타이코노프의 정리

Tychonoff's theorem
타이코노프의 이름을 딴 다른 이론은 타이코노프의 정리(동음이의)를 참조한다.

수학에서 타이코노프의 정리는 콤팩트한 위상학적 공간의 어떤 집합의 산물이 제품 위상에 관해서 콤팩트하다고 말한다.이 정리는 안드레이 니콜라예비치 티코노프(가끔 성은 타이코노프(Tychonoff)로 표기되기도 하는데, 그는 폐쇄된 단위 구간의 힘을 위해 1930년에 처음 그것을 증명했고 1935년에 그 증거가 특수사건과 동일하다는 말과 함께 완전한 정리를 진술했다.가장 먼저 발표된 증거는 1935년 타이코노프, A. 우버 에이넨 펑크티오넨라움, 수학실록 111, 페이지 762-766 (1935)에 수록되어 있다.(이 참조는 Hocking and Young, Dover Publications, Ind.)

타이코노프의 정리는 (우리존의 보조정리법과 함께) 일반 위상에서 아마도 가장 중요한 단일의 결과로 간주되는 경우가 많다.[1]이 정리는 퍼지 집합에 기초한 위상학적 공간에도 유효하다.[2]

위상학적 정의

그 정리는 콤팩트함의 정확한 정의와 제품 위상에 결정적으로 의존한다. 사실, 타이코노프의 1935년 논문은 처음으로 제품 위상을 정의한다.반대로, 그 중요성의 일부는 이러한 특정한 정의가 가장 유용한 (즉, 가장 품행이 좋은) 정의라는 확신을 주는 것이다.

실제로, 오픈 세트에 의한 공간의 모든 커버가 유한한 서브커버링을 인정하는 컴팩트함에 대한 하이네-보렐 정의는 비교적 최근의 것이다.19세기와 20세기 초반에 더 많은 인기를 끈 것은 볼자노였다.Weierstrass 기준은 모든 시퀀스가 현재 순차적 콤팩트함이라고 불리는 수렴성을 인정한다는 기준이다.이러한 조건은 측정 가능한 공간과 동일하지만, 어느 한 조건도 모든 위상학적 공간의 클래스에 있는 다른 조건을 의미하지는 않는다.

두 개의 순차적 콤팩트한 공간의 제품이 순차적으로 컴팩트하다는 것을 증명하는 것은 거의 사소한 일이다. 하나는 첫 번째 컴포넌트를 위한 부속품으로, 그 다음에는 두 번째 컴포넌트를 위한 하위 시퀀스로 전달된다.단지 조금 더 정교한 "대각형화" 주장은 순차적으로 컴팩트한 공간의 계수 가능한 제품의 순차적 컴팩트함을 확립한다.그러나, 닫힌 단위 간격의 많은 복사본의 연속적인 생산물은 타이코노프의 정리(예: 윌란스키 1970, 페이지 134 참조)에 의해 압축되어 있음에도 불구하고, 제품 위상에 관해서 순차적으로 압축되지 않는다.

이것은 중대한 실패다: X가 완전히 규칙적인 하우스도르프 공간이라면, X에서 [0,1]까지 자연적으로 내장되어 있는 것이 있다.C(X,[0,1]) 여기서 C(X, [0,1])는 X에서 [0,1]까지의 연속 지도의 집합이다.따라서 [0,1]C(X,[0,1])의 압축성은 모든 완전히 규칙적인 하우스도르프 공간이 콤팩트한 하우스도르프 공간(또는 "비교"될 수 있음을 보여준다).이 건축물은 스톤-체흐의 압축이다.반대로 콤팩트한 하우스도르프 공간의 모든 하위공간은 완전히 규칙적인 하우스도르프(Hausdorff)이기 때문에 이것은 완전히 규칙적인 하우스도르프(Hausdorff) 공간을 컴팩트할 수 있는 공간으로 특징지어진다.그런 공간을 지금은 타이코노프 스페이스라고 부른다.

적용들

타이코노프의 정리는 다른 많은 수학적인 이론들을 증명하기 위해 사용되어 왔다.여기에는 표준 벡터 공간의 이중 공간의 단위 공의 약* 콤팩트성에 대한 바나흐-알라오글루 정리, 모든 부속물이 균일하게 수렴되는 함수의 순서를 특징짓는 아르젤라-아스콜리 정리 등 특정 공간의 콤팩트성에 대한 이론이 포함된다.또한 모든 최소 k-크롬 그래프는 유한하다는 De Bruijn-Erdős 정리, Curtis-chromatic graphs와 같이 압축성과 덜 명백하게 관련이 있는 문구를 포함한다.셀룰러 오토마타의 위상학적 특성을 제공하는 Hedlund-Lyndon 정리.

경험의 법칙으로서, 상당히 일반적인 물체(대수학 또는 위상학-알제브라질의 자연)를 입력하여 콤팩트한 공간을 산출하는 모든 종류의 건축은 타이코노프를 사용할 가능성이 높다. 예를 들어, 유사 C*알제브라(C*-algebra), 부울 대수의 최대 이상 석상 공간, 베르코프(Speichich)반향 바나흐 링의 ctrum.

