변환 세미그룹

대수학에서 변환 세미그룹(또는 구성 세미그룹)은 함수 구성 하에서 닫히는 변환(세트부터 자체까지의 기능)의 집합이다.만약 그것이 정체함수를 포함한다면, 그것은 변환(또는 구성) 단면체라고 불리는 단면체다.이것은 순열 그룹의 세미그룹 아날로그 입니다.

세트의 변환 세미그룹은 그 세트에 tautological sem그룹 액션을 가진다.그러한 행동은 충실한 것으로 특징지어진다. 즉, 세미그룹의 두 요소가 동일한 작용을 가지고 있다면, 그들은 동등하다.

Cayley의 정리를 아날로그로 보면 어떤 세미그룹이라도 어떤 세트의 변형 세미그룹으로 실현될 수 있다는 것을 알 수 있다.

오토마타 이론에서, 일부 저자들은 변환 세미그룹이라는 용어를 사용하여 세미그룹의 베이스 세트와 다른 일련의 "상태"에서 충실하게 행동하는 세미그룹을 가리킨다.^[1]그 두 관념 사이에는 일치가 있다.

변환 세미그룹 및 모노이드

변환 세미그룹은 쌍(X,S)이며, 여기서 X는 집합이고 S는 X의 변환 세미그룹이다.여기서 X의 변환은 X의 부분집합에서 X로의 변환일 뿐, 반드시 변환할 수 있는 것은 아니며, 따라서 S는 단순히 함수의 구성 하에서 닫히는 X의 변환 집합일 뿐이다.주어진 베이스 세트인 X의 모든 부분함수의 집합은 모든 부분변환(또는 X의 부분변환 세미그룹)의 세미그룹이라는 정규 세미그룹을 형성하며, 일반적으로 P ${\mathcal {PT}}_{X}$ ${\mathcal {PT}}_{X}$ ${\$ 로 표시된다 ${\mathcal {PT}}_{X}$ ^[2]

S가 X의 아이덴티티 변환을 포함하면 변환 모노이드라고 한다.분명히 어떤 변환 세미그룹 S는 정체성 변환과 함께 S의 결합을 취함으로써 변환 모노이드 M을 결정한다.변형이 불가능한 단일 변환은 순열 그룹이다.

X의 모든 변환 집합은 X의 전체 변환 모노이드(또는 세미그룹)라고 불리는 변환 모노이드다.X의 대칭 세미그룹이라고도 하며 T로_X 표기된다.따라서 변환 세미그룹(또는 모노이드)은 X의 전체 변환 단면체의 서브그룹(또는 서브모노이드)일 뿐이다.

(X,S)가 변환 세미그룹인 경우, 다음 평가를 통해 X를 S의 세미그룹 작용으로 만들 수 있다.

s\cdot x=s(x){\text{ for }s\in S,x\in X.

이것은 S가 변형단조인 경우 모노이드 작용이다.

변형 세미그룹들의 특징적인 특징은 행동으로서 충실하다는 것이다. 즉, 다음과 같다.

s\cdot x=t\cdot x{\text{{}모든 }x\in X,

s = t. 반대로 semigroup S가 T(s,x) = s • x로 설정된 X에 작용하는 경우, s s S에 대해 다음과 같이 X의 변환 T를_s 정의할 수 있다.

[\displaystyle T_{s}(x)=T(s,x)]\,}

T에_s s를 보내는 지도는 (X, T)가 충실한 경우에만 주입되며, 이 경우 이 지도 이미지는 S에 대한 변환 세미그룹 이형이다.

케이리 표현

그룹 이론에서, 케이리의 정리는 어떤 그룹 G가 (세트로 간주되는) G의 대칭 그룹의 하위 그룹에 이형성이므로 G가 순열 그룹이라고 주장한다.이 정리는 모노이드에게 직접적으로 일반화된다: 모든 모노이드 M은 왼쪽(또는 오른쪽) 곱셈에 의해 주어지는 작용을 통해 그 기본 집합의 단조형 변환이다.도끼 = M의 모든 x에 대해 bx인 경우, x를 ID 요소와 동등하게 취함으로써 a = b를 갖기 때문에 이 작용은 충실하다.

