부분군 지수

수학, 특히 집단 이론에서, 그룹 G에서 부분군 H의 지수는 G에서 H의 왼쪽 코세트의 수, 또는 동등하게 G에서 H의 오른쪽 코세트의 수이다.The index is denoted ${\displaystyle G:H }$ or ${\displaystyle [G:H]}$ or ${\displaystyle (G:H)}$. Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula

${\displaystyle G = G:H H }$

(일부 양이 무한할 경우 그 양을 기수로 해석한다.따라서 지수 ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle H}$ $displaystyle G:H$}은 G와 H의 "상대적 크기"를 측정한다$$.

예를 들어 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$를) 추가되는 정수 그룹으로 하고, $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Z}}$ ${\$를) 짝수 정수로 구성된 하위 그룹으로 한다$$.그러면 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에는 짝수 정수 집합과 홀수 정수 집합인$$$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 두 개의 코세트가 있으므로$$ ${\displaystyle 색인\mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$: ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ Z $displaystyle \mathb {Z}$ :$2\mathb {Z}}$은 2이다$$.보다 일반적으로 ${\displaystyle Z\mathbb{}}$: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathb$ {$Z} :n\mathb {Z}$ =$n}$

G가 유한할 때는 공식을 ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle H}$= G${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H}$ $displaystyle$ G$:H$= $G$/ $H}$로 표기할 수 있으며$,$ ${\displaystyle 이}$는 H $displaystyle$H}이$($가) G $displaysty$ G}을(를$)$ ${\displaystyle 나눈다는}$ 라그랑주의 정리를 함축한다.

G가 무한일 때 ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle H}$ $displaystyle G:H }$은 유한하거나 무한할 수 있는 0이 아닌 기수다.예를 들어, ${\displaystyle Z\mathbb{}}$: ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathb {Z} :2\mathb {Z} =2$ 그러나 ${\displaystyle R\mathbb{}}$: ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ $displaystyle \mathb {R} :\mathb {Z}}은($는) 무한하다$$.null

N이 G의 정규 부분군인 경우, $G{\displaystyle :}$ ${\displaystyle N}$ ${\$$displaystyle G:N}$은(는) G /${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ $G/N}$의 기본 집합이$$ G에 있는 N의 코제트 집합이므로$,$ $G{\displaystyle }$ : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ G:N}의 순서와 동일하다$$.

특성.

• H가 G의 부분군이고 K가 H의 부분군이면

${\displaystyle G:K = G:H \, H:K.}$

• H와 K가 G의 부분군일 경우

$[\displaystyle G:H\cap K \leq G:H \, G:K ,}$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle HK=G}$. (${\displaystyle If}$ G${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \cap }$ K $displaystyle G:$$H\cap$K$}$은(는) 유한하므로$$, ${\displaystyle H}$K = ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle HK=G}$인 경우에만 평등이 유지된다.$$

• 동등하게, H와 K가 G의 부분군이라면,

$(\displaystyle H:H\cap K \leq G:K ,}$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle HK=G}$. (${\displaystyle If}$ H${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ : ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \cap }$ K $displaystyle H:$$H\cap$K$}$은(는) 유한하므로$$, ${\displaystyle H}$K = ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle HK=G}$인 경우에만 평등이 유지된다.$$

• G와 H가 그룹이고 ${\displaystyle \phi }$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$이(가) 동형상이라면 G에서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 커널 지수는 영상의 순서와 같다.

${\displaystyle G:\operatorname {ker} \;\varphi = \operatorname {im} \;\varphi .}$

• G를 세트 X에 작용하는 그룹이 되게 하고, x ∈ X에 작용하게 한다.그런 다음 G 아래의 x 궤도의 카디널리티는 x의 스태빌라이저 지수와 동일하다.

${\displaystyle Gx = G:G_{x} .\!}$

이것을 궤도-안정제 정리라고 한다.

• 궤도-안정제 정리의 특별한 경우로서, $원소{\displaystyle }$ x $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 원소 x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ x$\in G}$의 centralizer의 지수와 같다.
• 마찬가지로 G에서 부분군 H의 접합자 $수{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$는 G에서 H의 정규화자 지수(Normalizer)와 같다.
• H가 G의 부분군이라면 H의 정상핵 지수는 다음과 같은 불평등을 만족시킨다.

${\displaystyle G:\operatorname {Core}(H) \leq G:H !}$

여기서 !는 요인 함수를 나타낸다. 이는 아래에서 자세히 설명한다.null

• 산호로서 G에서 H의 지수가 2이거나, 유한집단의 경우 G의 순서를 나누는 최저 prime p가 정상인 경우, 그 중심도 역시 p여야 하고, 따라서 H가 그 중심, 즉 H와 같으므로 H는 정상이다.
• 비 프라임 순서의 단순한 그룹 또는 보다 일반적으로 완벽한 그룹과 같이 최저 프라임 지수의 하위 그룹은 존재하지 않을 수 있다는 점에 유의하십시오.