타이코노프의 정리 증명서

1) 타이코노프의 1930년 교정에서는 완전한 축적의 개념을 사용했다.

2) 정리는 알렉산더 서브베이스 정리의 빠른 Corolary이다.

보다 현대적인 증명들은 다음과 같은 고려사항들에 의해 동기 부여되었다: 중복성의 정합화를 통한 압축성에 대한 접근은 계수 가능한 인덱스 세트의 경우 단순하고 투명한 증명으로 이어진다.그러나 시퀀스를 사용한 위상학적 공간에서의 수렴 접근방식은 공간이 카운트 가능성의 첫 번째 공리를 만족시킬 때 충분하지만, 일반적으로 그렇지 않다.그러나 각각 최소 2점 이상을 가진 헤아릴 수 없이 많은 메트리징 가능한 공간의 산물은 우선 계산할 수 없다.따라서 임의 공간의 적절한 수렴 개념이 제품의 압축성을 추론하는 데 그만큼 쉽게 적용될 메트리징 가능한 공간의 순차적 압축성을 일반화하는 압축성 기준으로 이어지기를 바라는 것은 당연하다.이것이 사실로 드러났다.

3) 1937년 부르바키에 의해 개발된 앙리 카르탄으로 인해 필터를 통한 융합 이론은 다음과 같은 기준으로 이어진다: 초필터 보조기를 가정하면 공간상의 각각의 초필터가 수렴해야 공간이 콤팩트하다.이것을 손에 쥐면 입증은 쉬워진다: 어떤 투영 지도 아래 제품 공간에 있는 (에 의해 생성되는) 초필터의 (필터) 이미지는 요소 공간의 초필터로서, 따라서 최소한 하나의 x로i 수렴된다.그러면 원래의 울트라필터가 x = (xi)로 수렴된다는 것을 알 수 있다.뮌크레스는 교과서에서 필터-이론적 언어나 예단을 명시적으로 사용하지 않는 카르탄-부르바키 교정본을 다시 작성했다.

4) 마찬가지로, 그물을 통한 융합에 대한 무어-스미스 이론은 켈리의 보편적 그물 개념에 의해 보완되었듯이, 공간상의 각 보편적 그물이 융합될 경우에만 공간이 압축된다는 기준으로 이어진다.이 기준은 타이코노프 정리의 증명(켈리, 1950년)으로 이어진다. 즉, 필터를 사용하는 카르탄/부르바키 증명과 동일하며, "초광필터 베이스"를 위한 "유니버설 네트"의 반복적인 대체를 위해 절약한다.

5) 그물을 사용하되 보편적인 그물은 사용하지 않는 증명은 1992년 폴 체르노프에 의해 주어졌다.

타이코노프의 정리 및 선택공리

위의 모든 증거는 어떤 식으로든 선택의 공리(AC)를 사용한다.예를 들어, 세 번째 증명은 모든 필터가 울트라필터(즉, 최대필터)에 들어 있다는 것을 사용하며, 이것은 조른의 보조기구를 호출하여 볼 수 있다.모든 네트에는 보편적인 서브넷이 있다는 켈리의 정리를 증명하는 데 조른의 보조정리 또한 사용된다.사실 이러한 AC의 사용은 필수적이다: 1950년에 켈리는 타이코노프의 정리가 ZF에서 선택의 공리를 함축한다는 것을 증명했다.AC의 한 가지 공식은 비어 있지 않은 세트 제품군의 데카르트 제품이 비어 있지 않다는 것이다. 그러나 빈 세트가 가장 확실히 컴팩트하기 때문에, 증거는 그러한 직설적인 선을 따라 진행할 수 없다.따라서 타이코노프의 정리는 AC와 동등하게 되는 데 있어서 몇 가지 다른 기본적인 이론(예: 모든 벡터 공간에는 기초가 있다)과 결합한다.

한편, 모든 필터가 울트라필터에 포함되어 있다는 문구는 AC를 의미하지 않는다.실제로 제르멜로-프라엔켈 세트 이론(ZF)의 공리와 선택 공리(ZFC)에 의해 증강된 ZF 이론 사이의 잘 알려진 중간 지점인 부울 프라임 이상 정리(BPI)에 해당한다고 보기는 어렵지 않다.Tychenoff의 두 번째 증명에 대한 첫 번째 개요는 상기 증명에 반대되는 (BPI) 이하를 사용하지 않는다는 것을 암시할 수 있다.그러나 모든 수렴 필터에 고유한 한계가 있는 공간은 정확하게 하우스도르프 공간이다.일반적으로 우리는 인덱스 세트의 각 요소에 대해 투영된 울트라필터 베이스의 비어 있지 않은 한계 세트의 요소를 선택해야 하며, 물론 이것은 AC를 사용한다.그러나 콤팩트한 하우스도르프 공간 제품의 콤팩트함을 (BPI)로 증명할 수 있다는 것도 보여주며, 사실 그 반대도 마찬가지다.타이코노프의 다양한 제한된 공간 계층에 대한 정리의 강점을 연구하는 것은 세트이론적 위상에서의 활동 영역이다.

