초선택

양자역학에서 초선택은 선택규칙의 개념을 확장시킨다.

초선택 규칙은 특정 관측 가능성의 고유성 사이에 일관성을 보이는 양자 상태의 작성을 금지하는 가정된 규칙이다.^[1]원래 윅, 와이트먼, 위그너에 의해 양자 이론에 선택 규칙의 그것들을 넘어 추가적인 제한을 가하기 위해 도입되었다.

Mathematically speaking, two quantum states $\psi _{1}$ and $\psi _{2}$ are separated by a selection rule if $\langle \psi _{1} H \psi _{2}\rangle =0$ for the given Hamiltonian $H$ , while they are separated bya superselection rule if $\langle \psi _{1} A \psi _{2}\rangle =0$ for all physical observables $A$ . Because no observable connects $\langle \psi _{1}$ and $\psi _{2}\rangle$ they cannot be put양자 중첩 위치 $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ α + $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ 2 $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ ${\displaystyle \alpha \alpha$ \alpha \ $psi \rang \rangele }, 또는$ 양자 중첩은 두 상태의 고전적 혼합과 구별할 수 없다 $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ 그것은 또한 두 주 사이에 서로 다른 분류적으로 보존된 양이 있다는 것을 암시한다.^[2]

초선택 섹터는 *-알지브라 표상이 수정 불가능한 성분으로 분해될 때 양자역학에서 사용되는 개념이다.서로 다른 불가침 요소로부터 0이 아닌 상태의 중첩의 상대적 단계를 관측할 수 없기 때문에(관측 가능성의 기대값은 관측 가능 여부를 구별할 수 없기 때문에, 모든 자기 적응 연산자가 관측 가능한 것은 아니라는 생각을 공식화한다.

공식화

A가 유니탈 *-알지브라이고 O가 유니탈 *- 서브지브라라고 가정해 보자. 이 경우 자기 적응 요소는 관측 가능성과 일치한다.O의 단일 표현은 수정 불가능한 O의 단일 표현에 대한 직접적인 합으로 분해될 수 있다.이 분해에서 각각의 이소형 성분은 초선택 섹터라고 불린다.관측용품이 초선택 부문을 보존한다.

대칭에 대한 관계

대칭은 종종 초선택 섹터를 발생시킨다(이 방법만이 발생하지는 않지만).그룹 G가 A에 대해 작용하고, H가 A와 G의 단일 표현이라고 가정해 보자. 이는 G의 모든 G에 대해, A와 H의 ψ에 대해,

g(a\cdot \cdot )=(ga)\cdot(g\cdot )

O가 G 하의 A의 불변성 하위골격이라고 가정한다(모든 관측물은 G 하에서는 불변성이지만 G 하의 모든 자칭 운영자가 반드시 관측 가능한 것은 아니다).H는 초선택 섹터로 분해되는데, 각각은 O를 나타내는 G의 수정 불가능한 표현으로 된 텐서 제품이다.

이는 H가 G의 연장선이나 커버 K의 표현일 뿐이라고 가정함으로써 일반화할 수 있다(예를 들어, G는 로렌츠 그룹일 수 있고 K는 해당 스핀 더블 커버일 수 있다).대신에 G를 Lie 대수학, Lie superalgebra 또는 Hopf 대수학으로 대체할 수 있다.

예

닫힌 루프(즉, 주기 L의 주기적 선)에 국한된 양자 기계적 입자를 고려한다.초선택 섹터는 0~2㎛의 각도로 라벨을 표시한다.단일 초선택 섹터 내의 모든 파동 기능이 충족됨

\psi (x+L)=e^{i\theta }}\psi (x)

초선택 섹터

자유도가 무한히 많은 큰 물리적 체계는 충분한 에너지를 가지고 있더라도 가능한 모든 상태를 항상 방문하지는 않는다.자석을 일정한 방향으로 자석화하면 각 회전은 어떤 온도에서든 변동하지만 순자석화는 결코 변하지 않는다.그 이유는 각기 다른 위치에 있는 무한히 많은 회전들이 모두 같은 방식으로 함께 요동치게 되는 것은 무한히 일어날 가능성이 없기 때문이다.

