심플렉틱 컷

수학에서, 특히 공감 기하학에서, 공감 기하학 컷은 공감 다지관의 기하학적 변형이다.그 효과는 주어진 다지관을 두 조각으로 분해하는 것이다.두 다지관을 하나로 접착하는 역작동, 즉 공선합이 있다.공감적 절단도 공감적 타격 상승의 일반화라고 볼 수 있다.이 컷은 1995년 유진 러먼에 의해 도입되었는데, 그는 그것을 다지관에서의 동정적 지수 및 기타 작업을 연구하는데 사용했다.

위상학적 설명

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (X,\omega )}$은(는) 모든 공통적인 다지관이고

$\displaystyle \mu :X\to \mathb {R}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 해밀턴어.$$$level{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$은(는)${\displaystyle }\mu {\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( value )$${\$displaystyle \mu$$$$^{-1}(\epsilon )}$의 정규 값이 되도록$$$$ 두십시오.또한 ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}ϵ}$) ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$이(가) 원 모양으로 섬유화되어 있으며$$, 각각은 유도 해밀턴 벡터 필드의 적분 곡선이라고 가정한다.

이러한 가정 하에서 ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle ϵ}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle \mu ^{-1}([\epsilon ,\fty )}$은 경계 $\mu {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}ϵ}$) ${\displaystyle \mu$^{-$1}(\epsilon$ $)\}$이 있는 다지관이다$$.

${\displaystyle {\overline{X}_{\mu \geq \epsilon }}}$

각 원섬유를 한 점으로 붕괴시킴으로써.즉 $X{\displaystyle {\stackrel{}{}\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$μ μ ${{\${\${\displaystyle \mathrm{mu}}$ \geq$\$epsilon }}}은(는) X {\displaystyle $X}$이며, $\mu {\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle }$, $style$) ${\mu ^-1}(-\forthigh,\psilon)$은)은 각 광섬유를 따라$$ 경계가 무너졌다.경계의 몫은 $X$의 ${\$_{\$mu \geq$ \epsilon $}}}}}$의 하위$$ manifold로, $V{\displaystyle }$ ${\displaystystyle V}$로 표시된다$.$

마찬가지로, ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,$$ ${\displaystyle ]}$]$$) {\$displaystyle$ \$mu$ \mu$\$mu \$epsilon$ }}다$지관 X$${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ$displaystyle{X_}{\mu \leq \epsilon$ $\}\}\}\}$에서 형성될 수 있으며$,$ 이 $또한$ V ${\copa.$심플렉틱 컷은 다지관 $X{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\mu }}$ μ${\$ $X$ μ μ${\$displaystyle ${\x_}{\mu \geq \epsilon}}}}}}$의 쌍이다$.$

때때로 두 개의 반쪽이 공유 하위 관리형 V {\$displaystyle$ V}을$($를) 따라 결합되어$$ 단일한 공간을 생성하는 것으로 보는 것이 유용하다$.$

${\displaystyle {\overline{X}_{\mu \leq \epsilon }\cup_{V}{\overline {X}_{\mu \geq \epsilon }}}}$

예를 들어, 이 단수공간은 변형으로 간주되는 공동체의 중심섬유다.

심포렉틱

앞의 서술은 다소 조잡하다. 즉, 복합절단 위에 있는 동시절단 구조를 추적하기 위해 더 많은 주의가 필요하다.이를 위해${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (X,\omega )}$을(를) 모든 공통 다지관이 되도록$$ 한다.원 그룹 $U{\displaystyle (1}$) ${\displaystyle$ U$(1)}$이$($가) 모멘트 맵과 함께 해밀턴$방식$으로 X {\$displaystyle$ X}에$$ 작용한다고 가정해 보십시오.

$\displaystyle \mu :X\to \mathb {R} .}$

이 모멘트 맵은 원 액션을 생성하는 해밀턴 함수라고 볼 수 있다.$C$ {\$displaystyle \mathb {C}$에 좌표 $z{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $z}$이(가) 있는 제품 공간 $X{\displaystyle }$$$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$$\}$은(는) 유도 공감각형과 함께 제공된다.

${\displaystyle \omega \oplus(-idz\filency d{\bar {z}).}$

그룹 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle U$(1$)}$이(가) 해밀턴식 방식으로 제품에 작용한다$$.

${\displaystyle e^{i\theta }\cdot (x,z)=(e^{i\theta }\cdot x, e^{-i\ta }z)}$

모멘트 맵으로

${\displaystyle \nu(x,z)=\mu(x)- z ^{2}.}$

$\mu {\displaystyle {}^{}}$ - 1 (${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle }${\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ \epsilon }을$($를$)$ 실제 숫자로 하여 원 동작이 μ - 1 ( $style$ ) {\$displaystyle$$\$$mu$ ^{-1}(\epsilon $)}$에서 자유롭도록 하십시오$$$.$그러면 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$은(는) $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$의 정규 값이고$,$ $\nu {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}ϵ}$) ${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon )}$은 다지관이다$$.

