Touchard 다항식

Jacques Touchard(1939년)에 의해 연구된 Touchard 다항식(다항식)은 지수 다항식 또는 Bell 다항식이라고도 하며, 이항식(이항식)의 다항식 시퀀스로 구성된다.

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k^}=\sum _{k=0}^{n}\n \atop k}\right\}x^{k}}}}$

여기서 $S{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}\}}$ ${\$\n \$atop$ k$}\right\}}}$은 두 번째 종류의 스털링 번호로, 즉, n 크기를 k 분리 비 빈 하위 집합으로 분할하는 수입니다.^[1][2][3][4]

특성.

기본 속성

n번째 Touchard 다항식 중 1의 값은 n번째 벨 번호, 즉 n번째 크기 집합의 파티션 수입니다.

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}$

X가 포아송 분포를 갖는 기대값 with의 랜덤 변수인 경우, 그 n번째 모멘트는 E(Xⁿ) = T_n(λ)이며, 이는 다음과 같은 정의로 이어진다.

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\frac {x^{k}^{n}}}{k!}}.}$

이 사실을 사용하면, 이 다항식 순서가 이항형, 즉, 다음과 같은 정체성의 순서를 만족한다는 것을 빠르게 증명할 수 있다.

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \n \선택 k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu).}$

Touchard 다항식은 모든 다항식에서 x 계수가 1인 이항식의 유일한 다항식 시퀀스를 구성한다.

Touchard 다항식은 Rodrigues와 같은 공식을 만족시킨다.

${\displaystyle T_{n}\왼쪽(e^{x}\오른쪽)=e^{-e^{x}{\frac{d^{n}}{dx^{n}}}{dx^{n}}\e^{e^{x}}}}.}$

Touchard 다항식(Touchard polyomials)은 재발 관계를 만족한다.

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\왼쪽(1+{\frac {d}{dx}}\오른쪽)T_{n}(x)}$

그리고

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \ \선택 k}T_{k}(x)}$

x = 1의 경우, 이는 벨 번호에 대한 반복 공식으로 감소한다.

탯줄 표기법 Tⁿ(x)=T_n(x)를 사용하면 다음과 같은 공식이 된다.

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\왼쪽(T(\lambda )+T(\mu )\오른쪽)^{n}}}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\좌측(1+T(x)\우측)^{n}}$

Touchard 다항식의 생성 기능은

${\displaystyle \sum \sum _{n=0}^{\{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\왼쪽(e^{t}-1\오른쪽)}}}}$

두 번째 종류의 스털링 숫자의 생성 기능에 해당된다.

Touchard 다항식에는 등고선 적분 표현:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}}{2\pi i}\point {\frac {e^{xee^{t-1)}}{t^{n+1}}\,dt.}$

제로스

Touchard 다항식의 모든 0은 실제와 음의 것이다.이 사실은 1967년 L. H. 하퍼에 의해 관측되었다.^[5]

가장 왼쪽 0의 절대값은 위와 경계를 이룬다^[6].

${\displaystyle {\frac{1}{n1}:{n2}}+{\frac{n1}{n1}{n}{n}{n}{n1}{n}}-{2n}-{n}{n}}{n-1}{3}+3}{n}{n}}}}}{n}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}{n$

비록 가장 왼쪽의 0은 지수 n과 함께 선형적으로 성장한다고 추측된다.

Touchard 다항식의 말러$$ 측정치 $M{\displaystyle (T_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle M(T_{n})}$은 다음과 같이 추정할 수 있다.^[7]

${\displaystyle {\frac {\lbrace \n \atop \Oomega _{n}{n}{n}{\binom {n}{n}}}\binom {n}}\n}\sqrt{n+1}}\{n \atop K_{n\}오른쪽}}}}}$

where ${\displaystyle \Omega _{n}}$ and ${\displaystyle K_{n}}$ are the smallest of the maximum two k indices such that ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$ and ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$ are ma각각 ximal.

일반화

• Complete Bell polynomial ${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ may be viewed as a multivariate generalization of Touchard polynomial ${\displaystyle T_{n}(x)}$, since ${\displaystyle T_{n}(x)=$$B_{n}(x,x,\dots,x).$$}$
• Touchard 다항식(따라서 벨 번호)은 위의 적분 중 실제 부분을 사용하여 비정수자 순서로 일반화할 수 있다.

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.}$

참고 항목

• 벨 다항식

참조

• Touchard, Jacques (1939), "Sur les cycles des substitutions", Acta Mathematica, 70 (1): 243–297, doi:10.1007/BF02547349, ISSN 0001-5962, MR 1555449