2차원 임계 Ising 모델

2차원 임계 Ising 모델은 2차원 Ising 모델의 임계 한계다.중심 전하 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$2}}의$$대칭대수인 2차원 등각장 이론이다$.$ 스핀과 에너지 연산자의 상관관계 기능은${\displaystyle }$(${\displaystyle 4,3}$ $){\displaystyle (4,3)}$ 최소모델로 설명한다.최소 모델은 정확히 해결되었지만(예: Ising critical indexes에 관한 기사), 이 솔루션은 클러스터의 연결성과 같은 다른 관측 가능성에 대해서는 다루지 않는다.

미니멀 모델

상태 및 정합 치수의 공간

$({\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle (4,3)}$ 최소$$ 모델의 Kac 테이블은 다음과 같다.

${\displaystyle {\caps{array}{ccc}2&{\frac {1}{1}{1}{160\\\1&0&{1}{16}}{\frac {1}{1}{1}{1}}}}{1}{1}{1}{1}}}}}}{{1}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

즉, 상태 공간은 다음과 같은 세 가지 주요 분야 또는 운영자에 해당하는 세 개의 주요 상태에 의해 생성된다.^[1]

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}\hline{\text{Kac 테이블 지수}}&{\text{치수}}&{\text{초등 분야}}&{\text{이름}}\\\hline(1,1){\text{또는}}(3,2)&, 0&,\mathbf{1}&{\text{정체성}}\\(2,1){\text{또는}}(2,2)&,{\frac{1}{16}}&\sigma&{\text{스핀}}\\(1,2){\text{또는}}(3,1)&,{\frac{1}{2}}&\epsilon 및.;{\text{에너지}}\\\hline \end{배열}}}$

국가의 공간을 좌우를 움직이는 비라소로 알헤브라의 산물에 대한 돌이킬 수 없는 표현으로 분해하는 것은,

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}_{0}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{0}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{16}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{16}}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{2}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{2}}}$

여기서 $R{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$은 순응 차원 ${\displaystyle \Delta }}$을(를) 가진 비라소로 대수학의 불가침 최고 가중치 표현이다$.$ 특히 Ising 모델은 대각선이고 단일하다.

문자 및 파티션 함수

주(州)의 공간에 나타나는 비라소로 대수학의 세 가지 표현 문자는 다음과 같다^[1].

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{0}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+1)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+7)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0 q)}}+{\sqrt {\theta _{4}(0 q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{16}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+2)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+10)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0 q)}}-{\sqrt {\theta _{4}(0 q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{2}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+5)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+11)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\eta (q)}}}{\sqrt {\theta _{2}(0 q)}}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle \eta (q)}$ is the Dedekind eta function, and ${\displaystyle \theta _{i}(0 q)}$ are theta functions of the nome ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$, for example ${\displaystyle \theta _{3}(0 q)=\sum _{n\in$$\mathbb {Z}}q^{\frac {n^{2}}:{2$ .The modular S-matrix, i.e. the matrix ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ such that ${\displaystyle \chi _{i}(-{\tfrac {1}{\tau }})=\sum _{j}{\mathcal {S}}_{ij}\chi _{j}(\tau )}$, is^[1]

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac{1}{2}}\좌({\begin{array}{ccc}1}1&{\sqrt{2}}&#1&-{\sqrt{2}}\-{\sqrt{2}}&-{{}&#0end}오른쪽)}}}}$

여기서 필드는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle \sigma ,}$ ϵ,$$ ${\displaystyle$ 1,\$sigma,\epsilon }$로 정렬된다$.$ 모듈식 불변 파티션 함수는

${\displaystyle Z(q)=\left \chi _{0}(q)\right ^{2}+\left \chi _{\frac {1}{16}}(q)\right ^{2}+\left \chi _{\frac {1}{2}}(q)\right ^{2}={\frac { \theta _{2}(0 q) + \theta _{3}(0 q) + \theta _{4}(0 q) }{2 \eta (q) }}}$

퓨전 규칙 및 운영자 제품 확장

모델의 퓨전 규칙은

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} \times \mathbf {1} &=\mathbf {1} \\\mathbf {1} \times \sigma &=\sigma \\\mathbf {1} \times \epsilon &=\epsilon \\\sigma \times \sigma &=\mathbf {1} +\epsilon \\\sigma \times \epsilon &=\sigma \\\epsilon \times \epsilon &=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

융접 규칙은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 대칭$$ $\sigma {\displaystyle }$→ -${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \to$ -$\sigma }$에 따라 불변한다$.$ 3점 구조 상수는

${\displaystyle C_{\mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} }=C_{\mathbf {1} \epsilon \epsilon }=C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }=1\quad ,\quad C_{\sigma \sigma \epsilon }={\frac {1}{2}}}$