예

• 교류 그룹 ${\displaystyle {An}_{}}$ ${\$은(는) 대칭 그룹 S ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle S_{n}$에 지수 2를 가지므로$$$$ 정상이다.
• 특수 직교 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SO}}$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \$$operatorname$$${$SO}(n)}$은$$직교 그룹 $⁡(n$ ${\displaystyle )}$에 인덱스 2가 있으므로$$ 정상이다.
• $자유{\displaystyle \mathbb{}}$ 아벨 그룹 Z ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에는 인덱스 2의 하위 그룹이 세 개 있는데$$, 즉

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}}$.

• More generally, if p is prime then ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ has ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$ subgroups of index p, corresponding to the ${\displaystyle (p^{n}-1)}$ nontrivial homomorphisms ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \math$$bb {Z} /p\mathb {Z}$^{[citation needed]}$}.$
• 마찬가지로 $F{\displaystyle {}_{}}$ n ${\$ 자유 그룹에는 (${\displaystyle p^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(p^{n}-1)$의 색인 p 하위 그룹이 있다$$$.{\displaystyle }$
• 무한 이면체는 지수 2의 주기적인 부분군을 가지고 있는데, 이것은 반드시 정상이다.

무한지수

만약 H가 G에 무한한 수의 코세트를 가지고 있다면 G에서 H의 지수는 무한하다고 한다.이 경우 ${\displaystyle 지수}$ G${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ $displaystyle G:H }$은(는) 사실상 기수다.예를 들어, H의 G의 H 지수는 H의 Coset 수가 G에 카운트 가능한지 여부에 따라 카운트할 수 있거나 카운트할 수 없을 수 있다. 참고: H의 지수는 G의 최대 순서에 해당하며, 이는 사소한 부분군에 대해 실현된다. 사실 무한 카디널리티의 모든 부분군 H가 G의 그것보다 작다.

유한지수

무한 그룹 G는 유한 지수(예를 들어 정수 그룹 내부의 짝수 정수)의 부분군 H를 가질 수 있다.그러한 부분군은 항상 유한 지수의 정규 부분군 N(G)을 포함한다.실제로 H에 지수 n이 있으면 N의 지수를 n!의 어떤 요인으로 볼 수 있다. 실제로, N은 G에서 H의 왼쪽(또는 오른쪽) 코세트의 순열 그룹에 이르는 자연 동형성의 알맹이로 볼 수 있다.

특별한 경우 n = 2는 정상 부분군(위의 N)이 지수 2를 가져야 하므로 지수 2의 부분군이 정상 부분군이라는 일반적인 결과를 제공한다.보다 일반적으로, p가 G의 순서에서 가장 작은 소수인 p의 부분군(G가 유한인 경우)은 N의 지수가 p!를 나누기 때문에 반드시 p와 같아야 하며, 따라서 다른 주요 요인이 없어야 한다.null

지수 최저 Prime p의 부분군이 정상이라는 결과를 증명하는 대안적 증거는 (Lam 2004)에 제시되어 있다.null

예

위의 고려사항은 유한집단에 대해서도 적용된다.예를 들어, 치랄 팔면 대칭의 O 그룹은 24개의 원소를 가지고 있다.그것은 dihedral D₄ 하위그룹(사실 그것은 3개의 순서)을 가지고 있고, 따라서 O의 지수 3을 가지고 있는데, 우리는 이것을 H라고 부를 것이다.이 분체 그룹은 4명의₂ D 하위그룹을 가지고 있는데, 우리가 A라고 부를 수도 있다.오른쪽의 H 코셋에 A의 요소를 곱하면 같은 코셋의 H(Hca = Hc)의 멤버가 된다.A는 O에서 정상이다.A의 코세트는₃ 6개로 대칭군 S의 6개 요소에 해당한다.A의 특정 코세트의 모든 요소는 H의 코세트에 대해 동일한 순열을 수행한다.

한편, 화리토헤드 대칭의_h 그룹 T도 24개의 멤버와 지수 3의 하위그룹(이번에 D_2h 프리즘적 대칭그룹, 3차원의 포인트그룹 참조)을 가지고 있지만, 이 경우 전체 하위그룹이 정상 서브그룹이다.특정 코셋의 모든 멤버는 이러한 코셋에 대해 동일한 순열을 수행하지만, 이 경우 6- 멤버₃ S 대칭 그룹에서 3-eled 교대 그룹만 나타낸다.null

기본 전력 지수의 정규 부분군

Prime power index의 정상 하위 그룹은 p-group에 대한 절망적인 지도의 커널이며 Pocus subgroup 정리에서 설명한 바와 같이 흥미로운 구조를 가지고 있다. 부분군 및 초점 부분군 정리에 상세하게 기술된 부분군.null

주요 전력 지수에는 세 가지 중요한 정상 하위 그룹이 있으며, 각 하위 그룹은 특정 등급에서 가장 작은 정상 하위 그룹이다.

