시프트 연산자

수학, 특히 기능 분석에서, 번역 연산자로도 알려진 시프트 연산자는 번역 x ↦ f(x + a)에 함수 x ↦ f(x)를 가져가는 연산자다.^[1] 시계열 분석에서는 시프트 연산자를 시차 연산자라고 부른다.

시프트 연산자는 단순성과 자연 발생에 중요한 선형 연산자의 예다. 실제 변수의 기능에 대한 시프트 운영자 조치는 조화 분석에 중요한 역할을 하는데, 예를 들어 거의 주기적인 함수, 양의 확정 함수, 파생 모델 및 콘볼루션의 정의에 나타난다.^[2] 시퀀스 이동(정수 변수의 기능)은 하디 공간, 아벨 품종 이론, 상징 역학 이론 등 다양한 영역에서 나타나는데, 제빵사 지도가 명시적으로 표현된다.

정의

실제 변수의 함수

시프트 연산자 T^t(t ∈ R)는 R의 함수 f를 변환 f에_t 가져간다.

${\displaystyle T^{t(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~}$

선형 연산자 물의 삼중점의 담백한 파생 상품.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{에 관한 실용적인 연산자 법 표현입니다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}d/dx Lagrange,에 의해 소개되었다.

그것은 t의 형식적인 테일러 확장을 통해 작동적으로 해석될 수 있으며, 단항 x에ⁿ 대한 작용이 이항 정리에 의해 그리고 따라서 x의 모든 시리즈에 의해 그리고 따라서 위와 같은 모든 기능 f(x)에 의해 명백하게 나타난다.^[3] 그렇다면 이것은 헤비사이드의 미적분학에서 테일러 팽창의 공식 인코딩이다.

따라서 운영자는 Abelian 그룹을 위해 Lie의 유명한 부속물 흐름의^[4] 프로토타입을 제공한다.

${\displaystyle e^{t\beta (x){d}{dx}f(x)=e^{t{dh}{dh}}F(h)=f\f\(h^{-1}(x)+t)\오른쪽),}$

여기서 표준 좌표 h(Abel 함수)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle h'(x)\equiv {1}{\frac {1}{\beta(x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(x).}$

예를 들어 β${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta(x)=x}$의 스케일링을$$ 쉽게 따라온다.

${\displaystyle e^{tx{\frac {d}{dx}}f(x)=f(e^{t}x),}$

따라서 e ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ d ${\displaystyle {\frac{x}{}}^{}}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$$x$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle f}$ ( - x ) ${\displaystyle e^{i\pi x{d}}{dx}}f(x)=f(-x)}}}}($iii)와$$^[5] 마찬가지로 β${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

${\displaystyle e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}f(x)=f\leftft\frac {x}{1-tx}\right),}$

${\displaystyle \beta (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ x ${\displaystyle \chost(x)=1/x}$ 산출량$$

${\displaystyle e^{\frac {t}{x}}{dx}}f(x)=f\left\sqrt{x^{2}+2t}\오른쪽),}$

${\displaystyle \beta (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ 산출량$$

${\displaystyle \ex(te^{x}{d}}{dx}\오른쪽)f(x)=f\left(\ln \ln \left({\frac{1}{-x}-t}\오른쪽)}}}$

등

흐름의 초기 조건과 그룹 속성은 전체 Lie 흐름을 완전히 결정하여 번역 기능 방정식의^[6] 해결책을 제공한다.

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x)=f_{t+\tau }(x).}$

시퀀스

좌측 시프트 운영자는 다음과 같은 방법으로 한쪽으로 치우친 무한 순서에 따라 행동한다.

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto(a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

그리고 양면 무한 시퀀스:

${\displaystyle T:(a_{k})_{k=--\infit }^{\infit }^{\infit }^{\infit }{\napsto(a_{k+1})_{k=-\infty }}}$

우측 시프트 운영자는 다음과 같은 방법으로 한쪽으로 치우친 무한 순서에 따라 행동한다.

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto(0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

그리고 양면 무한 시퀀스:

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k=--\infit }^{\infit }{\infit }^{k=-\infit }}}}$

양면 무한 시퀀스에 작용하는 좌우 교대조 운영자를 양면 교대조라고 한다.

아벨 집단

일반적으로 위에서 설명한 바와 같이 F가 아벨 그룹 G의 함수이고 h가 G의 요소라면, 시프트 운영자 T는 F를 다음과^[6][7] 같이 매핑한다.

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

시프트 연산자의 속성

실제 또는 복잡하게 계산된 함수나 시퀀스에 작용하는 시프트 연산자는 기능 분석에 나타나는 표준 규범의 대부분을 보존하는 선형 연산자다. 따라서 보통 표준 연산자를 가진 연속 연산자다.

힐버트 공간에 대한 액션

양면 시퀀스에 작용하는 시프트 운영자는 ℓ₂(Z)의 단일 운영자다. 실제 변수의 기능에 작용하는 시프트 운영자는 L₂(R)의 단일 운영자다.

두 경우 모두 (왼쪽) 교대조 운영자는 푸리에 변환과의 다음과 같은 정류 관계를 만족한다.

${\displaystyle {\mathcal {F}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F},}$

여기서 M은^t exp(i t x)에 의한 곱셈 연산자다. 따라서 T의^t 스펙트럼은 단위 원이다.

ℓ₂(N)에 작용하는 단측 시프트 S는 첫 번째 좌표에서 소멸되는 모든 벡터와 동일한 범위를 갖는 적절한 등위계법이다. 연산자 S는 다음과 같은 의미에서 T의⁻¹ 압축이다.

${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{{} 각 }x\in \ell ^{2}(\mathb {N} )\,}$

여기서 y는 ℓ₂(Z)의 벡터로서, y = i ≥ 0의 경우_i x_ii, y = 0은 i < 0이다. 이 관찰은 이등계수의 많은 단일 확장의 핵심이다.

S의 스펙트럼은 유닛디스크다. 시프트 S는 프레드홀름 운영자의 한 예로서 프레드홀름 지수 -1을 가지고 있다.

일반화

장 델사르트는 일반화된 시프트 운영자(일반화된 변위 운영자라고도 함)의 개념을 도입했고, 보리스 레비탄에 의해 더욱 발전되었다.^[2][8][9]

설정된 X부터 C까지의 함수의 φ 공간에 작용하는 연산자 {L^x}_{x ∈ X} 계열을 다음과 같은 속성이 유지되는 경우 일반화된 교대 연산자 계열이라고 한다.

1. 연관성: let (Rf^y)(x) = (Lf^x)(y) 그^xy 다음 LR = RL^yx.
2. X에는 L이^e ID 연산자일 정도로 e가 존재한다.

이 경우 세트 X를 하이퍼그룹이라고 한다.

참고 항목

• 산술 시프트
• 논리적 시프트
• 유한차이

메모들

참고 문헌 목록

• Partington, Jonathan R. (March 15, 2004). Linear Operators and Linear Systems. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7.
• 마빈 로젠블럼과 제임스 로브닉, 하디 수업과 운영자 이론, (1985) 옥스퍼드 대학 출판부.