(좌 또는 우) 아이덴티티 요소가 없는 Sem그룹에 대해, X의 변환 세미그룹으로서 S를 실현하기 위해 S에 해당하는 모노이드의 기본 집합으로 X를 선택한다.특히 어떤 유한한 세미그룹이라도 X + S + 1로 세트 X의 변환 하위그룹으로 나타낼 수 있으며, S가 모노이드라면 우리는 유한집단의 경우와 같이 더 날카로운 바운드 X ≤ S 를 가지고 있다.^[3]^{: 21}

컴퓨터 공학에서

컴퓨터 공학에서, 케이리 표현은 다중 합성 곱셈을 재조정함으로써 세미그룹의 점증적 효율을 향상시키기 위해 적용될 수 있다.왼쪽 곱셈에 의해 주어지는 작용은 오른쪽 연관 곱셈이 되고, 오른쪽 곱셈에 의해 주어지는 작용에 대해서는 오른쪽 곱셈이 주어진다.어떤 세미그룹에서도 같은 결과를 얻었음에도 불구하고, 점증적 효율성은 다를 것이다.왼쪽 곱셈의 작용에 의해 주어지는 유용한 변환 모노이드의 두 가지 예로는 차이 목록 데이터 구조의 기능적 변동과 모노이드 코드확대 변환(특정 모노이드 펑터 범주의 모노이드인 모노이드의 Cayley 표현)이 있다.^[4]

자동 변형이 없는 변환

M을 상태 공간 S와 알파벳 A를 갖는 결정론적 자동화가 되게 하라.자유 모노이드 A의^∗ 말은 S의 변형을 유도하여 A에서^∗ 완전 변형 모노이드 T로_S 모노이드 모피즘을 일으킨다.이 형태론의 이미지는 M의 변환 세미그룹이다.^[3]^{: 78}

일반 언어의 경우, 구문론적 모노이드는 언어의 최소 자동화의 변형에 대해 이형성이다.^[3]^{: 81}

참고 항목

참조

^ Dominique Perrin; Jean Eric Pin (2004). Infinite Words: Automata, Semigroups, Logic and Games. Academic Press. p. 448. ISBN 978-0-12-532111-2.
^ Alfred Hoblitzelle Clifford; G. B. Preston (1967). The Algebraic Theory of Semigroups. Volume II. American Mathematical Soc. p. 254. ISBN 978-0-8218-0272-4.
^ ^a ^b ^c Anderson, James A. (2006). Automata Theory with Modern Applications. With contributions by Tom Head. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511607202. ISBN 978-0-521-61324-8. Zbl 1127.68049.
^ Rivas, Exequiel; Jaskelioff, Mauro (2017). "Notions of Computation as Monoids". Journal of Functional Programming. 27 (e21). arXiv:1406.4823. doi:10.1017/S0956796817000132.

Clifford, A.H.; Preston, G.B. (1961). The algebraic theory of semigroups. Vol. I. Mathematical Surveys. Vol. 7. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4. Zbl 0111.03403.
Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 12. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077.
마티 킬프, 울리히 크나워, 알렉산더 5세Mikhalev(2000), Monoids, Acts and Categories: Hward Products and Graphs, Expositions in Mathical 29, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-015248-7.

[PerrinPin2004-1] Dominique Perrin; Jean Eric Pin (2004). Infinite Words: Automata, Semigroups, Logic and Games. Academic Press. p. 448. ISBN 978-0-12-532111-2.

[CliffordPreston1967-2] Alfred Hoblitzelle Clifford; G. B. Preston (1967). The Algebraic Theory of Semigroups. Volume II. American Mathematical Soc. p. 254. ISBN 978-0-8218-0272-4.

[JAA-3] Anderson, James A. (2006). Automata Theory with Modern Applications. With contributions by Tom Head. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511607202. ISBN 978-0-521-61324-8. Zbl 1127.68049.

[4] Rivas, Exequiel; Jaskelioff, Mauro (2017). "Notions of Computation as Monoids". Journal of Functional Programming. 27 (e21). arXiv:1406.4823. doi:10.1017/S0956796817000132.

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