트루 산술

수학 논리학에서 참 산수는 자연수의 산수에 관한 모든 진정한 1차 진술의 집합이다.^[1]제1차 페아노 공리의 언어에 있어서의 페아노 공리의 표준 모델과 관련된 이론이다.진정한 산수는 때때로 스콜렘 산술이라고 불리지만, 이 용어는 보통 곱셈을 가진 자연수의 다른 이론을 가리킨다.

정의

페아노 산술의 서명은 덧셈, 곱셈, 후계 함수 기호, 등호 및 하한 관계 기호, 0에 대한 상수 기호를 포함한다.1차 산술 언어의 (잘 형성된) 공식은 이러한 기호들과 함께 통상적인 1차 논리 방식의 논리 기호와 함께 구축된다.

$N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${N$} 구조$는 다음과$$ 같이 Peano 산술의 모델로 정의된다.

• 담화 영역은 자연수의 $N$ ${\$ 집합이다.
• 기호 0은 숫자 0으로 해석된다.
• 함수 기호는 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 일반적인 산술 연산으로 해석된다$.$
• 동등하고 작은 관계 기호는 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 일반적인 평등 및 순서 관계로 해석된다$.$

이 구조는 1차 산술의 표준 모델 또는 의도된 해석으로 알려져 있다.

1차 산술 언어의 문장은 방금 정의한 구조에서 사실이라면$$ $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 참이라고 한다.$N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \models }$ {\$displaystyle {\mathcal$ {\mathcal${N}\models \varphi }$은(는) $N{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\\mathcal {N}$에서 $sentence{\displaystyle }$ ${\displaystystyle \varphi}$ 문장이 참임을$$ 나타내기 위해 사용된다$$.$}$

참 산술은 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$N})$에서 참인 1차 산술 언어의 모든 문장의 집합으로 정의된다$.$이 집합은 동등하게 구조 $N{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal{N}}$의 (완전한) 이론이다$.$^[2]

산술적 정의 불가능

참된 산수에 대한 중심 결과는 알프레드 타르스키(1936)의 정의 불가능한 정리다.세트Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$는 산술적으로 정의할 수 없다고 명시되어 있다.이것은 ${\displaystyle \mathrm{1차}}$ 산술 언어에 공식$$ $formula{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (x)}$이 없다는 것을 의미하며, 이 언어의 모든 문장 sentence에 대해,

${\displaystyle {\mathcal{N}\models \text{\text{n}}\models \varphi({\underline {\#(\theta )}}}만 해당.}$

여기서${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$# (${\displaystyle \underset{}{\theta }}$) ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\$은 문장 θ의 정식 괴델 번호의 숫자다$$.

포스트의 정리는 산술적 계층구조를 사용하여 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 정의성과 튜링 도 사이의 관계를 보여주는 정의 불가능 정리의 보다 날카로운 버전이다.각 자연수 n에 대해 Th_n(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$ {$N$를 산술적 계층 구조에서 ${\displaystyle {\sigma n}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ ${\$$Sigma _{n}^{0}$ 이하의$$ 문장으로 구성된 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${N$\}\}\})$의 하위 집합으로 한다.Post의 정리를 보면, 각각의 n에 대해 Th_n(${\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal{N$는 산술적으로 정의할 수 있지만, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\$보다 높은 복잡도의 공식에 의해서만 정의된다$.$따라서 어떤 단일 $$도 Th$(N$ {\$displaystyle {\mathcal${N$})$를 정의할 수 없다$.$

${\displaystyle {\mbox}{Th}({\mathcal{N})=\빅컵 _{n\in \mathb{N}{\mbox{Th}_{n}({\mathcal{N})}$

그러나 임의로 큰 n에 대해 Th_n(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를$$정의할 수 있는 수식은 없다.

계산성 속성

위에서 논의한 바와 같이 ${\displaystyle \mathcal{}}$(N ${\${\$mathcal{N$는 타르스키의 정리로는 산술적으로 정의할 수 없다.Post의 정리의 산술에 따르면 Turing 정도 Th(${\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal$ {$N$는 0이므로^(ω) Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$는 결정 가능하거나 반복적으로 열거되지 않는다.

Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$)는 부분순서의 서명으로 재귀적으로 열거된 튜링도의 이론 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$와 밀접한 관련이 있다.^[3]특히 다음과 같은 계산 가능한 함수 S와 T가 있다.

• 1차 산술 서명의 각 문장 φ에 대해 φ은 S())가 $($R {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {N$\})$인 경우에만 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal {R})$에 있다$.$
• 부분순서의 서명에 있는 각 문장 ψ에 대해 T(T)가 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\mathcal {R$인 경우에만 ψ이 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$displaystyle ${\mathcal {N})$에 있다$.$

모형-이론적 특성

참 산술은 불안정한 이론으로, 헤아릴 수 없는 각 추기경마다 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $\kappa {\displaystyle }$${\displaystyle$ $\$$cappa$ $}{\displaystyle$ \$cappa }}}}$모델이$$ 있다$.$ 빈 집합에 걸쳐 연속적으로 많은 유형이 있기 때문에 참 산술 $또한{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2{\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0${\$0}}}}}}countable$$ modesplaystate.이론이 완성되었기 때문에, 그 모든 모델은 원소적으로 동등하다.

제2차 산술의 참 이론

2차 산술의 참된 이론은 2차 산술의 표준 모델에 의해 충족되는 2차 산술 언어의 모든 문장으로 구성되며, 1차 산술 부분은 $구조{\displaystyle \mathcal{}}$ N ${\$이며, $2차{\displaystyle \mathbb{}}$ 산술 부분은 N ${\$}의 모든 부분 집합으로 구성된다.$\mathb {N}$ $\}.$

1차 산술의 참 이론인 Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$는 2차 산술의 참 이론의 하위 집합이며, Th(${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$는 2차 산술에서 정의할 수 있다.그러나 포스트의 정리를 분석적 계층구조로 일반화하면 2차 산술의 참된 이론은 2차 산술의 어떤 하나의 공식으로도 정의할 수 없다는 것을 알 수 있다.

심슨(1977)은 2차 산술의 참 이론이 모든 튜링도의 부분 순서 이론과 함께 부분 순서의 서명으로 계산적으로 해석할 수 있다는 것을 보여주었고, 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것을 보여주었다.

메모들

참조

• Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002), Computability and logic (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00758-0.
• Bovykin, Andrey; Kaye, Richard (2001), "On order-types of models of arithmetic", in Zhang, Yi (ed.), Logic and algebra, Contemporary Mathematics, vol. 302, American Mathematical Society, pp. 275–285, ISBN 978-0-8218-2984-4.
• Shore, Richard (2011), "The recursively enumerable degrees", in Griffor, E.R. (ed.), Handbook of Computability Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 140, North-Holland (published 1999), pp. 169–197, ISBN 978-0-444-54701-9.
• Simpson, Stephen G. (1977), "First-order theory of the degrees of recursive unsolvability", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 105 (1): 121–139, doi:10.2307/1971028, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971028, MR 0432435
• 타르스키, 알프레드(1936), "덴 포르말리시테른 스프라첸의 데르 와헤이트베그리프".영어 번역본 "공식화된 언어에서의 진리의 개념"이 에 등장한다.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Arithmetic". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Peano Arithmetic". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Tarski's Theorem". MathWorld.