유형(모델 이론)

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수학의 모델 이론과 관련 영역에서, 유형은 수학 구조에서 원소의 (실제 또는 가능한) 요소 또는 유한한 집합이 어떻게 행동할 수 있는지를 설명하는 객체다.제1단계 공식을 나는 언어에 시간 변수를 좀 더 정밀하게, 그것은 집합, x2,…는 L-structure M{\displaystyle{{M\mathcal}}의 요소들의 시퀀스의}. 문맥에 따라, 형식 또는 일불 수 있고 그들은 구조 M{\displa에서 상수의 고정된, A를 이용할 수도 있사실 xn x1.y$스타일 {\mathcal{M$어떤 유형이 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 실제 요소를 나타내는가에 대한 문제는 포화 모델과 생략 유형의 아이디어로 이어진다$$.null

형식 정의

언어 L에 대한$$ 구조 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 고려하십시오. Let M을 구조의 우주로 두십시오.모든 A ⊆ M에 대해, L(A)을 A every마다 상수 c를_a 추가하여 L에서 얻은 언어가 되게 한다.바꾸어 말하면, 환언하면

$L(A)=L\c_{a}:a\in A\}.}$

공식의 L(A)의 대부분에 하나의 자유 변수를 가진 위의1-type(M의{\displaystyle{\mathcal{M}}})은 1세트 p()))∈ M, p0())에, M⊨ p0(b){\displaystyle{{M\mathcal}}\models에 따라}p_ᆳ(b)(p0에 친척들은 모든 공식())p())에는 몇가지 b은(따라서 1-type)가 모든 유한 부분 집합에 p0())⊆. 이다x가 b로 $대체$된$$경우 M {\$displaystyle$ {\$mathcal {M}$에서 true.null

A에 비슷하게는 n형(M의{\displaystyle{\mathcal{M}}})공식의 L(A)에서 1세트 p(x1,…,xn))p()), 그 자유 변수 지정된 n 자유 변수만 x1,…,xn 중 발생하는 것처럼 p())이 일부 요소 b1,…,bn고 있는 모든 유한 부분 집합 p0())⊆ ∈ MM으로 ⊨ p0(b1,…, 정의된다.bn${\displaystyle {}_{})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}\models p_{0}(b_{1},\ldots,b_{n$

A에 대한$$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 전체 유형은 포함과 관련하여 최대값이다.Equivalently, for every ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in L(A,{\boldsymbol {x}})}$ either ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$ or ${\displaystyle \lnot \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$. Any non-complete 타입은 부분 타입이라고 불린다.따라서 일반적으로 단어 유형은 선택된 매개변수 집합(아마 빈 집합)에 걸쳐 부분 또는 완전 n-유형을 가리킨다.null

원소 bⁿ${\displaystyle }$x M이 $있으면$ M${\displaystyle }$${\${$M}\displaystyle {\mathcal {\$mathcal {\$mathcal$}\models p$({\boldsymbol {b})}$에서 n형 p(x)가 실현된다고 한다$.$이러한 실현의 존재는 $비록{\displaystyle \mathcal{}}$ 실현이 M {\displaystyle ${\mathcal {M}$$$그 자체에서가$$ $아니라{\displaystyle \mathcal{}}$$$M {\$displaystyle$ {\$mathcal{M}}}$의 어떤 기본적인 확장에서도 이루어질 수 있지만, 콤팩트성 정리에 의해 어떤 유형에도 보장된다.만약 완전한 유형이 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 b에 의해 실현된다면, 그 유형은 일반적으로 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ M${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle b}$/ A$){\displaysty tp_{n}^{\mathcal{M}}({\boldsymbol{b}/A)}$로 표시되며$$ A를 통한 완전한 B 유형으로 지칭된다.null

A type p(x) is said to be isolated by ${\displaystyle \varphi }$, for ${\displaystyle \varphi \in p(x)}$, if for all ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}}),}$ we have ${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {M}})\model$$s \varphi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow \psi ({\boldsymbol {x}})}$. Since finite subsets of a type are always realized in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, there is always an element b ∈ Mⁿ such that φ(b) is true in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$; i.e.${\displaystyle \mathcal{M}}$ ${\displaystyle \models \phi }$ (${\displaystyle b\mathit{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {M}\models \varphi({\boldsymbol{b$ 따라서 b는 전체 격리형을 실현한다.그래서 모든 기초 하부구조나 확장에서는 고립된 유형이 실현될 것이다.이 때문에 격리된 유형은 절대 생략할 수 없다(아래 참조).null

가능한 최대한의 다양한 종류를 실현하는 모델을 포화 모델이라고 하며, 초고속 구조는 포화 모델을 생산하는 한 가지 방법을 제공한다.null

유형 예제

Consider the language with one binary connective, which we denote as ${\displaystyle \in }$. Let ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ be the structure ${\displaystyle \langle \omega ,\in _{\omega }\rangle }$ for this language, which is the ordinal ${\displaystyle \omega }$ with its standard well-ordering. Let $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$M}$의 이론을 나타낸다$.$

