표면(수학)

구체는 고체 공의 표면이며, 여기서 반지름은 다음과 같습니다.

수학에서, 표면은 표면의 공통 개념에 대한 수학적 모델이다.이는 평면의 일반화이지만 평면과 달리 곡선이 될 수 있습니다. 이는 직선을 일반화하는 곡선과 유사합니다.

연구에 사용되는 문맥과 수학적 도구에 따라 몇 가지 더 정확한 정의가 있습니다.가장 간단한 수학 표면은 유클리드 3공간에서 평면과 구이다.서페이스의 정확한 정의는 컨텍스트에 따라 다를 수 있습니다.일반적으로 대수기하학에서 표면은 스스로 교차할 수 있지만(그리고 다른 특이점을 가질 수도 있음), 위상 및 미분기하학에서는 교차하지 않을 수 있습니다.

표면은 치수 2의 위상 공간입니다. 즉, 표면의 이동점이 두 방향으로 움직일 수 있습니다(자유도가 두 개 있습니다).즉, 거의 모든 점 주위에 2차원 좌표계가 정의되는 좌표 패치가 있다.예를 들어, 지구의 표면은 (이상적으로) 2차원 구를 닮았고 위도와 경도는 극과 180도 자오선을 따라 2차원 좌표를 제공합니다.

정의들

종종 지표면은 점의 좌표에 의해 충족되는 방정식으로 정의됩니다.이것은 두 변수의 연속 함수 그래프의 경우입니다.세 변수의 함수의 0 집합은 암묵적 ^[1]표면이라고 하는 표면입니다.정의되는 3변수 함수가 다항식인 경우 표면은 대수 표면입니다.예를 들어, 단위 구는 암묵적 방정식으로 정의될 수 있는 대수적 표면이다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.

표면은 2개의 변수의 연속함수의 적어도 3차원 공간의 상으로 정의될 수도 있다(화상이 곡선이 아님을 보증하기 위해 몇 가지 추가 조건이 필요하다).이 경우 파라메트릭 서페이스를 가지고 있다고 합니다.파라메트릭 서페이스를 파라미터라고 부릅니다.예를 들어, 단위 구체는 경도 $u$ 및 $위도$ v라고도 불리는 오일러 각도에 의해 매개 변수화 될 수 있습니다.

{arigned}x&=\cos(u)\y&=\sin(u)\z&=\sin(v)},\end { aligned}

표면의 파라메트릭 방정식은 종종 일부 점에서 불규칙합니다.예를 들어, 단위구의 두 점을 제외한 모든 점은 위의 매개 변수화에 의해 정확히 한 쌍의 오일러 각도(모듈로 $2µ$ )의 이미지입니다.나머지 두 지점(북극과 남극극)의 경우 하나는 $cos$ v = $0$ 이고 $경도$ u는 모든 값을 취할 수 있습니다.또한 표면 전체를 덮는 단일 매개 변수가 존재할 수 없는 표면도 있습니다.따라서 이미지가 표면을 덮고 있는 여러 파라메트릭 방정식에 의해 매개 변수화된 표면을 고려하는 경우가 많습니다.이것은 다지관 개념에 의해 공식화된다.다지관 개념, 전형적으로 위상 및 미분 기하학에서 표면은 차원 2의 다양체이다. 이것은 모든 점이 유클리드 평면의 열린 부분 집합과 동형인 근방을 갖는 위상 공간이다(표면 (토폴로지) 및 S 참조).urface(미분 지오메트리).이렇게 하면 3차원보다 높은 공간에서 서페이스를 정의할 수 있으며, 다른 공간에 포함되지 않은 추상 서페이스를 정의할 수도 있습니다.반면 원추형 표면의 정점이나 표면이 자신을 교차하는 점 등 특이점을 가진 표면은 제외됩니다.

고전 기하학에서 표면은 일반적으로 점 또는 선의 궤적으로 정의됩니다.예를 들어, 구면이란 중심이라 불리는 고정된 점의 주어진 거리에 있는 점의 궤적이고, 원추면은 고정된 점을 통과하여 곡선을 가로지르는 선의 궤적이며, 회전면은 선 주위를 회전하는 곡선의 궤적입니다.굴곡면은 일부 제약을 충족하는 이동선의 궤적입니다. 현대 용어에서 굴곡면은 선들의 결합인 표면입니다.

