경계 연산자

In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation $L:X\to Y$ between topological vector spaces (TVSs) $X$ and $Y$ that maps bounded subsets of $X$ to bounded subsets of $Y.$ $X$ $X$ $및$ Y $X$ $Y$ 이 $Y$ (가) 정규화된 벡터 공간(특수 유형의 TVS)인 경우, $x\in X,$ X $x\in X,$ X $x\in X,$ , ${\displaystyle x\in$ X $,}$ 에 $M>0$ 대해 M > 0 ${\displaystyle$ M $>0}$ 이(가) 있는 경우에만 $L$ ${\displaystystystystystystytype$ L $}$ 이(가 경계됨 $L$ ,

\ LX\ _{Y}\leq M\ x\ _{X}.

그러한

M

M

은

M

(는)

L

L

의 연산자 표준으로 불리며,

\|L\|.

and

L

\|L\|.

\|L\|.

\ .

규격 공간 사이의 경계 연산자는 연속적이고

\|L\|.

그 반대의 경우도 마찬가지다.

경계 선형 연산자의 개념은 정규 공간에서 특정 위상 벡터 공간으로 확장되었다.

함수 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 을 $f:X\to Y$ (를) "경계"라고 하는 기능 분석의 외부에서는 일반적으로 $f(X)$ f $f(X)$ ( $){\displaystyle f(X)}$ 가 $f(X)$ 코도메인의 경계 부분 집합임을 의미한다. 선형 지도가 동일한 $0.$ 인 경우에만 선형 지도가 이 속성을 갖는다 $.$ {\ $displaystyle$ 0 $0.$ .} 따라서 기능 분석에서 선형 연산자를 "경계"라고 부르면 이 추상적 의미에서는 결코 의미하지 않는다(경계된 이미지를 갖는다는 의미).

정규화된 벡터 공간

모든 경계 연산자는 $0 .$ $0.$ 에서 Lipschitz 연속이다.

경계성 및 연속성의 동등성

정규화된 공간 사이의 선형 연산자는 연속적인 경우에만 경계가 지정된다.

증명

$L$ $L$ 이(가) 경계라고 가정해 $L$ 보십시오. $그러면$ 모든 벡터 $x,h\in X$ , $x,h\in X$ $x,h\in X$ $x,h\in X$ ${\displaystyle x,h\in X},$ h $h$ nonzero는 $x,h\in X$ $h$

\displaystyle \ L(x+h)-L(x)\ =\ L(h)\ \leq M\ h\ .}

h

h

을(를) 0으로 설정하면

h

L

l

이(가)

x

.

x

에서 연속됨을

L

알 수 있으며, 게다가

x.

상수

M

{\displaystystyle x}

에 의존하지

M

않기 때문에, 이것은

x,

사실

L

{\

displaystytyz가 균일하게 연속됨을

L

보여준다.

반대로, 0벡터에서 연속성에서 생긴 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 모든 벡터에‖ L(‖)‖ L(h)− L(0)‖ ≤ 1{\displaystyle)L(h)\ =\ L(h)-L(0)\ \leq 1}.‖ h‖ ≤ δ과 ∈ X{\displaystyle h\in X}h{\displaystyle)h\\leq \delta.}Thus, 따른다.에 대한l non-zero $x\in X,$ $x\in X,$ X $x\in X,$ , $x\in X,$ 은 $x\in X,$ (는) 다음과 같다.

\ Lx\ =\left\Vert {\ x\  \over \delta }L\left(\delta {x \over \ x\ }\right)\right\Vert ={\ x\  \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {x \over \ x\ }\right)\right\Vert \leq {\ x\  \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\ x\ .

이것은

L

L

이(가) 경계선이라는

L

것을 증명한다. Q.E.D.

위상 벡터 공간에서

A linear operator $F:X\to Y$ between two topological vector spaces (TVSs) is called a bounded linear operator or just bounded if whenever $B\subseteq X$ is bounded in $X$ then $F(B)$ is bounded in $Y.$ A subseTVS의 t는 기원의 모든 이웃이 그것을 흡수한다면 경계(또는 더 정확히 말하면, 폰 노이만 경계)라고 불린다. 규범화된 공간(그리고 반규범화된 공간에서도, 부분집합은 규범된 공간인 경우에만 폰 노이만 경계된다. 따라서, 정규화된 공간의 경우, 폰 노이만 경계 집합의 개념은 정규 경계 부분 집합의 일반적인 개념과 동일하다.