This manifold ${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon )}$ contains as a submanifold the set of points ${\displaystyle (x,z)}$ with ${\displaystyle \mu (x)=\epsilon }$ and ${\displaystyle z ^{2}=0}$; this submanifold is naturally identified with ${\dis$$플레이$ 스타일 $\mu$^{-$1}(\epsilon )}$.점$({\displaystyle }$x${\displaystyle }$,${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle (x,z)}$과(와) )> ${\displaystyle \mu(x)}\epsilon }$로 구성된 하위 manifold의 보완은 의 산물과 함께 자연적으로 식별된다

${\displaystyle X_{}\epsilon }:=\mu ^{-1}((\epsilon ,\flt )}$

그리고 원.

다지관 $\nu {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}ϵ}$) ${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon )}$은 방금 설명한 두 개의 하위매니폴드와 마찬가지로 해밀턴 원 동작을 계승한다$$.그래서 어떤 사람은 동정적 지수를 형성할 수 있다.

${\displaystyle {\overline{X}_{\mu \geq \epsilon }:=\nu ^{-1}(\epsilon )/U(1)}$

시공에 의해, 밀도 있는 오픈 로 μ >${\$을 포함하고, 본질적으로 이 오픈 다지관을 동일율의 지수로 압축한다.

${\displaystyle V:=\mu ^{-1}(\epsilon )/U(1)$

$X{\displaystyle {\stackrel{}{}\mu }_{\mu }}$ μ${\$}}}의$$ 합성 부매니폴드다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Kahler라면 절단 공간 $X$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\mu }}$μ${\displaystyle{X}_{\mu \geq \epsilon$ $\}\}\}\}\}\}$ 그러나 $>{\$> $엡실론}}}}}}}}}}}}$의 내장은 등측정이 아니다.

하나는 $X$의${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ${\$ \epsilon $}}}}$을$($를) 대칭으로 구성한다.두 컷의 반쪽에 있는$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 정상적인 번들은 서로 반대편이다(동감적으로 반이형성을 의미한다).$X$의$$${\displaystyle {\mu s}_{\mathrm{\mu s}}}${\$displaystyle {\$displaystyle ${\X}_{\$$mu$ $\geq \epsilon }}$과 $X$의${\displaystyle {\stackrel{}{}\mu s}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu s}}_{}}$ μs$μs{\$$displaystyleq$$\$$ipsilon }$은 $V$를 따라$$ X ${\\\\\displaystystystystystystystystystystytype$ X$}$을 회복한다$.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 글로벌 해밀턴 원 동작의 존재는 제한적인 가정으로 보인다$$.그러나, 실제로 절단은 필요하지 않다. 절단은 ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}ϵ}$) ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$에 가까운 로컬 해밀턴 원 작용과 같은 보다 일반적인 가설 하에서 수행될 수 있다.$$ (절단은 국지적인 작업이기 때문이다.)

잘라내듯이 불어라.

복합 $다지관{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X$}이$$(가) 하위 $관리형{\displaystyle }$ Z ${\displaystyle Z}$을(를) 따라 폭파될 때 블로업 $로커스{\displaystyle }$ Z$${\$displaystyle Z}$이(가) 예외적인 $구분자{\displaystyle }$ E$${\$displaystyty E}$로 대체되고$$$$ 나머지 다지관은 방해받지 않고 그대로 남는다$.$토폴로지적으로 이 작업은 $blow{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ 블로업 로커스의 인접성을$$ 제거한 후에 Hopf 지도에 의해 경계가 붕괴되는 것으로도 볼 수 있다.

연성 다지관을 폭파하는 것은 더 미묘하다. 연성 다지관을 폭파 지점의 근처에서 연성 형태를 조정해야만 연성 다지관을 폭파할 수 있기 때문이다.공감삭감은 이웃-삭제/경계붕괴 과정을 동정적으로 엄격하게 만드는 우아한 수단이다.

As before, let ${\displaystyle (X,\omega )}$ be a symplectic manifold with a Hamiltonian ${\displaystyle U(1)}$-action with moment map ${\displaystyle \mu }$. Assume that the moment map is proper and that it achieves its maximum ${\displaystyle m}$ exactly along a symplectic submanifold ${\displa$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $ystyle$ Z$\}.$ 더욱이 일반 번들 N $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{X}Z}$에 있는 $U{\displaystyle (1}$) ${\displaystyle U(1)}$의 동위원소 표현 가중치는 $모두{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$이라고 가정한다$.$

그런 다음 작은 $small{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$의 경우 X > - ${\$의 임계점만$$ $Z$ ${\displaystystyle$ Z$}$에 있다$.$The symplectic cut ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq m-\epsilon }}$, which is formed by deleting a symplectic ${\displaystyle \epsilon }$-neighborhood of ${\displaystyle Z}$ and collapsing the boundary, is then the symplectic blow up of ${\displaystyle X}$ along ${\displaystyle Z}$$$.

참조

• 유진 러먼:Commonlectic cuts, Mathemical Research Letter 2(1995), 247–258
• 두사 맥더프와 D.살라몬:Simplexic Topology (1998) 옥스퍼드 수학 단문자, ISBN0-19-850451-9.