용어.

이 기사에서는 여러 종류의 표면을 검토하고 비교한다.따라서 이들을 구별하기 위해서는 명확한 용어가 필요하다.따라서 위상 표면을 치수 2의 매니폴드(표면(위상)에서 고려된 표면)라고 합니다.미분 가능한 표면을 미분 가능한 매니폴드(표면(미분 기하학)에서 고려되는 표면)라고 합니다.모든 미분 가능한 표면은 위상 표면이지만 그 반대는 거짓입니다.

단순성을 위해 달리 언급하지 않는 한 "표면"은 3차원의 유클리드 공간 또는 R의 표면을 $의미$ 합니다³.다른 공간에 포함되지 않아야 하는 표면을 추상 표면이라고 합니다.

예

R의 $연결$ 된² 열린 부분 집합에 대해 정의된 두 변수의 연속 함수 그래프는 위상 표면입니다.함수가 미분 가능한 경우 그래프는 미분 가능한 표면입니다.
평면은 대수적인 면이자 미분 가능한 면이다.그것은 또한 지배된 표면이자 혁명의 표면이다.
원형 원통(즉, 원을 교차하고 주어진 방향에 평행한 선의 궤적)은 대수면이며 미분 가능한 표면이다.
원추체(원과 교차하는 선으로, 원의 평면 밖에 있는 정점인 정점을 통과하는 위치)는 미분할 수 없는 대수면이다.정점을 제거하면 원뿔의 나머지 부분은 두 개의 구별 가능한 표면이 결합됩니다.
다면체의 표면은 위상 표면이며, 미분 가능한 표면도 대수 표면도 아니다.
쌍곡선 포물면( $z$ = $xy$ 함수의 그래프)은 미분 가능한 표면이자 대수 표면이다.그것은 또한 주름이 있는 표면이며, 이러한 이유로 건축에 자주 사용됩니다.
2장의 쌍곡선은 서로 교차하지 않는 2개의 서로 다른 표면의 결합이며 대수면이다.

파라메트릭 서페이스

파라메트릭 표면은 토폴로지 공간, 일반적으로 최소 3차원 유클리드 공간에서 연속 함수에 의해 유클리드 평면의 열린 부분 $($ 으로 $\mathbb {R} ^{2}$ R 2 \ $displaystyle \mathbb$ { $R$ } $^{2$ 의 이미지이다.일반적으로 함수는 연속적으로 미분 가능해야 하며, 이는 이 기사에서 항상 해당됩니다.

$구체적$ 으로 R $\mathbb {R} ^{3}$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ 파라메트릭 $표면$ 은 파라미터라고 불리는 두 $변수$ $\mathbb {R} ^{3}$ $u$ 와 $\mathbb {R} ^{3}$ v의 세 가지 함수에 의해 주어진다 $.$

{narged}x&=f_{1}(u,v)\y&=f_{2}(u,v)\z&=f_{3}(u,v),\end { aligned}

이러한 함수의 이미지가 곡선일 수 있으므로(예를 들어, 세 함수가 v에 $대해$ 일정하다면), 일반적으로 파라미터의 거의 모든 값에 대해 야코비 행렬이 다음과 같은 추가 조건이 필요하다.

{\dfrac f_{1}{\dfrac u}{\dfrac f_{1}{\dfrac v}\{\dfrac f_{2}}{\dfrac f_{{\frac u}}{\dfrac f_{\dfrac v}}}\{\dfrac f_{\df}{\dfrcf

2위를 차지했습니다.여기서 "거의 모든 것"은 순위가 2인 파라미터의 값에 파라미터 범위의 조밀한 오픈 서브셋이 포함되어 있음을 의미합니다.더 높은 차원의 공간에 있는 표면의 경우 조건은 Jacobian 행렬의 열 수를 제외하고 동일합니다.

