서브그룹에 속하는지를 결정한다.이를 정확히 하기 위해서는 정수를 넘는 하이젠베르크 그룹을 p-adic 숫자에 걸쳐 그룹에 포함시켜야 한다.몇 번의 계산이 끝나면 공식에 도달한다.

${\displaystyle \zeta _{G,p}(s)={\frac {1}{(1-p^{-1})^{3}}}\int _{\mathcal {M}} a_{11} _{p}^{s-1} a_{22} _{p}^{s-2} a_{33} _{p}^{s-3}\;d\mu ,}$

여기서 $\displaystyle \mu}$은(는) ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\$${\displaystyle \cdot }$ p ${\$$cdot$$_{$$p}}$은 $p-adic{\displaystyle }$ 절대값을 나타내고$$, $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystystystyle p}$ -adic$$ 정수들의 튜플 집합이다$$.

${\displaystyle \{a_{11},a_{12},a_{13},a_{22},a_{23},a_{33}\}}}$

그런

${\displaystyle \{x^{a_{11}}y^{a_{12}}z^{a_{13},y^{22}}z^{a_{23},z^{33}\}}}}}}}$

유한 지수의 좋은 기초가 된다.후자의 조건은 다음과 같이 번역할 수 있다.

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {33}_{}}$ ${\displaystyle a{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {22}_{}}$ ${\$

이제, 통합은 반복된 합으로 변환되어 양보할 수 있다.

${\displaystyle \zeta _{G,p}(s)=\sum _{a\geq 0}\sum _{b\geq 0}\sum _{c=0}^{a+b}p^{-as-b(s-1)-c(s-2)}={\frac {1-p^{3-3s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})(1-p^{2-2s})(1-p^{2-3s})}}}$

여기에서 최종 평가는 기하 급수적인 시리즈의 값에 대한 공식의 반복적인 적용으로 구성된다.from G (${\displaystyle s{}_{}}$) ${\displaystyle \zeta _{G}}}은($는) Riemann zeta 함수의 관점에서 다음과 같이 표현될$$ 수 있다고 추론한다.

$\displaystyle \zeta _{G}={\frac {\zeta(s)\zeta(s-1)\zeta(2s-2)\zeta(2s-3){\zeta(3s-3)}{\zeta(3s-3)}}}}.}$

더 복잡한 예에 대해서는 연산이 어려워지고, 일반적으로 $one{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle {}_{}s}$) ${\displaystyle \zeta _{G}}$에 대해 폐쇄적인 식을 기대할 수 없다$.$국소 요인

${\displaystyle \zeta _{G,p}s}$

항상 정의 가능한 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 적분으로 표현될 수 있다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 정수의 모델 이론에 MacIntyre의 결과를 적용하면$$${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle s}$ ){\$displaystyle \zeta _{G}}}}$$p{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle s^{}}$ ${\$p^{-s$$$\}\}\}.$ 게다가 M. du Sautoy와 F.Grunewald는 그 적분은 Artin L-functions에 의해 대략적으로 추정될 수 있다는 것을 보여주었다.$Artin{\displaystyle \mathrm{}}$ L-functions가${\displaystyle )(\mathrm{s}}$ )$$= 1 {\$displaystyle \Re(s)=$1} 라인의 인접 지역에서 홀로모르픽이라는 사실을 사용하여$,$ 모든 토션프리 닐포텐트 그룹에 대해 $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystystyle \zeta _{G}$s}라는 함수가 도메인에서$$ 메로모르픽이라는 것을 보여주었다.

$[\displaystyle \Re(s)]\알파 -\delta }$

where ${\displaystyle \alpha }$ is the abscissa of convergence of ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$, and ${\displaystyle \delta }$ is some positive number, and holomorphic in some neighbourhood of ${\displaystyle \Re (s)=\alpha }$. Using a Tauberian theorem this implies

${\displaystyle \sum _{n\leq x}s_{n}(G)\sim x^{\alpha }\log ^{k}x}$

일부 실제 숫자 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha }$과(와) $음$이 아닌$$정수 k {\$displaystyle k}$의 경우$.$

응집 부분군

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다.(2010년 7월)

부분군 증가 및 코제트 표현

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹으로$$ 하고 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) 인덱스 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 하위 그룹으로 한다$.$$그런{\displaystyle }$ 다음 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$}$에 $있는{\displaystyle }$ U$$${\displaystyle U$$}$의 왼쪽 코스셋 집합에 대해 왼쪽$$ 시프트별로 작업$$:

${\displaystyle g(hU)=(gh)U.}$

In this way, ${\displaystyle U}$ induces a homomorphism of ${\displaystyle G}$ into the symmetric group on ${\displaystyle G/U}$. ${\displaystyle G}$ acts transitively on ${\displaystyle G/U}$, and vice versa, given a transitive action of ${\displaystyle G}$ on

${\displaystyle \{1,\ldots,n\}$

점 1의 스태빌라이저는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 인덱스 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 하위 그룹이다$.$ 설정 이후

${\displaystyle \{2,\ldots,n\}}$

로 번역할 수 있다.

$(n-1)!}$

${\displaystyle s_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}G}$) ${\displaystyle s_{n}(G)}$이(가) transitive G ${\displaystyle$ G$}$ -actions를 (${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$)로 나눈 transitive $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle (n-1$ 모든 $G{\displaystyle }$ ${\displaystystylease G}$ -actions$$ 중 siftion에 의해 tog을 구분하여 다음 공식에 도달할 수 있다.

${\displaystyle s_{n}(G)={\frac {h_{n}(G)}{{(n-1)!}}-\sum _{\nu =1}^{n-1}{\frac {h_{n-\nu }(G)s_{\nu }{(n-\nu )!}},}$

여기서 $h{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}G}$) ${\displaystyle h_{n}(G)}$은 동형성의 수를 나타낸다.

${\displaystyle \varphi :G\오른쪽 화살표 S_{n}.}$

In several instances the function ${\displaystyle h_{n}(G)}$ is easier to be approached then ${\displaystyle s_{n}(G)}$, and, if ${\displaystyle h_{n}(G)}$ grows sufficiently large, the sum is of negligible order of magnitude, hence, one obtains an asymptotic formula for ${\displaystyle s_n(G)}$${\displaystyle s_{n}(G$

예를 들어 F ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}$개$를 두 개의 발전기에서 자유 그룹이 되도록 한다.그러면 F ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의 발생기의 모든 지도가 동형성으로 확장된다$$.

${\displaystyle F_{2}\오른쪽 화살표 S_{n}}$

그것은

${\displaystyle h_{n}(F_{2})=(n!)^{2}}$

여기서 우리는 추론한다.

${\displaystyle s_{n}(F_{2})\sim n\cdot n!}$

좀 더 복잡한 예제의 경우, ${\displaystyle h_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$( $){\displaystyle h_{n}(G)}$의 추정에는$$ 대칭 그룹의 표현 이론과 통계적 속성이 포함된다.

참조