• E^p(G)는 모든 지수 p 정상 부분군의 교차점이며, G/E^p(G)는 초등 아벨리아 그룹이며, G가 대상인 가장 큰 초등 아벨리안 p-그룹이다.
• A^p(G) is the intersection of all normal subgroups K such that G/K is an abelian p-group (i.e., K is an index ${\displaystyle p^{k}}$ normal subgroup that contains the derived group ${\displaystyle [G,G]}$): G/A^p(G) is the largest abelian p-group (not necessarily elementary) onto which G surjects.
• O^p(G)는 G/K가 (아마도 비아벨리안) p-그룹(즉, K는 인덱스 p ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ p$^{k}$ 정상$$ 서브그룹)인 G의 모든 정상 서브그룹 K의 교차점이다. G/O^p(G)는 G가 돌출하는 가장 큰 p-그룹(필수 아벨리안)이다.O^p(G)는 p-잔차 부분군이라고도 한다.

이것들은 K그룹에서 더 약한 조건들이기 때문에, 사람들은 함량을 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {E}^{p}(G)\supseteq \mathbf {A}^{p}\supseteq \mathbf {O}^{p}(G).}$

이들 집단은 위에서 논의한 바와 같이 시로우 하위집단과 전달 동형성에 중요한 연관성을 가지고 있다.null

기하학적 구조

기본적인 관찰은 지수 2의 부분군을 정확히 2개 가질 수 없다는 것이다. 대칭적 차이를 보완하면 3분의 1이 되기 때문이다.이것은 위에서 논의한 간단한 코롤리(명칭 초등 아벨리아 집단의 벡터 공간 구조의 투영화)이다.

${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle E{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$( ${\displaystyle Z}$/ ${\displaystyle p\mathbf{}{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$

그리고 나아가 G는 이 기하학에 작용하지 않으며, 비아벨라 구조(두 경우 모두 인용문이 아벨라 구조이기 때문에)를 전혀 반영하지 않는다.null

그러나, 그것은 다음과 같이 구체적으로 볼 수 있는 기초적인 결과로서, 주어진 지수 p의 정상 부분군 집합이 투영 공간, 즉 투영 공간을 형성한다.

${\displaystyle \mathbf {P}(\operatorname {Hom})(G,\mathbf {Z} /p)).}$

In detail, the space of homomorphisms from G to the (cyclic) group of order p, ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ is a vector space over the finite field ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$ A non-trivial such map has as kernel a normal subgroup of in덱스 p, 그리고${\displaystyle }$(${\displaystyle Z}$/ p${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$ }}}}{\times $$$}}}}}$ (제로가 아닌 숫자 mod p)의 요소로 지도를 곱해도 커널은 변경되지 않으므로, 다음에서 지도를 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {P}(\operatorname {Hom}(G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom}(G,\mathbf {Z} /p)\setminus \{0\}/(\mathbf {Z} /p)^{\times}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

정규 지수 p 부분군에 적용.반대로, 인덱스 p의 정규 부분군은 "${\displaystyle 코세트}$가 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$$∈$ ${\displaystyle Z\mathbf{}}$/ p${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ 1$\in$ \$mathbf {Z} /p}$에 매핑되는 범위$$ 밖의 지도를 $결정$하는데, 이는$$ 이 지도가 바이어싱임을 보여준다.null

그 결과, 지수 p의 정규 부분군의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

일부 k의 경우, $k{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=-1}$은(는) 인덱스 p의 정상적인 하위 그룹이 없는 것과 일치한다$$.또한 지수 p의 두 개의 뚜렷한 정규 부분군을 지정하면, 그러한$$ 부분군으로 $구성$된 p${\displaystyle }$+ $(\displaystyle p+1})$을 얻는다.null

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle p=2,}$의 경우$$, 두 개의 뚜렷한 지수 2 부분군(필수적으로 정상인 것임)의 대칭적 차이가 이러한 부분군을 포함하는 투영선에 세 번째 점을 부여하고, 그룹에는 $0{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$7, ${\displaystyle 15,}$ $…[\displaystyle$ 0$,1,3,7,15,\ldots }$개의$$ 지수 2 부분군을 정확히 포함할 수 없다.예를 들어, 2개의 하위 그룹을 덱스하십시오.null

참고 항목

• 가상
• 코디멘션

참조

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외부 링크

• PlanetMath에서 주 지수 부분군의 정규성.
• Groupprops, The Group Properties Wiki에서 "최소 기본 인덱스의 하위 그룹이 정상임"