큰 시스템은 종종 초선택 부문을 가지고 있다.격자 대칭이 아닌 견고하고 서로 다른 회전과 번역에서 초선택 섹터를 정의한다.일반적으로 초선택규칙은 국지변동을 통해 절대 변할 수 없는 수량이다.자석의 자기화와 같은 순서 매개변수 외에도, 구불구불한 숫자와 같은 위상학적 수량도 있다.끈이 원형 철사 둘레에 감기는 경우, 현지의 변동 하에서 그것이 감기는 총 횟수는 결코 변하지 않는다.이것은 평범한 보존법이다.만약 전선이 무한선이라면, 진공에 시스템 전체에 걸쳐 일관성이 있는 구불구불한 숫자 변동이 없는 조건에서 보존법은 초선택 규칙이다 - 구불구불한 구불구불 풀릴 확률은 0이다.

양자 변동, 위상 유형 경로 적분 구성의 상이한 구성에서 발생하는 가정 및 볼츠만 유형 적분으로부터의 통계적 변동이 있다.이 두 경로 통합은 사실상 무한정 시스템의 큰 변화가 변동들 사이에 있을 가능성이 없는 음모를 필요로 하는 속성을 가지고 있다.그래서 통계적 기계적 및 양자적 기계적 초선택 규칙이 둘 다 있다.

대칭 아래 진공이 불변하는 이론에서, 보존된 전하가 보존된 경우 초선택 섹터로 이어진다.전하가 우리 우주에 보존되어 있기 때문에 처음에는 사소한 예처럼 보인다.그러나 초전도체가 공간을 채울 때, 또는 힉스 단계에서 동등하게 전하가 여전히 전세계적으로 보존되지만 더 이상 초선택 섹터를 정의하지 않는다.초전도체의 슬러싱은 아주 적은 비용으로 어떤 부피에도 전하를 가져올 수 있다.이 경우 진공의 초선택 섹터는 힉스 필드의 방향에 의해 라벨이 표시된다.서로 다른 힉스 방향은 정확한 대칭에 의해 연관되어 있기 때문에, 그것들은 모두 정확히 동등하다.이것은 대칭 파괴 방향과 보존된 전하 사이의 깊은 관계를 암시한다.

이산대칭

2D Ising 모델에서는 저온에서 두 개의 뚜렷한 순수 상태가 있는데, 하나는 평균 스핀이 위를 향하고 다른 하나는 평균 스핀이 아래를 가리키고 있다.이것이 순서상이다.고온에서는 평균 스핀이 0인 순수한 상태가 하나만 있다.이것은 혼란스러운 단계다.둘 사이의 위상 전이에서는 스핀 업과 스핀 다운의 대칭성이 깨진다.

위상 전환 온도 이하에서는 무한 확장 모델이 대부분 플러스 또는 최소 구성일 수 있다.만약 그것이 대부분 플러스 단계에서 시작된다면, 모든 회전들을 뒤집는 것이 같은 에너지를 주겠지만, 그것은 결코 대부분의 미니어처에 도달하지 못할 것이다.온도를 변화시킴으로써, 시스템은 평균 회전이라는 새로운 초선택 규칙을 얻었다.두 개의 초선택 부문이 있는데, 대부분 마이너스 부문이 있고, 대부분 플러스 부문이 대부분이다.

다른 초선택 부문도 있다. 예를 들어, 비행기의 왼쪽 절반은 대부분 플러스, 오른쪽 절반은 마이너스인 주이다.

새로운 초선택 규칙이 나타나면, 시스템은 자연적으로 순서가 정해진다.임계 온도 이상에서는 Ising 모델이 정렬되지 않는다.그것은 원칙적으로 모든 주를 방문할 수 있다.전환기 아래에서는 두 가지 가능성 중 하나를 무작위로 선택하고 결코 마음을 바꾸지 않는다.

어떤 유한한 시스템에서라도 초선택은 불완전하다.유한 격자 위의 Ising 모델은 결국 0이 아닌 온도에서 대부분 플러스에서 대부분 마이너스까지 변동하지만, 매우 오랜 시간이 걸린다.상관관계 길이로 측정되는 시스템의 크기는 기하급수적으로 작기 때문에 모든 실제적인 목적을 위해 상관관계 길이보다 몇 배만 큰 시스템에서도 플립은 절대 일어나지 않는다.