퓨전 규칙과 3점 구조 상수를 알면 예를 들어 연산자 제품 확장을 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (z)\sigma (0)&= z ^{2\Delta _{\mathbf {1} }-4\Delta _{\sigma }}C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+ z ^{2\Delta _{\epsilon }-4\Delta _{\\sigma }C_{\sigma \sigma \epsilon }{\Big (}\epsilon (0)+O(z){{}\Big )}\\&=z ^{-{\frac {1}{4}{4}{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){{}}}\Big )}+{\frac {1}{1}:{2}} z ^{{\frac {3}{4}{4}}{\Big (}\epsilon (0)+O(z){{}}{\Big )}\end{aigned}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ style$$ ${\$은 1차 필드의 정합치수이며$$ 생략된 $용어{\displaystyle }$ O$){\displaystylease$ O의 $기여도이다$$.$

구의 상관 함수

일차장의 모든 1점, 2점, 3점 함수는 승수 상수까지의 등호 대칭에 의해 결정된다.이 상수는 필드 정규화 선택에 의해 1점 및 2점 함수에 대해 1점으로 설정된다.비삼각적 동적 수량은 운용자 제품 확장의 맥락에서 위에 제시된 3점 구조 상수뿐이다.

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1}(z_{1})\right\langle \langle \langle \langle \langle \epsilon(z_{1}\right\rangle =0})$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\right\rangle = z_{12} ^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\right\rangle = z_{12} ^{-2}}$

$z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle z_{}}$ i -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을$($를) 사용하여 .

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \epsma \epsilon \rangele =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle = z_{12} ^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle = z_{12} ^{-2}}$

${\displaystyle \left\langle \langle \langlesma (z_{2})\epsilon (z_{3}\rigle ={\frac {1}{1}{1}{12} ^{\frac {3}{3}{13} ^{-1}{-1}:{-1}:{-1}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \mathbf {1} \sigma \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \epsilon \rangle =\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =\langle \epsilon \epsilon \epsilon \rangle =0}$

The three non-trivial four-point functions are of the type ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle ,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle ,\langle \epsilon ^{4}\rangle }$. For a four-point function ${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4$$}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$, let ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(s)}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(t)}}$ be the s- and t-channel Virasoro conformal blocks, which respectively correspond to the contributions of ${\displaystyle V_{j}(z_{2})}$ (and its하위 시스템) 운영자 제품 확장 V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) V ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle V_{1}(z_{1})$의 경우$V_{2}(z_{2})}$, and of ${\displaystyle V_{j}(z_{4})}$ (and its descendants) in the operator product expansion ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{4}(z_{4})}$. Let ${\displaystyle x={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$ be the십자형의

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$⟩ ${\displaystyle \langle$ \langle $\langle ^{4}\angle }$의 경우$,$ 퓨전 규칙은 모든 채널에서 1차 필드, 즉 ID 필드만 허용한다.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \epsilon ^{4}\rangle =\left {\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right ^{2}=\left {\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right ^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}=\left[\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{3}}}\right]{\frac {1-x+x^{2}}{x^{\frac{2}}{3}}^{\frac{2}}{3}}}}{\frac {2}{3}}}}{\prosset {(z_{i})=(x,0,\inflt,1)}{\frac{1}{x(1-x)-1\end{igned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 2 ⟩ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \langle$ \langle \langle \$sigma ^{2}\epsilon ^{2}\angle }}$의 경우$,$ 퓨전 규칙은 s 채널의 ID 필드, t 채널의 스핀 필드만 허용한다.^[2]

${\displaystyle{\begin{정렬}&,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle =\left{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(s)}\right ^{2}=C_{\sigma \sigma \epsilon}^{2}\left{{F\mathcal}}_{\sigma}^{(t)}\right ^{2}={\frac{1}{4}}\left{{F\mathcal}}_{\sigma}^{(t)}\right ^{2}\\&,{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(s)}={\frac{1}{2}}{{F\mathcal}}_{\sigma}^.{(t)}=\left[z_{12}^{\frac {1}{4}}z_{34}^{-{\frac {5}{8}}}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-{\frac {3}{16}}}\right]{\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {3}{8}}(1-x)^{\frac {5}{16}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{2}}}}\end{aligned}}}$

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$⟩ ${\displaystyle \langle$\langle \$sigma ^{4}\angle }$의 경우$,$ 융합 규칙은 모든 채널에서 두 개의 기본 필드, 즉 ID 필드와 에너지 필드를 허용한다.^[2]이 경우 우리는 그 사건에(z1, z2z3, z4))(x, 0, ∞, 1){\displaystyle(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(,1x,0,\infty)}은 일반적인 경우는 후자에 곱하는 인자=124(1−))나는 < 124∏ 1≤, j ≤ 4zij − 124{\displaystyle x^{\와 같이 삽입하여 얻는 conformal 블록을 쓴다.fr$ac{1}{24}(-x)^{\$$frac$${1}{$1}:{$24}}\prod _{1\leq$ i$<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac{1}{24$$x$를 $십자형$으로 식별하십시오$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}\langle \sigma ^{4}\rangle&=\left{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(s)}\right ^{2}+{\frac{1}{4}}\left{{F\mathcal}}_{\epsilon}^{(s)}\right ^{2}=\left{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(t)}\right ^{2}+{\frac{1}{4}}\left{{F\mathcal}}_{\epsilon}^{(t)}\right ^{2}\\&, ={\frac{1+{\sqrt{)}}+1-{\sqrt{)}}}{2)^{.\frac{1}{}}{4}} 1-x ^{\frac{1}:{4}}\{\precet {x\in (0,1)}{}}}}{}}}}}{\frac {1}{4}} 1-x ^{\frac {1}}{4}}}{4}}}}}}}}}}}}}$

