오퍼레이터 제품 확장

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양자장 이론에서 운영자 제품 확장(OPE)은 동일한 분야에 걸쳐 필드의 곱을 합으로 정의하기 위한 공리로 사용된다.공리로서 양자장 이론에 대한 비침습적 접근법을 제공한다.한 가지 예가 정점 연산자 대수학인데, 이 대수학은 2차원 정합장 이론을 구성하는 데 사용되어 왔다.이 결과가 일반적으로 QFT로 확장될 수 있는지, 따라서 섭동적 접근법의 많은 어려움을 해결할 수 있을지는 아직 공개적인 연구 의문으로 남아 있다.

다양한 충돌기 실험에서 진폭을 산란시키는 데 필요한 것과 같은 실제 계산에서, 운영자 제품 확장은 QCD 합계 규칙에 사용되어 섭동적 계산과 비침습적(응축적) 계산의 결과를 결합한다.

2D 유클리드 양자장 이론

2D 유클리드 장 이론에서 연산자 제품 확장은 두 연산자와 연관된 Laurent 시리즈 확장이다.Laurent 시리즈는 확장 변수의 역방향의 많은 힘이 Taylor 시리즈에 추가되고 유한 질서의 극이 시리즈에 추가된다는 점에서 Taylor 시리즈의 일반화다.

경험적으로 양자장 이론에서는 연산자에 의해 대표되는 물리적 관측의 결과에 관심이 있다.만일 어떤 사람이 두 지점 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$과 w ${\displaystyle w}$에서 두 개의 물리적 관측 결과를 알고 싶다면$,$ 이러한 연산자의 시간 순서를 증가시킬 수 있다.

만일 한 지도가 일치하게 좌표를 맞춘다면, 방사형 순서에 관심이 있는 경우가 많다.이것은 증가된 시간이 복잡한 평면의 어떤 증가 반경에 매핑된 시간 순서의 아날로그다.하나는 창조 사업자의 정상적인 순서에도 관심이 있다.

방사상 순서의 OPE는 정상 순서의 OPE에서 비정규 순서의 항을 뺀 것으로 기록할 수 있다.보통이 아닌 순서가 정해진 용어는 종종 정류자로 쓰일 수 있으며, 이는 신분을 단순화하는 데 유용하다.방사상 순서는 팽창의 수렴을 제공한다.

그 결과는 복잡한 평면에 극이 있는 일부 용어(로랑 항)와 유한한 항에 있어 두 연산자의 생산물이 수렴된 확장이다.이 결과는 두 개의 서로 다른 지점에서 두 운영자가 단지 한 지점을 중심으로 팽창하는 것을 나타낸다. 여기서 극은 두 개의 서로 다른 점이 동일한 지점을 나타낸다.

${\displaystyle 1}$/ (${\displaystyle z}$- ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle 1/(z-w)}$.

이와 관련, 복합 평면의 운영자는 $일반적$으로 z ${\displaystyle z}$과 $z{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $"{\$의 함수로 작성된다$.$이들은 (마인드 수) 특이점을 제외하고 연속적이고 구별이 가능하기 때문에 각각 홀모형 부분과 반홀모형 부분이라고 한다.사람들은 그들을 정말로 meromorphic이라고 불러야 하지만, holomorphic은 일반적인 비유다.일반적으로 운영자 제품 확장은 특히 확장에 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ z ${\displaystyle \log$ z$}$이(가) 있는 경우 홀로모르퍼시픽과 반홀로모르퍼시픽 부품으로 분리되지 않을 수 있다.그러나 OPE의 파생상품은 종종 홀로모픽과 안티홀모픽 확장으로의 확장을 분리할 수 있다.이 표현은 OPE이기도 하고 일반적으로 더 유용하다.

연산자 제품 대수

일반적인 경우, ${\displaystyle A^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle A^{i}(x)}$ 필드 $집합{\displaystyle {}^{}}$(또는 연산자)이 주어지며, 이 필드$$ 집합은 일부 대수보다 가치가 있다고 가정한다.예를 들어, 일부 리 대수학에서 x ${\displaystyle \mathrm{수정}}$, A $i{\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle A^{i}(x)}$을(를) 사용할 수 있다$$.${\displaystyle x^{}}$를 다지관에서 자유롭게 사용할 수 있도록 설정하면 연산자 $제품{\displaystyle {}^{}}$ A i${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle B^{}}$ ${\displaystyle j{}^{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ A$^{i}(x)B^{j}(y)}}$은(는) 단순히 기능 링의 일부 요소가 된다$$.일반적으로 이러한 고리는 의미 있는 진술을 할 수 있는 충분한 구조를 가지고 있지 않기 때문에 시스템을 강화하기 위해 추가적인 공리를 고려한다.

연산자 제품 대수(operator product 대수)는 형식의 연관 대수다.

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

구조상수 ${\displaystyle {fk}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)$는 일부 벡터 번들의 섹션이 아니라 단일값 함수가 되어야 한다$$.게다가, 그 장은 기능 링에 걸쳐야 한다.실제 계산에서 합계는 일반적으로 ${\displaystyle 수렴}$ 반경 내에서 분석되어야 한다. 일반적으로 x${\displaystyle }$- ${\displaystyle y}$ $displaystyle x-y }$의 수렴 반경을 가지고 있다$.$ 따라서 함수의 링은 다항 함수의 링으로 간주될 수 있다.

위의 사항은 기능 링에 부과되는 요구 사항으로 볼 수 있다. 이 요구 사항을 정합장 이론 분야에 적용하는 것은 정합장갑이라고 알려져 있다.

연산자 제품 대수학의 예는 정점 연산자 대수다.연산자 제품 알헤브라가 모든 양자장 이론을 공리화하는 데 사용될 수 있기를 희망하고 있다; 그것들은 일치장 이론에 성공적으로 적용되었고, 그것들이 비주전적 QFT의 기초로 사용될 수 있는지는 개방된 연구 영역이다.

오퍼레이터 제품 확장

양자장 이론에서 운영자 제품 확장(OPE)은 서로 다른 지점에서 두 개의 장 생산물을 지역장 합(약간 무한)으로 융합한 확장이다.

더 정확히 말하면, $y{\displaystyle }${\$displaystyle y$}이$$(가) $포인트$이고 A$${\$displaystyle A}$ 및 $B{\displaystyle }${\$displaystyle$B}이(가) 연산자 값 필드라면, $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle o}$ O$$∖${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystystyle$$y$}의 $열린{\displaystyle }$ 근린$O$${\displaystysty}$이 있다.

${\displaystyle A(x)B(y)=\sum _{i}c_{i}(x-y)^{i}C_{i}(y)}$

합계가 정밀하거나 셀 수 있을 정도로 많은 용어인 경우, C는ⁱ 연산자 값 필드, $c$는 O_i ${\displaystyle \setminus }${ $}$ {\$displaystyle$O\$setminus$\{y$\}}$에 대한 분석 함수이며, $합$은 O${\displaystyle }$∖${\displaystyle }${ ${\displaystyle y\}}$ ${\displaystyle$ O$\setminus$\{$y\}}}}$에 있는 연산자 위상에서 수렴된다$.$

OPEs는 대부분 일치장 이론에 사용된다.

$F{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle F(x,y)\심 G(x$,y)\sim G(x$,y)}$은(는) 차이가 x=y 지점에서 분석으로 남아 있음을 나타내기 위해 종종 사용된다$$.이것은 동등성 관계다.

참고 항목

• 정점 연산자 대수
• QCD 합계 규칙

외부 링크

• 스콜라페디아 OPE