연속 대칭

통계적 또는 양자장이 세 개의 실제 가치 있는 스칼라 필드( $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ , $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ , $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ ${\$ 를 가지고 있고 에너지 또는 작용이 이들 구성요소를 서로 회전할 때 대칭인 조합에만 의존하는 경우, 가장 낮은 차원을 갖는 기여는 (합계)이다.:

\bla \pi _{i}^{2}+\phi _{i}^{2}+\phda(\phi _{i}^{2})^{2}\,

양자장 컨텍스트에서 또는 통계 컨텍스트에서 자유 에너지의 작용을 정의한다.두 가지 단계가 있다.t가 크면 잠재력이 평균 $\pi$ 을(를) 0으로 $\phi$ 이동시키는 경향이 있다.t large와 negative의 경우, 2차 전위는 $\phi$ ${\displaystyle \pi$ }을 $\phi$ (를) 밀어내지만, 4차 전위는 무한대가 되는 것을 막는다.만약 이것이 양자 경로 적분에서 수행된다면, 이것은 양자 위상 전이, 고전적 파티션 함수의 고전적 위상 전환이다.

따라서 t가 양쪽 맥락에서 더 많은 음수 값으로 이동함에 따라 필드가 가리키는 방향을 선택해야 한다.한번 이렇게 하면 마음을 바꿀 수 없다.시스템이 명령했다.순서상으로는, 파단 축을 중심으로 약간의 대칭-회전이 여전히 존재한다.이 필드는 전체 대칭 그룹 SO(3)에서 파손되지 않은 SO(2) 부분군의 코제트 공간인 $\phi$ ${\displaystyle \phi$ } 공간에 $\phi$ 있는 단위 구체의 모든 점에 의해 표시된 모든 방향을 가리킬 수 있다.

정렬되지 않은 단계에서, 초선택 섹터는 주어진 구성이 전체적으로 변환되는 SO(3)의 표현으로 설명된다.SO(3)는 파손되지 않기 때문에 서로 다른 표현이 섞이지 않는다.어떤 국지적 변동도 무한대로부터 비독점적 SO(3) 구성을 가져오지 않을 것이다.지역 구성은 전적으로 그것의 표현에 의해 정의된다.

질량 간격 또는 상관관계 길이가 있어 비독점적 SO(3) 변환이 있는 구성과 회전 불변 진공을 구분한다.이는 질량 차이가 사라지고 상관관계 길이가 무한인 t의 임계점까지 적용된다.사라지는 격차는 SO(3) 분야의 변동이 응축되려는 신호다.

주문된 영역에는 위상 전하를 전달할 수 있는 필드 구성이 있다.두 번째 호모토피 그룹 $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ 2 $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ ( $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ ( 3 $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ ) $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ / $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ O $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ ( $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ ) $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ = $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ ${\$ (3 $)/SO(2)=\mathb {Z}}}}$ 의 요소에 의해 라벨이 지정된다 $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ 이들 각각은 원점에서 멀리 떨어진 다른 필드 구성을 설명한다.그러한 각각의 고립된 구성은 무한한 에너지를 가지고 있지만, 그것은 두 상태 사이의 에너지 차이가 유한한 초선택 섹터에 라벨을 붙인다.또한 위상학적 전하와 반대되는 권선형 구성의 쌍은 아래에서 전환이 접근함에 따라 상당히 많이 생산될 수 있다.

권선 번호가 0이므로 모든 필드가 동일한 방향을 가리키도록 하는 경우, 추가적인 초선택 섹터가 존재하며, 각 섹터는 파손되지 않은 SO(2) 충전의 다른 값으로 라벨을 표시한다.

순서가 지정된 상태에서는 위상학적 용해체가 거대하고 심지어 무한히 거대하기 때문에 0이 아닌 정수로 표시된 초선택 섹터에 대한 질량 차이가 있다.그러나 응축수 방향의 변동을 설명하는 질량 없는 골드스톤 보슨이 있기 때문에 0으로 표시된 모든 초선택 섹터에 질량 갭이 없다.

필드 값이 Z₂ 반사(모든 $\phi$ {\ $displaystyle \phi }$ 필드의 $\phi$ 기호를 플립하는 것에 대응하여)로 식별되는 경우, 초선택 섹터는 음이 아닌 정수(위상전하의 절대값)로 표시된다.