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$⟩ ${\displaystyle \langle$\langle \$sigma ^{4}\angle }$의 경우, 등정 블록은 다음과 같다$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(s)}={\frac{\sqrt{\frac{1+{\sqrt{1-x}}}{2}}}{x^{\frac{1}{8}}(1-x)^{\frac{1}{8}}}}),\.\;{{F\mathcal}}_{\epsilon}^{(s)}={\frac{\sqrt{2-2{\sqrt{1-x}}}}{x^{\frac{1}{8}}(1-x)^{\frac{1}{8}}}}\\&,{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(t)}={\frac{{{F\mathcal}}_{\textbf{1}}^{(s)}}.{\sqrt{2}}}+{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}={\sqrt {2}}{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}-{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}}\end{정렬}}$

Dirac 페르미온의 관점에서 모델의 표현으로부터, 스핀 또는 에너지 연산자의 상관 함수 계산이 가능하다.^[1]

${\displaystyle \leq j\langle \prod_{i=1}^{2n}\epsilon (z_{i}\rigle ^{2}=\왼쪽 \deput \refrac {1}{1}{z_{ij}}}\req j\leq 2n}\rig}\rig}오른쪽 ^2}}:$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{\begin{array}{c}\epsilon _{i}=\pm 1\\\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}=0\end{array}}\prod _{1\leq i<j\leq 2n} z_{ij} ^{\frac {\epsilon _{i}\epsilon _{j}}{2}}}$

이러한 공식은 torus에 대한 상관 함수를 일반화하며, teta 함수를 포함한다.^[1]

기타 관측 가능

장애 연산자

2차원 Ising 모델은 고저온 이중성에 의해 스스로 매핑된다.The image of the spin operator ${\displaystyle \sigma }$ under this duality is a disorder operator ${\displaystyle \mu }$, which has the same left and right conformal dimensions ${\displaystyle (\Delta _{\mu },{\bar {\Delta }}_{\mu })=($$\Delta _{\sigma },{\bar {}_{\\sigma }}=({\tfrac {1}{16$})=({\tfrac {1$},{\tfrac{1}{16}).$ 장애 연산자는 최소 모델에 속하지는 않지만, 장애 연산자와 관련된 상관관계 함수는 정확히^[1] 계산할 수 있다$.$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\mu (z_{2})\sigma (z_{3})\mu (z_{4})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac { z_{13}z_{24} }{ z_{12}z_{34}z_{23}z_{14} }}}{\Big (} x + 1-x -1{\Big )}}$

반면에

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\mu (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left\langle \prod _{i=1}^{4}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac { z_{13}z_{24} }{ z_{12}z_{34}z_{23}z_{14} }}}{\Big (} x + 1-x +1{\Big )}}$

군집의 연결성

Ising 모델은 Fortuin과 Kastelyn으로 인해 랜덤 클러스터 모델로 설명된다.이 설명에서 자연 관측 가능성은 군집의 연결성, 즉 여러 점이 동일한 군집에 속할 확률이다.그런 다음 Ising $모델$은 q$${\$displaystyle$q$$} -state Potts 모델의 $q =$2 {\$displaystyle q}$로 볼 수 있으며, 매개 변수 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 비라소로 대수학의 중심 전하와 관련된다$$.

임계 한계에서, 군집의 연결성은 스핀 연산자의 상관 함수처럼 순응적 변환 하에서 동일한 동작을 가진다.그럼에도 불구하고 연결성은 스핀 상관 함수와는 일치하지 않는다. 예를 들어, 3포인트 연결은 사라지지 않는 반면, $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ σ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma$ \sigma \sigma $\rangele =0$4개의 독립된 4점 연결성이 있으며, 그 합계는 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ σ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ⟩}$ \ { { { $\ \displaystyle$ \$langle$ \$sigma$ \$sigma$ \sigma \$sigma \rangle }$과 일치한다$.$^[3] 다른 4점 연결성의 조합은 분석적으로 알려져 있지 않다.특히 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -state$$ Potts 모델에서 스핀 상관 관계자의 $q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle q\to$ 2$}$ 한계와$$ 관련이 있지만 최소 모델의 상관 함수와는 관련이 없다.^[4][3]

참조