연속성과 경계성

TVS 사이의 모든 순차적 연속 선형 연산자는 경계 연산자다.^[1] 이는 모든 연속 선형 연산자가 경계임을 의미한다. 그러나 일반적으로 두 TVS 사이의 경계 선형 연산자는 연속적일 필요가 없다.

이 공식은 범용 위상 벡터 공간 사이의 경계 연산자를 경계 집합에 경계 집합을 취하는 연산자로 정의할 수 있다. 이러한 맥락에서, 모든 연속 지도가 경계로 되어 있지만, 역행은 실패한다. 경계 연산자는 연속적일 필요가 없다. 이것은 또한 경계성이 더 이상 이 맥락에서 립스키츠 연속성과 동등하지 않다는 것을 의미하기도 한다.

도메인이 선천적 공간(예: 가성계측 가능한 TVS, 프레셰트 공간, 규범 공간)인 경우, 다른 국소 볼록 공간으로의 선형 연산자는 연속된 경우 및 연속된 경우에만 경계된다. LF 공간의 경우, 약한 반전이 유지되며, LF 공간의 경계 선형 지도가 순차적으로 연속된다.

If $F:X\to Y$ is a linear operator between two topological vector spaces and if there exists a neighborhood $U$ of the origin in $X$ such that $F(U)$ is a bounded subset of $Y,$ then $F$ is 연속의^[2] 이러한 사실은 종종 원점 부근의 일부 지역에 경계하는 선형 연산자는 반드시 연속적이라는 말로 요약된다. 특히, 기원의 일부 근방에 경계하는 선형 기능은 연속적이다(그 도메인이 정규화된 공간이 아님에도 불구하고).

본론적 공간

선천적 공간은 정확히 다른 국부적 볼록한 공간에 들어가는 모든 경계 선형 연산자가 반드시 연속적인 국부적 볼록한 공간이다. 즉, 로컬 볼록형 $TVS$ X ${\displaystyle$ X $}$ 은(^[3]는) 모든 로컬 볼록형 $TVS$ Y, {\ $displaystyle$ Y $}$ 에 $Y,$ 대해 선형 $F:X\to Y$ F : $F:X\to Y$ → Y $F:X\to Y$ {\ $displaysty F:X\to$ Y $}$ 이(가) 경계된 경우에만 연속적인 경우 $F:X\to Y$ 선천적인 공간이다 $X$ .

모든 규범화된 공간은 태생적이다.

경계 선형 연산자의 특성화

$F:X\to Y$ : $F:X\to Y$ → $F:X\to Y$ $F:X\to Y$ 을(를) 위상학적 벡터 공간 사이의 선형 연산자로 두십시오 $F:X\to Y$ (필수적으로 Hausdorff는 아님). 다음은 이에 해당한다.

$F$ $F$ 은 $F$ (로컬하게) 경계로 되어 있다.^[3]
(정의): $F$ $F$ 지도는 $F$ 해당 도메인의 경계 하위 집합과 코도메인의 경계 하위 집합으로 구분되었다.^[3]
$F$ $F$ 맵은 $F$ 해당 도메인의 바운드 하위 세트를 이미지 $\operatorname {Im} F:=F(X)$ F $\operatorname {Im} F:=F(X)$ $\operatorname {Im} F:=F(X)$ ( $\operatorname {Im} F:=F(X)$ ) $\operatorname {Im$ F $:=F(X$ ^[3]
$F$ $F$ 은(는) 모든 null 시퀀스를 경계 시퀀스에 매핑한다 $F$ .^[3]
- null 시퀀스는 정의상 원점으로 수렴되는 시퀀스를 의미한다.
- 따라서 출발지에서 순차적으로 연속되는 모든 선형 지도가 반드시 경계 선형 지도가 된다.
$F$ $F$ 은(는) 모든 Mackey 수렴 null 시퀀스를 $Y$ . $Y.$ 의 경계 부분 집합에 매핑한다 $F$ .
- A sequence $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is said to be Mackey convergent to the origin in $X$ if there exists a divergent sequence ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \$ $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ = $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ( r $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ) i $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ = $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ${\$ 1 $^{\nfty$ $}}}}}}}$ 의 $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ 경계된 $부분집합이다$

$X$ $X$ 및 $X$ $Y$ $Y$ 이(가) 로컬 볼록한 경우 $Y$ 다음 항목을 이 목록에 추가할 수 있다.