O(3) 요금은 순서 단계에서는 전혀 의미가 없고 순서 단계에서는 전혀 의미가 없다.대칭이 깨지면 대칭군 아래 불변성이 아닌 응축수가 충전되기 때문이다.반대로 위상학적 전하가 순서가 정해진 단계에서만 이치에 맞으며, 어떤 손떨림 방식에서는 필드를 점별로 랜덤화하는 "위상학적 응축수"가 있기 때문에, 위상학적 전하가 순서되지 않은 단계에서는 이치에 맞지 않는다.무작위화는 많은 응축된 위상학적 구불구불한 경계를 넘는 것으로 생각할 수 있다.

어떤 혐의가 의미 있는가에 대한 바로 그 문제는 그 단계에 매우 많이 달려 있다.무질서한 쪽에서 위상 전환에 접근하면 전하 입자의 질량이 0에 접근한다.주문한 쪽에서 접근하면 위상학적 용해체의 변동과 관련된 질량 차이가 0에 가까워진다.

입자 물리학의 예

힉스 메커니즘

입자물리학의 표준 모델에서 전기약 섹터의 저에너지 모델은 SU(2)이고 U(1)는 힉스 더블트(doubt)에 의해 U(1)로 분해된다.구성을 결정하는 유일한 초선택 규칙은 총전하량이다.단극이 있는 경우 단극 전하를 포함해야 한다.

만일 힉스 t 매개변수가 진공 기대값을 획득하지 않도록 변화한다면, 이제 우주는 파괴되지 않은 SU(2)와 U(1) 게이지 그룹 아래에서 대칭이 된다.SU(2)가 무한히 약한 커플링을 가지고 있어 먼 거리에 국한되는 경우, SU(2) 그룹과 U(1) 충전 둘 다 초선택 규칙이다.그러나 SU(2)가 0이 아닌 결합을 갖는 경우, 초선택 섹터는 무한 질량으로 분리된다. 비경쟁적 표현에서 어떤 상태의 질량이 무한하기 때문이다.

힉스 변동은 온도를 변화시킴으로써 유한한 온도에서 기대값을 제로 아웃시킬 수 있다.이 온도 이상에서, SU(2)와 U(1) 양자수는 초선택 섹터를 설명한다.위상 전환 이하에서는 전하만이 초선택 부문을 정의한다.

치랄 쿼크 응축수

쿼크의 질량이 0인 키랄 한계에서 QCD의 전지구적 향미 대칭을 고려한다.위아래 쿼크의 질량은 작지만 0이 아닌 우리가 살고 있는 우주는 아니지만, 이소핀이 보존될 정도로 아주 좋은 근사치다.

대칭 복원 온도인 일정 온도 이하에서는 위상이 순서다.치랄 응축수가 형성되고, 작은 질량의 피온이 생성된다.SU(N_f) 충전, Isospin과 Hypercharge, SU(3) 충전, 이치에 맞다.QCD 온도 위로는 SU(N_f)×SU(N_f)와 컬러 SU(3)가 충전하는 무질서한 단계가 놓여 있다.

QCD의 탈핵온도 역시 치랄 응축수가 녹는 온도인지 여부는 공공연한 문제다.

메모들

^ Bartlett, Stephen D.; Rudolph, Terry; Spekkens, Robert W. (April–June 2007). "Reference frames, superselection rules, and quantum information". Reviews of Modern Physics. 79 (2): 555–606. arXiv:quant-ph/0610030. Bibcode:2007RvMP...79..555B. doi:10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID 118880279.
^ Giulini, Domenico (2007). "Superselection Rules". arXiv:0710.1516 [quant-ph].

참조

Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, S. S. (1990), Introduction to Algebraic Quantum Field Theory, Springer, ISBN 978-90-277-2722-0.
Moretti, Valter (2018), Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation., Springer, ISBN 978-3-319-70705-1.
Moretti, Valter (2019), Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory: Spectral Theory, Foundational Issues, Symmetries, Algebraic Formulation., Springer, ISBN 978-3-030-18345-5.
Halvorson, Hans; Mueger, Michael (2006). "Algebraic Quantum Field Theory". arXiv:math-ph/0602036.

[1] Bartlett, Stephen D.; Rudolph, Terry; Spekkens, Robert W. (April–June 2007). "Reference frames, superselection rules, and quantum information". Reviews of Modern Physics. 79 (2): 555–606. arXiv:quant-ph/0610030. Bibcode:2007RvMP...79..555B. doi:10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID 118880279.

[2] Giulini, Domenico (2007). "Superselection Rules". arXiv:0710.1516 [quant-ph].

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