탄젠트 평면 및 법선 벡터

위의 야코비안 행렬이 랭크 2를 $갖는$ 점 p를 규칙이라고 부르거나, 보다 적절하게는 $p$ 에서 매개변수화를 규칙이라고 부른다.

$정점$ p의 접선 평면은 p를 $통과$ 하고 야코비 행렬의 두 행 벡터에 평행한 방향을 가진 고유한 평면입니다.탄젠트 평면의 정의는 메트릭의 선택과 독립적이기 때문에 탄젠트 평면은 아핀 개념입니다.즉, 모든 아핀 변환은 접선 평면의 한 점에 접선 평면을 해당 점의 이미지에 매핑합니다.

표면의 한 점에 있는 법선이란 점을 통과하고 접선 평면에 수직인 고유한 선입니다. 법선 벡터는 법선과 평행한 벡터입니다.

표면의 다른 미분 불변량은 점 근처에서 표면의 미분 형상을 참조하십시오.

불규칙점 및 특이점

파라메트릭 표면의 정칙이 아닌 점은 불규칙하다.불규칙한 점이 몇 가지 있습니다.

파라메타리제이션이 변경되면 불규칙한 점이 규칙적이 될 수 있습니다.이것은 오일러 각도에 의한 단위 구체의 매개 변수화에서 극의 경우이다: 극을 변화시키기 위한 다른 좌표 축의 역할을 허용하기에 충분하다.

한편, 파라메트릭 방정식의 원뿔을 생각해보자.

(\displaystyle\displaystyle\sign\z&=tcos(u)\y&=t),\end { aligned}}

원뿔의 정점은 원점(0 $, 0$ , $0)$ 이며 t = $0일$ 때 구한다.어떤 매개 변수화를 선택하든 불규칙하게 유지되는 불규칙한 점입니다(그렇지 않으면 고유한 접선 평면이 존재할 수 있습니다).접평면이 정의되지 않은 이러한 불규칙한 점을 특이점이라고 한다.

다른 종류의 특이점이 있다.자기 교차점, 즉 표면이 스스로 교차하는 점이 있습니다.즉, 이들 포인트는 파라미터의 (적어도)2개의 다른 값에 대해 취득되는 포인트입니다.

이변량 함수 그래프

z = $f (x,$ $y)$ 를 두 실제 변수의 함수라고 $가정$ 합니다.이것은 파라메트릭 서페이스이며 파라미터는 다음과 같습니다.

(\displaystyle\displaystyle\t\y&=u\z&=f(t,u)),\end { aligned}}

야코비 행렬의 두 개의 첫 번째 열이 순위 2의 항등 행렬을 형성하기 때문에 이 표면의 모든 점은 규칙적이다.

유리 표면

유리 표면은 두 변수의 유리 함수에 의해 매개 변수가 될 수 있는 표면입니다.즉, 만약 f $($ $t, u)$ 가_i i = $0,$ 1, 2, 3에 대해 두 개의 불확정 다항식이라면, 파라메트릭 표면은 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\y&=paramfrac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u}}}\z&=paramfrac {f_{3}(t,u){0u}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f

합리적인 표면입니다.

유리면은 대수면이지만 대부분의 대수면은 유리면이 아니다.

암묵적 표면

차원 3의 유클리드 공간(또는 보다 일반적으로 아핀 공간)의 암묵적인 표면은 세 변수의 미분 가능한 함수의 공통 0 집합이다.

f(x,y,z)=0

암묵적 의미는 방정식이 변수 중 하나를 다른 변수의 함수로 암묵적으로 정의하는 것을 의미합니다.이것은 암묵적 함수 정리에 의해 더 정확해진다: 만약 $f (x 0, y 0, z 0$ ) = $0$ 이고, $f$ 의 $z$ 의 편미분이 ( $x 0,$ $y 0,$ $z 0)$ 에서 0이 아니라면, 다음과 같은 미분 가능한 함수 $δ$ ( $x,$ $y)$ 가 존재한다.

f(x,y,\varphi(x,y)=0

$(x 0,$ $y 0,$ $z 0)$ 부근에 있습니다.즉, 암묵적 표면은 z $단위$ 의 편도함수가 0이 아닌 표면의 점 부근에 있는 함수의 그래프이다.따라서 암묵적인 표면은 3개의 부분 도함수가 0인 표면의 점을 제외하고 국소적으로 파라메트릭 표현을 갖는다.

