전달 매트릭스 방식

통계 역학에서 transfer-matrix 방법은 파티션 함수를 보다 단순한 형태로 쓰기 위해 사용되는 수학적 기법이다.1941년 한스 크레이머스와 그레고리 워니에 의해 도입되었다.^[1][2]많은 1차원 격자 모델에서 파티션 함수는 가능한 각 마이크로 상태에 대한 n-폴드 합산으로 처음 기록되며, 각 마이크로 상태 내에서 시스템의 에너지에 대한 각 요소의 기여도에 대한 추가 합계를 포함한다.

개요

고차원 모델은 훨씬 더 많은 합계를 포함한다.입자가 몇 개 이상 있는 시스템의 경우, 그러한 표현은 컴퓨터로도 직접적으로 운동하기에는 너무 빨리 복잡해질 수 있다.

대신 파티션 함수는 동등한 방법으로 다시 쓸 수 있다.기본 아이디어는 파티션 함수를 양식으로 쓰는 것이다.

${\displaystyle {\mathbf{Z}=\mathbf {v} _{0}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdotbf \left \{{n1}{0}\cdot \cdotbf {v}_{{{{{{n+1}$

여기서 v와₀ v는_N+1 치수 p의 벡터이고 p × p 행렬 W는 소위_k 전달 행렬이다.경우에 따라, 특히 주기적인 경계 조건이 있는 시스템의 경우, 파티션 함수는 다음과 같이 보다 단순하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{Z}=\operatorname {tr} \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}}}}}}}}$

여기서 "tr"는 행렬 추적을 나타낸다.어느 경우든 파티션 함수는 고유분석을 이용하여 정확히 해결할 수 있다.행렬이 모두 동일한 행렬 W인 경우, 추적이 고유값의 합이고 두 대각 행렬의 곱의 고유값이 개별 고유값의 곱과 같기 때문에 분할 함수는 W의 가장 큰 고유값의^th N 검정력으로 근사치를 계산할 수 있다.

Transfer-matrix 방법은 전체 시스템을 인접한 서브시스템과만 상호작용하는 일련의 서브시스템으로 나눌 수 있을 때 사용된다.예를 들어, Ising 모델에서 3차원 입체 격자형 스팽이 격자무늬만 상호작용하는 일련의 2차원 평면 스팽이 격자로 분해될 수 있다.p × p 전송 매트릭스의 치수 p는 서브시스템이 가질 수 있는 상태의 수와 같다; 전송 매트릭스 자체 W는_k 서브시스템 k의 다른 상태 옆에 있는 특정 상태와 연관된 통계 가중치를 암호화한다.

이 방법으로 계산할 수 있는 관측 가능성의 예로서 위치 x에서 특정 상태 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}$이(가) 발생할$$ 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{m}(x)={\frac {\operatorname {tr} \좌측[\prod _{k=1}^{x}\mathbf {W} _{k}\mathbf {Pj} \prod _{k'=x+1}^{pod}^{{p}}^{p}}}N}\mathbf {W} _{k'}\오른쪽]{\operatorname {tr} \left[\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right]}}}}}}$

여기서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle Pj}$은$($는) $상태{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$에 대한 투영 행렬로, P $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu m}}_{}}$ ${\$delta _}}}}}}}}}}}}\$m}}}}}}}}}}}$을(으)를 갖는다.

전달 매트릭스 방법은 나선 코일 전환의 짐-브랙과 리프슨-루이그 모델, 단백질-DNA 결합을 위한 전달 매트릭스 모델, 라르스 온사거의 유명한 2차원 Ising 모델의 정확한 해법 등 통계 역학에서 많은 문제의 정확한 해법에 매우 중요하다.

참고 항목

• 전송 연산자

참조

메모들

• Rodney J. Baxter (1982). Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press. ISBN 978-0-12-083182-1.
• Teif V.B. (2007). "General transfer matrix formalism to calculate DNA-protein-drug binding in gene regulation". Nucleic Acids Res. 35 (11): e80. doi:10.1093/nar/gkm268. PMC 1920246. PMID 17526526.
• Efremov AK, Winardhi RS, Yan J (2016). "Transfer-matrix calculations of DNA polymer micromechanics under tension and torque constraints". Phys. Rev. E. 94 (3): 032404. Bibcode:2016PhRvE..94c2404E. doi:10.1103/PhysRevE.94.032404. PMID 27739846.
• Efremov AK, Yan J (2018). "Transfer-matrix calculations of the effects of tension and torque constraints on DNA-protein interactions". Nucleic Acids Res. 46 (13): 6504–6527. doi:10.1093/nar/gky478. PMC 6061897. PMID 29878241.