횡단면(지오메트리)

각도 유형
2D 각도
맞다 실내 외부
2D 각도 쌍
인접 수직 보완적 보충 횡단면
3D 각도
디헤드랄
v t

기하학에서 횡단(transversal)은 두 개의 뚜렷한 점에서 같은 평면의 두 선을 통과하는 선이다. 횡단보도는 유클리드 평면의 다른 두 개 이상의 선이 평행한지 여부를 확인하는 역할을 한다. 두 개의 선을 가진 횡단면의 교차점은 연속된 내부 각도, 연속된 외부 각도, 해당 각도, 대체 각도 등 다양한 형태의 각 쌍을 생성한다. 유클리드 평행추정 결과, 두 선이 평행하면 연속된 내부 각도가 보충되고, 해당 각도가 동일하며, 대체 각도가 동일하다.

횡단각

횡단면은 위 왼쪽 그래프에 표시된 것처럼 8개의 각도를 생성한다.

• 4는 α, β, β, Δ와 그 다음 α₁, β₁, β₁, Δ와₁ 같은 두 개의 선과 함께, 그리고
• 그 중 4개는 내부(두 선 사이), 즉 α, β₁, Δ, Δ₁, 4개는 외부, 즉 α₁, β₁, Δ이다.

두 평행선을 직각으로 자르는 횡단선을 수직 횡단이라고 한다. 이 경우 8각은 모두 직각이다.

선이 평행할 때, 흔히 고려되는 경우, 횡단면은 여러 개의 일치각과 여러 개의 보조 각도를 생성한다. 이러한 각도 쌍 중 일부는 특정한 이름을 가지고 있으며 아래에서 설명된다:^[2][3]상응각, 대체각, 연속각.

교대각

대체 각도는 다음과 같은 네 쌍의 각이다.

• 정점이 뚜렷하다.
• 횡단면의 반대편에 놓여 있다.
• 두 각도가 모두 내부 또는 외부 각이다.

한 쌍의 두 각도가 일치하면(척도가 같음), 다른 쌍의 각도 일치한다.

절대 기하학의 정리인 유클리드 원소의 제안 1.27은 교차각의 한 쌍의 교차각의 각도가 일치하면 두 선은 평행(비 교차각)이라는 것을 증명한다.

두 선이 평행하면, 한 쌍의 횡단 각도가 일치한다는 것이 유클리드 평행설정에 따른다(유클리드 원소의 제안 1.29).

동위각

해당 각도는 다음과 같은 네 쌍의 각이다.

• 정점이 뚜렷하다.
• 횡단보도의 같은 편에 놓여 있다.
• 한 각은 내부고 다른 각은 외부다.

두 선은 어느 한 쌍의 해당 각도의 두 각도가 일치할 경우에만 평행하다(측정이 같음).

절대 기하학의 정리인 유클리드 원소의 제안 1.28은 (상호 쌍과 유클리드 기하학에서 모두 유효함) 만약 한 쌍의 해당 각도가 일치한다면, 두 선은 평행(비 교차)이라는 것을 증명한다.

두 선이 평행하면 한 쌍의 횡단 각도가 일치한다는 것은 유클리드 평행 가설에서 따온 것이다(유클리드 원소의 제안 1.29).

만약 한 쌍의 해당 각도가 일치한다면, 다른 쌍들의 각도 또한 일치한다. 이 페이지에 평행선이 있는 다양한 영상에서 해당 각도 쌍은 α=α₁, β=β₁, β=β₁, Δ=Δ₁.

연속 내부 각도

연속 내부 각도는 다음과 같은 두 쌍의 각도를 의미한다.^[4][2]

• 정점이 뚜렷하다.
• 횡단보도의 같은 편에 놓여 있다.
• 둘 다 실내에 있다.

두 선은 어떤 한 쌍의 연속적인 내부 각도의 두 각도가 보완적인 경우에만 평행하다(합계는 180°).

절대 기하학의 정리인 유클리드 원소의 제안 1.28은 연속적인 내부 각도의 쌍의 각도가 보충된다면 두 선은 평행(비절연)이라는 것을 증명한다.

두 선이 평행할 경우, 횡방향의 연속된 내부 각도의 쌍의 각도가 보충(유클리드 원소의 제안 1.29).

연속된 내부 각도의 한 쌍이 보조적인 경우 다른 쌍도 보조적인 것이다.