무의미한 위상에서의 타이코노프의 정리의 아날로그에는 어떤 형태의 선택 공리가 필요하지 않다.

타이코노프의 정리로부터 선택의 공리 증명

타이코노프의 일반판 정리가 선택의 공리를 함축한다는 것을 증명하기 위해, 우리는 비어 있지 않은 세트의 모든 무한한 카르테시아 산물이 비어 있지 않다는 것을 확립한다.그 증거의 가장 까다로운 부분은 올바른 위상들을 도입하는 것이다.알고 보니 오른쪽 위상은 작은 반전을 가진 코피나이트 위상이다.이 토폴로지가 주어진 모든 세트는 자동으로 콤팩트한 공간이 된다.일단 우리가 이 사실을 알게 되면 타이코노프의 정리가 적용될 수 있다; 그리고 나서 우리는 컴팩트함의 유한 교차 속성(FIP) 정의를 사용한다.(J. L. Kelley로 인한) 증명 자체는 다음과 같다.

{Ai}을(를) I(임의 인덱싱 세트인 경우)의 범위 지정에 대해 비어 있지 않은 집합의 인덱스 패밀리가 되도록 하십시오.우리는 이 세트의 데카르트 제품이 비어 있지 않다는 것을 보여주고 싶다.자, 각 i에 대해, X를i A로i 가져가고, 그 자체로 내가 다룬 지수를 가지고 있다(필요하다면, 해체조합을 사용하여 지수의 이름을 바꾸면, 우리는 내가 A의i 회원이 아니라고 가정할 수 있으므로, 간단히i X = Ai { {i}을(를) 가져간다.

이제 데카르트 제품을 정의하십시오.

X의 멤버를 그것의 ith 용어로 데려가는 자연 투영 지도와i 함께.

각i X에게 X의i 코피나이트 하위 집합이 있는 토폴로지를 빈 세트(코피나이트 토폴로지)와 싱글톤 {i}에 더하여 제공한다.이것은 X를i 콤팩트하게 만들며, 타이코노프의 정리로는 X도 콤팩트하게 된다(제품 위상).투영 맵은 연속적이다. 모든 A는i 닫히고 X의i 싱글톤 오픈 세트 {i}을(를) 보완한다.그래서i 역영상은 X의i−1 닫힌 부분 집합이다.우리는 에 주목한다.

그리고 이 역 영상이 비어 있지 않고 FIP를 가지고 있다는 것을 증명한다.렛1 나, ... 나는N I에서 한정된 지수의 집합이 되게 하라.그러면 유한 제품 Ai1 × ...× A는iN 비어 있지 않다(여기서는 미세하게 많은 선택만 있으므로 AC가 필요하지 않다). 단지 N-tuble로 구성된다.a = (a1, ..., aN) 그런 N투플이 되게 하라.a를 전체 인덱스 집합으로 확장한다: a를 f(j) = a ifk j = ik, f(j) = j로 정의된 함수 f로 가져간다.이 단계는 각 공간에 추가점을 추가하는 것이 중요한데, N-투플 외부의 모든 것에 대해 선택 없이 정확한 방법으로 f를 정의할 수 있기 때문이다(우리는j 이미 X로부터 j를 선택할 수 있다). πik(f) = a는k 각 A의ik 요소로서 f가 각 역 이미지 안에 있으므로, 따라서 우리는 f를 가지고 있다.

소형성에 대한 FIP의 정의에 따르면, I 상의 전체 교차점은 비어있지 않아야 하며, 증명서는 완전해야 한다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 스티븐 윌러드 "일반 위상" 도버 북스 ISBN 978-0-486-43479-7 페이지 120
  2. ^ Joseph Goguen "The Puzzy Tychonoff Organization" Journal of Mathematical Analysis and Applications 제43권, 1973년 9월 3일자, 페이지 734-742

참조

  • Chernoff, Paul R. (1992), "A simple proof of Tychonoff's theorem via nets", American Mathematical Monthly, 99 (10): 932–934, doi:10.2307/2324485, JSTOR 2324485.
  • Johnstone, Peter T. (1982), Stone spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 3, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5.
  • Johnstone, Peter T. (1981), "Tychonoff's theorem without the axiom of choice", Fundamenta Mathematicae, 113: 21–35, doi:10.4064/fm-113-1-21-35.
  • Kelley, John L. (1950), "Convergence in topology", Duke Mathematical Journal, 17 (3): 277–283, doi:10.1215/S0012-7094-50-01726-1.
  • Kelley, John L. (1950), "The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice", Fundamenta Mathematicae, 37: 75–76, doi:10.4064/fm-37-1-75-76.
  • Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
  • Tychonoff, Andrey N. (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen (in German), 102 (1): 544–561, doi:10.1007/BF01782364.
  • Wilansky, A. (1970), Topology for Analysis, Ginn and Company
  • Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
  • Wright, David G. (1994), "Tychonoff's theorem.", Proc. Amer. Math. Soc., 120 (3): 985–987, doi:10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2.

외부 링크