공식 $p{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle n{}_{}}$Ω ${\displaystyle {}_{}{\Omega }_{}}$ ${\displaystyle n\Omega }$ Ω${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle p(x):$$=\\{n\in _{\omega }x\mid$n\$in \omega$ 우선 우리는 이것이 유형이라고 주장한다.Let ${\displaystyle p_{0}(x)\subseteq p(x)}$ be a finite subset of ${\displaystyle p(x)}$. We need to find a ${\displaystyle b\in \omega }$ that satisfies all the formulas in ${\displaystyle p_{0}}$. Well, we can just take the successor of the largest ordinal mentioned in the se공식 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$)$${\$displaystyle p_{0}(x)}$의 t$.$ 그러면 ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{0}(x)}$에 언급된 모든 서수들을 분명히 포함할 것이다$.$ 따라서 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyp(x)}$이 유형임을$$ 알 수 있다.Next, note that ${\displaystyle p(x)}$ is not realized in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. For, if it were there would be some ${\displaystyle n\in \omega }$ that contains every element of ${\displaystyle \omega }$. If we wanted to realize the type, we might be tempted to consider the model ${\displaystyle ⟨\omega }$${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle {}_{\Omega }}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ {\$displaystyle \langle \omega +1,\in _{\omega$+1$}\rangele$ 이 유형은 실제로$$ $실현$되는$$M {\$displaystyle${\$mathcal{$M}}의 슈퍼모델이다.Unfortunately, this extension is not elementary, that is, this model does not have to satisfy ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. In particular, the sentence ${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\lor y=x)}$ is satisfied by this model and not by ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

그래서 우리는 그 유형을 초등연장에서 실현하고 싶다.우리는 언어에 새로운 구조를 정의함으로써 이것을 할 수 있는데, 이것은 $M{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 나타낼 것이다$.$정수와 같은 방법으로 장식되어의 구조의 도메인∪ Z′{\displaystyle \omega\cup \mathbb{Z}'}이 Z′{\displaystyle \mathbb{Z}'}ω 될 것은 집합 Z)∅{\displaystyle \mathbb{Z}'\cap \omega =\emptyset}∩ ω ′ 할게.<>{\displaystyle<>}Z의 평상 순서를 의미한다 ′${\displaystyle \mathbb {Z} '}$. We interpret the symbol ${\displaystyle \in }$ in our new structure by ${\displaystyle \in _{{\mathcal {M}}'}=\in _{\omega }\cup <\cup \,(\omega \times \mathbb {Z} ')}$.우리가 "${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -chain$$" 또는 정수의 복사본을 모든 유한한 서수 위에 추가한다는 생각이다.$분명히{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle \mathb {Z}$의 어떤 $요소$도 p$){\displaystyle p(x)}$ 타입을 실현한다$.$ 더욱이 이 확장이 초보인지 확인할 수 있다.null

또 다른 예: 자연수의 구성원으로 간주되는 빈 집합 위에 있는 숫자 2의 완전한 유형은 x = 2일 때 참인 변수 x를 설명하는 모든 1차 진술의 집합일 것이다.$이{\displaystyle }$ 집합에는 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$+ 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ $displaystyle \,\!x\neq 1+1+1$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \le }$ 1${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$+ 1 + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$\leq 1+1+1+1+$1$\},$ y$x)$와 같은$수식이 포함$될 것이다$.$이것은 고립된 유형의 예인데, $왜냐하면{\displaystyle }$, 공식 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ 1 ${\displaystyle x=1+1$}은 숫자 2에 대해 참인 다른 모든 공식들을 내포하고$$ 있기 때문이다.

추가 예로서, 그 진술들은

${\displaystyle \forall y(y^{2}<2\put y<x)}$

그리고

${\displaystyle \forall y((y)0\land y^{2}>2)\display y>x)}$

2의 제곱근을 설명하는 것은 순서가 정해진 필드의 공리와 일치하며 완전한 유형으로 확장될 수 있다.이 유형은 합리적 수의 순서형 분야에서 실현되는 것이 아니라, 순서형 실수의 분야에서 실현되는 것이다.마찬가지로, (빈 세트 위에) 수식의 무한 집합 {x>1, x >1+1, x >1+1, ...}}은(는) 실수의 순서 분야에서는 실현되지 않고, 순서 분야에서는 하이퍼리알에서 실현된다.예를 들어 모든 리얼을 포함한 파라미터를 허용하면 아르키메데스 속성을 위반하는 최소 초현실(infinitimites)에 의해 실현되는 { < x< : r }} ${\displaystyle \{0<r:r\in$\in \$mathb {R}$\}}}}}}}을 지정할 수 있다.null