정규점 및 접선 평면

f의 $적어도$ 1개의 편도함수가 0이 아닌 표면의 점을 정칙점이라고 한다.이러한 점 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 0 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $)$ { $displaystyle(x_{0}, y_{0$ }, $z_{0$ 에서는 접선 평면과 법선의 방향이 잘 정의되며, 상기 정의로부터의 암묵적 함수 정리에 의해 θ 탄젠트 평면과 법선 벡터로 추론할 수 있다.법선의 방향은 기울기, 즉 벡터입니다.

\displaystyle \left[{\frac {\frac f}{0}, y_{0}, z_{0}, {\frac {{0}, y_{0}, z_{0}, {\frac {\frac f}{\f}, {\frac f}, y}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {\fr}, {\fright}, {\frac f}, f}, f}, f}, f}, f},}

탄젠트 평면은 그 암묵적 방정식에 의해 정의된다.

{\frac f}{\frac x}(x_{0}, y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\frac f}{\frac {0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})+{\frac {\frac f}{0}(x})

특이점

암묵적 표면의 특이점( $\mathbb {R} ^{3}$ 3에서 \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $3$ 은 암묵적 방정식이 유지되고 정의 함수의 세 가지 부분 도함수가 모두 0인 표면의 점이다.따라서, 특이점은 3개의 부정기적으로 4개의 방정식으로 이루어진 시스템의 해이다.이러한 시스템은 대부분 솔루션이 없기 때문에 많은 표면에는 단점이 없습니다.특이점이 없는 표면을 정점 또는 비단수면이라고 합니다.

특이점 근처의 표면과 특이점의 분류에 대한 연구는 특이점 이론이다.특이점은 그 근방에 다른 특이점이 없는 경우 격리된다.그렇지 않으면 특이점이 곡선을 형성할 수 있습니다.이는 특히 자기 교차 표면의 경우에 해당됩니다.

대수면

원래, 대수적 표면은 암묵적 방정식으로 정의될 수 있는 표면이었다.

f(x,y,z)=0,

$여기$ 서 f는 3개의 불확정 다항식으로, 실제 계수를 갖는다.

이 개념은 임의의 필드에 걸쳐 표면을 정의하고 임의의 차원의 공간 또는 투영 공간의 표면을 고려함으로써 여러 방향으로 확장되었습니다.다른 공간에 명시적으로 포함되어 있지 않은 추상 대수적 표면도 고려된다.

임의 필드 위의 표면

대수표면을 정의하기 위해 모든 분야에서 계수를 갖는 다항식이 받아들여진다.그러나 다항식의 계수장은 잘 정의되어 있지 않으며, 예를 들어 유리계수를 갖는 다항식은 실계수 또는 복소계수를 갖는 다항식으로 간주될 수도 있다.따라서 표면의 점 개념은 다음과 ^[2]^{[page needed]}같이 일반화되었다.

$다항식$ f $(x,$ $y,$ $z)$ 가 주어졌을 때, k는 계수를 포함하는 가장 작은 필드이고, $K$ 는 무한 초월도의 ^[3]k의 대수적으로 닫힌 확장이라고 $하자$ .그러면 표면의 점은 방정식의 해인 $K$ 의³ 원소이다.

f(x,y,z)=0

다항식이 실계수를 갖는 경우, $필드$ K는 복소장이며, R $($ 에 속하는 $표면$ 의 점을 실점이라고 한다.k에 $속하는 3$ 점을 k에 $대한$ 유리점 또는 k가 유리수의 장이라면 $단순히$ 유리점이라고 합니다.

투영면

차원 3의 투영 공간에서의 투영 표면은 4개의 변수에서 단일 균질 다항식의 0인 점들의 집합이다.보다 일반적으로 투영 표면은 투영 공간의 부분집합이며, 이는 차원 2의 투영적 다양성이다.