횡단보도의 기타 특성

일반적인 위치에 있는 세 개의 선이 삼각형을 이루는 경우, 그 다음 횡단면에 의해 절단된다. 결과 6개의 세그먼트의 길이는 메넬라오스의 정리를 만족시킨다.

관련 정리

유클리드 평행 자세의 공식은 횡단적인 측면에서 명시될 수 있다. 특히 횡단면의 동일한 면에 있는 내부 각도가 직각 2개 미만인 경우 선은 교차해야 한다. 사실 유클리드에서는 그리스어로 보통 "번역"^[5]으로 번역되는 같은 구절을 사용한다.

유클리드 발의안 27호는 교차로가 두 선을 교차하여 대체 내부 각도가 일치하도록 하면 선들이 평행하다고 명시하고 있다. 유클리드는 이것을 모순으로 증명한다. 선들이 평행하지 않으면 교차해야 하고 삼각형이 형성되어야 한다. 그러면 대체 각 중 하나는 삼각형에서 반대되는 내부 각인 다른 각도와 동일한 외부 각이다. 이것은 삼각형의 외부 각도가 항상 반대되는 내부 각도보다 크다는 제안 16과 모순된다.^[6][7]

유클리드 제안 28은 이 결과를 두 가지로 확장한다. 첫째, 횡단면이 두 선을 교차하여 해당 각도가 일치하면 선은 평행이다. 둘째, 횡단면이 두 선을 교차하여 횡단면의 같은 면에 있는 내부 각도가 보충되도록 하는 경우, 선은 평행이다. 이는 교차선의 반대 각도가 같으며(제15권) 선상의 인접 각도가 보완적이라는 사실(제13권)을 적용함으로써 이전 명제에서 따온 것이다. Proclus에서 언급한 바와 같이, 유클리드에서는 병렬 라인에 대해 가능한 여섯 가지 기준 중 세 가지만 제시한다.^[8][9]

유클리드 제안 29는 앞의 두 가지 제안과 반대되는 것이다. 첫째, 횡단면이 두 개의 평행선을 교차하는 경우, 대체 내부 각도가 일치한다. 그렇지 않으면 한 쪽이 다른 쪽보다 크므로, 이는 그 보충이 다른 각도의 보충보다 작다는 것을 의미한다. 이는 횡단면의 같은 면에 직각 2개 미만의 내부 각도가 있어 다섯 번째 가정과 모순된다는 것을 의미한다. 두 개의 평행선의 횡단면에서는 해당 각도가 일치하고 같은 쪽의 내부 각도가 두 개의 직각과 동일하다고 명제는 계속된다. 이러한 진술은 프롭 28이 프롭 27에서 따온 것과 같은 방식으로 이어진다.^[10][11]

유클리드의 증거는 다섯 번째 가설의 필수적인 사용을 만들지만, 현대적인 기하학적 치료는 플레이페어의 공리를 대신 사용한다. Playfair의 공리를 가정하여 발의안 29를 증명하려면, 횡단선이 두 개의 평행선을 교차하도록 하고 대체 내부 각도가 같지 않다고 가정한다. 횡단면이 첫 번째 선을 가로지르지만 두 번째 선으로 횡단선이 만드는 각도와 동일한 각도로 세 번째 선을 그린다. 이것은 한 점을 통해 두 개의 다른 선을 생성하는데, 두 선 모두 다른 선과 평행하며, 공리와 모순된다.^[12][13]

더 높은 차원으로

더 높은 치수 공간에서는, 구별되는 점의 선 집합 각각을 교차하는 선은 그 선 집합의 횡단이다. 2차원(평면) 사례와 달리, 2개 이상의 선 세트에 대해서는 횡단면이 존재한다고 보장되지 않는다.

유클리드 3-공간에서 레귤러스는 R의 각 선에 있는 각 점을 통과하여 R의 횡단면을 통과하고 R의 횡단 각 지점을 통과하여 R의 선을 통과하는 일련의 스큐 라인이다. 레귤러 R의 횡단 세트도 레귤러로, 반대 레귤러 R이라고^o 불린다. 이 공간에서는 세 개의 서로 꼬이는 선이 항상 규율까지 확장될 수 있다.

참조

• Holgate, Thomas Franklin (1901). Elementary Geometry. Macmillan.
• Thomas Little Heath, T.L. (1908). The thirteen books of Euclid's Elements. Vol. 1. The University Press. pp. 307 ff.