$F$ $F$ 은(는) 경계된 디스크를 경계된 디스크로 $F$ 매핑한다.^[4]
$F^{-1}$ - $F^{-1}$ ${\$ $displaystyle$ F $^{-1}$ 의 Bornivorous $디스크$ 를 X . ${\$ $displaystyle$ $X$ $.}$ 의 Bornivorous Disk로 $Y$ 매핑 $F^{-1}$

$X$ $X$ 이 $X$ (가) 선천적 공간이고 $Y$ $Y$ 이(가) 로컬 볼록한 공간인 $Y$ 경우 다음 항목을 이 목록에 추가할 수 있다.

$F$ $F$ 은(는) 도메인의 일부(또는 동등하게 모든) 지점에서 순차적으로 연속된다 $F$ .^[5]
- 두 TVS 사이에 순차적으로 연속되는 선형 지도는 항상 경계되지만,^[1] 그 반대는 보유해야 할 추가적인 가정(예: 도메인 탄생 및 코도메인 국소 볼록)을 요구한다.
- $도메인$ $X$ $X$ 도 순차적 공간인 $X$ 경우,F {\ $displaystyle F}$ 은 연속적인 경우에만 순차적으로 연속된다 $F$ .
F $F$ 은(는) 출발지에서 순차적으로 연속된다 $F$ .

예

두 개의 유한 차원 규범 공간 사이의 선형 연산자는 경계를 이루며, 그러한 연산자는 어떤 고정 행렬에 의해 곱셈으로 볼 수 있다.
유한 차원 규범 공간에 정의된 모든 선형 연산자는 경계된다.
$\ell ^{1}$ $\ell ^{1}$ ${\$ 표준으로 $\ell ^{1}$ 간주되는, 결국 실수 순서의 0 시퀀스 공간 $c_{00}$ $c_{00}$ $c_{00}$ ${\$ 에서, 시퀀스의 합계를 반환하는 실제 숫자에 대한 선형 연산자는 연산자 표준 1로 경계된다. ${\$ 규범과 $\ell ^{\infty }$ 동일한 공간을 고려한다면 동일한 연산자는 경계하지 않는다.
많은 적분 변환은 경계 선형 연산자로 되어 있다. 예를 들어, 다음과 같다. $K:[a,b]\time [c,d]\to \mathb {R}$ is a continuous function, then the operator $L$ defined on the space $C[a,b]$ of continuous functions on $[a,b]$ endowed with the uniform norm and with values in the space $C[c,d]$ with $L$ given by the 공식 $(Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,$ 경계가 있다 이 오퍼레이터는 사실 소형 오퍼레이터다. 소형 연산자는 경계 연산자의 중요한 클래스를 형성한다.
라플라스 연산자 $\Delta :H^{2}(\mathb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathb {R} ^{n})\,$ (그 도메인은 소볼레프 공간이며 사각형 통합 함수의 공간에서 값을 취함) 경계로 되어 있다.
The shift operator on the Lp space $\ell ^{2}$ of all sequences $\left(x_{0},x_{2},x_{2},\ldots \right)$ of real numbers with ${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1$ $}^{2}+x_{2$ $}^{2}+\cdots <\infully,\,}$ $L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\좌측(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)$ 경계가 있다 연산자 표준은 1. $1.$ 으로 쉽게 나타난다.

언바운드 선형 연산자

$X$ $X$ 을 $[-\pi ,\pi ],$ 를) [ $[-\pi ,\pi ],$ - $[-\pi ,\pi ],$ , $[-\pi ,\pi ],$ $[-\pi ,\pi ],$ , $[-\pi ,\pi ],$ 에 있는 모든 삼각 다항식의 공간이 되도록 $[-\pi ,\pi ],$ 하십시오 $X$ .

\ P\ =\int _{-\pi }^{\pi }\! P(x) \,dx.

다항식을 파생상품에 매핑하는 $L:X\to X$ 연산자 $L:X\to X$ : $L:X\to X$ → X $L:X\to X$ 은 경계가 없다. Indeed, for $v_{n}=e^{inx}$ with $n=1,2,\ldots ,$ we have $\ v_{n}\ =2\pi ,$ while $\ L(v_{n})\ =2\pi n\to \infty$ as $n\to \infty ,$ so $L$ $[\displaystyle L}$ 은(는) 경계되지 않는다 $L$ .