모형의 특정 부분 집합으로 매개변수를 제한하는 것이 유용한 이유는 만족될 수 있는 유형과 그렇지 못한 유형을 구별하는 데 도움이 되기 때문이다.예를 들어, 전체 실수 집합을 매개 변수로 사용하면 $x{\displaystyle }$≠ 1 ${\displaystyle$ x$\neq$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \pi }${\$displaystyle$ x$\neq \pi$}과 같은 무한대의 공식 집합을 생성할 수 있으며, 이 공식은 x에 대해 가능한 모든 실제 값을 명시적으로 배제하고, 따라서 실수 내에서 절대 실현될 수 없다.null

스톤 스페이스

A에 대한 완전한 n형식의 집합을 위상학적 공간으로 고려하는 것이 유용하다.자유 변수 x₁,…, x의_n 공식에 대해 다음과 같은 동등성 관계를 고려하십시오.

${\displaystyle \psi \equiv \phi \Leftrightarrow {\mathcal{M}\models \ forall x_{1},\ldots,x_{n})(\psi(x_{1},\ldots ,x_{n})\frig}).}$

they$$ complete${\displaystyle \varphi }$ $\$ {\$displaystyle \psi \equiv$\phi $}$이(가) 정확히 동일한 전체 유형에 포함된 경우에만 해당됨을 보여줄 수 있다.null

이 동등성 관계까지의 A에 대한 자유 변수 x₁, ...,x의_n 공식 집합은 부울 대수(A-definable subsets ofⁿ M)이다.완전한 n형태는 이 부울대수의 초여과기에 해당한다.완전한 n-유형 집합은 주어진 공식을 포함하는 유형 집합을 기본 열린 집합으로 취함으로써 위상학적 공간으로 만들 수 있다.이것은 스톤 공간을 구성하는데, 그것은 작고, 하우스도르프, 그리고 완전히 단절된 공간이다.null

예.특성 0의 대수적으로 닫힌 장에 대한 완전한 이론은 정량자 제거를 가지고 있어 가능한 완전한 1 유형(빈 세트 이상)이 다음과 일치한다는 것을 보여줄 수 있다.

• 선행 계수 1을 가진 이성 위에 주어진 수정 불가능한 다항식의 뿌리.예를 들어, 2의 제곱근 유형.이들 종류는 각각 스톤 공간의 개방점이다.
• 0이 아닌 다항식의 뿌리가 아닌 초월적 요소.이 타입은 닫혔지만 열리지 않는 스톤 공간의 포인트다.

즉, 1형식은 이성 Q에 대한 다항 링 Q[x]의 주요 이상에 정확히 대응한다: r이 유형 p의 모델의 요소라면 p에 해당하는 이상은 r을 루트로 하는 다항식 집합(r이 초월적인 경우에는 0 다항식만 해당)이다.보다 일반적으로 완전한 n형태는 다항 링 Q[x₁,...,x_n]의 원시적 이상에 대응하며, 다시 말해서 이 링의 프라임 스펙트럼의 지점에 해당한다.(석상 공간 위상은 사실 부울대수에서 자연적으로 유도된 부울 링의 자리스키 위상이라고 볼 수 있다.자리스키 위상은 일반적으로 하우스도르프(Hausdorff)에 있지 않지만, 부울 링(Boolean ring)의 경우에 해당된다.)예를 들어, q(x,y)가 두 변수에서 수정 불가능한 다항식인 경우, q(x,y)=0인 원소의 (비공식적으로) 쌍(x,y)인 2형식이 있다.null

생략형 정리

완전한 n-타입 p를 고려했을 때 p를 생략하는 이론의 모델이 있는지, 다시 말해 p를 실현하는 모델에는 n-투플이 없는지 물을 수 있다.p가 스톤 공간의 고립점이라면, 즉 {p}이(가) 오픈 세트라면 모든 모델이 p를 실현하는 것을 쉽게 알 수 있다(적어도 이론이 완성되면).생략형 정리에서는 반대로 p가 분리되지 않으면 p(언어를 계산할 수 있는 경우)를 생략하는 계산 가능한 모델이 있다고 말한다.null

예:특성 0의 대수적으로 닫힌 장 이론에는 원시장보다 초월적인 원소로 대표되는 1형이 있다.이것은 스톤 공간의 비절연점(사실 유일하게 비절연점)이다.대수적 숫자의 장은 이러한 유형을 생략한 모델이며, 이성계의 어떤 초월적 확장의 대수적 폐쇄는 이러한 유형을 실현하는 모델이다.null

다른 모든 유형은 "알지브라질 숫자"(더 정확히 말하면 주어진 대수적 숫자에 의해 충족되는 1차 진술의 집합)이며, 그러한 모든 유형은 특성 0의 모든 대수적으로 닫힌 분야에서 실현된다.null

참조

• Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.
• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (third ed.). Elsevier. ISBN 0-7204-0692-7.
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.