투영 표면은 아핀 표면(즉, 일반적인 대수 표면)과 강하게 관련되어 있습니다.정의 다항식의 일부 좌표 또는 불확정 좌표(일반적으로 마지막)를 1로 설정함으로써 투영 표면에서 대응하는 아핀 표면으로 통과한다.반대로 정의 다항식을 균질화하거나 정의 다항식을 균질화함으로써 아핀 표면에서 연관된 투영 표면(프로젝트 완료라고 함)으로 통과하거나 정의 다항식을 균질화함으로써(고차원 공간의 표면에 대한) 정의 이상의 모든 다항식을 균질화한다.

고차원 공간에서

대수적 다양성과 대수적 다양성의 차원에 대한 일반적인 정의 없이는 3보다 높은 차원의 공간에서 대수적 표면의 개념을 정의할 수 없다.사실, 대수적 표면은 2차원의 대수적 다양성이다.

보다 정확하게는, $차원$ n의 공간에 있는 대수적 표면은 $적어도$ n – 2 다항식의 공통 0 집합이지만, 이러한 다항식은 검증이 즉시 이루어지지 않을 수 있는 추가 조건을 만족해야 한다.첫째, 다항식은 다양성이나 고차원의 대수 집합을 정의해서는 안 되며, 이는 일반적으로 다항식 중 하나가 다른 다항식에 의해 생성된 이상에 있는 경우이다.일반적으로 n – $2$ 다항식은 $2차원$ 이상의 대수 집합을 정의한다.차원이 2인 경우, 대수 집합은 여러 개의 환원 불가능한 성분을 가질 수 있다. $성분$ 이 하나만 있으면 n - 2 다항식이 완전한 교집합인 표면을 정의합니다.성분이 여러 개일 경우 특정 성분을 선택하기 위해 추가 다항식이 필요합니다.

대부분의 저자들은 2차원의 대수적 다양성만을 대수적 표면으로 간주하지만, 일부 저자들은 또한 2차원의 축소 불가능한 성분이 있는 모든 대수적 집합을 표면으로 간주한다.

차원 3의 공간 내에서는 모든 표면이 완전한 교집합이며, 차원 2의 비가환성 대수집합이 표면으로 간주되는지 여부에 따라 축소할 수 없는 단일 다항식으로 표면을 정의한다.

토폴로지

위상학에서 표면은 일반적으로 치수 2의 다양체로 정의된다.이것은 위상 표면이 모든 점이 유클리드 평면의 열린 부분 집합과 동형인 근방을 갖는 위상 공간이라는 것을 의미한다.

모든 토폴로지 표면은 다면체 표면과 동형이며, 모든 면은 삼각형이다.이러한 삼각형의 배열(또는 보다 일반적으로, 고차원 단순형의 배열)에 대한 조합 연구는 대수 위상의 시작 대상이다.이를 통해 속 및 호몰로지 그룹과 같은 순수 대수적 불변성의 관점에서 표면의 특성을 특성화할 수 있습니다.

표면의 동형성 클래스가 완전히 설명되었습니다(표면(위상) 참조).

미분 가능한 표면

프랙탈 표면

컴퓨터 그래픽스

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 여기서 "암시적"은 다른 방법으로 정의할 수 있는 지표면의 속성을 가리키는 것이 아니라 지표면이 어떻게 정의되는지를 의미한다.따라서 이 용어는 "암묵적 방정식으로 정의된 표면"의 약어입니다.
^ Weil, André (1946), Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–363, ISBN 9780821874622, MR 0023093^{[페이지 필요]}
^ 무한 초월도는 일반적인 점의 개념을 정확하게 정의할 수 있는 기술적 조건입니다.

[1] 여기서 "암시적"은 다른 방법으로 정의할 수 있는 지표면의 속성을 가리키는 것이 아니라 지표면이 어떻게 정의되는지를 의미한다.따라서 이 용어는 "암묵적 방정식으로 정의된 표면"의 약어입니다.

[2] Weil, André (1946), Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–363, ISBN 9780821874622, MR 0023093^{[페이지 필요]}

[3] 무한 초월도는 일반적인 점의 개념을 정확하게 정의할 수 있는 기술적 조건입니다.

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