경계 선형 연산자의 공간 특성

$X$ $X$ 에서 Y $Y$ 까지의 $X$ 모든 경계 선형 연산자의 공간은 $B(X,Y)$ $B(X,Y)$ $B(X,Y)$ 로 표시되며 $Y$ $B(X,Y)$ 표준 벡터 공간이다.
$Y$ $Y$ 이 $Y$ (가) Banach인 $B(X,Y).$ B $B(X,Y).$ $B(X,Y).$ , $B(X,Y).$ ) $B(X,Y).$ . $B(X,Y).$ {\ $displaystyle$ B $(X,Y$ )도 Banach이다 $.$ $}$
이중 공간은 바나흐라는 것을 따른다.
$A\in B(X,Y),$ $A\in B(X,Y),$ $A\in B(X,Y),$ ( $A\in B(X,Y),$ , $A\in B(X,Y),$ ) $A\in B(X,Y),$ , ${\displaystyle A\in B(X,Y$ $)}$ 에 $A\in B(X,Y),$ 대해 A {\ $displaystyle$ A}의 커널은 X. $X.$ 의 닫힌 선형 하위 공간이다 $A$ .
$B(X,Y)$ $B(X,Y)$ , Y $B(X,Y)$ ) $B(X,Y)$ 이 $B(X,Y)$ (가) Banach이고 $X$ $X$ 이(가) 비(非)인 $X$ 경우 $Y$ ${\displaysty Y}$ 이 $Y$ (가) Banach이다.

참고 항목

경계 집합(위상 벡터 공간)
불연속 선형 지도
연속 선형 연산자
국부 경계성
표준(수학) – 벡터 공간에서의 길이
연산자 대수 – 함수 분석 부문
측정 시스템 표준 – 선형 측정 시스템의 "크기" 측정
연산자 이론
세미놈
언바운드 연산자

참조

^ Proof: Assume for the sake of contradiction that $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ converges to $0$ but ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\i$ $nfty$ ${}}$ 는 $F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ $Y$ . {\ $displaystyle Y}$ 에 경계가 없다 $.$ ${\$ $displaystyle V}$ 가 시퀀스 $F\left(x_{\bullet }\right).$ ( $F\left(x_{\bullet }\right).$ $∙$ ) . $displaystyle$ F\ $left(x_{bullet$ }\right $)$ 를 흡수하지 않도록 $Y$ $V$ Y ${\\\\\\displaystystystystystytype Y}$ 에 있는 원본의 $V$ 열린 균형 이웃 V ${{{\}$ 를 선택하십시오 $Y.$ $.$ $}$ $x_{\bullet }$ 한 경우 x $∙{\$ 을(를) 부속품으로 $x_{\bullet }$ 교체하면 $F\left(x_{\bullet }\right).$ 모든 양의 정수 $i$ . ${\$ displaystyle $i$ {\ $displaystyle$ i $.}$ 에 대해 $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ x $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ ) $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ ${\displaysty F\lef(x_{i}\rig)가$ 아닌 $일반성$ 을 잃지 않고 가정할 수 있다. The sequence $z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }$ is Mackey convergent to the origin (since $\left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ is bX{X\displaystyle})가정에 Ounded, F(z∙))(F(zi))나는 갈1∞{\displaystyle F\left(z_{\bullet}\right)=\left(F\left(z_{나는}\right)\right)_{i=1}^{\infty}}Y에.{Y\displaystyle}그래서 진정한 r을 고르고;1{\displaystyle r> 1}그런 F(zi)∈ rV을 다스릴 수 있는 {\dis $playstyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ for every integer $i.$ If $i>r$ is an integer then since $V$ is balanced, $F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,$ which is a contradiction. Q $.$ E.D. " $F$ {\ $displaystyle$ F $}$ 은(는 $F$ ) 경계"라는 훨씬 더 강력한 특성을 부여하기 위해 쉽게 일반화된다. For example, the word "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is a bounded subset of $X.$ " in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that ${\displaystyle \left(r_{$ $X.$ $}x_{i}\오른쪽)_{i=1}^{\puty }\to$ 0 $}$ 의 X. ${\displaystyle$ X $X.$ "

^ ^a ^b 윌란스키 2013, 페이지 47–50.
^ 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 156–175.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 441–457.
^ ^a ^b 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 444.
^ 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 451–457.

참고 문헌 목록

"Bounded operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
크라이스치히, 어윈: Wiley, 1989년 애플리케이션을 통한 기능 분석 입문
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

[4] Proof: Assume for the sake of contradiction that $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ converges to $0$ but ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\i$ $nfty$ ${}}$ 는 $F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ $Y$ . {\ $displaystyle Y}$ 에 경계가 없다 $.$ ${\$ $displaystyle V}$ 가 시퀀스 $F\left(x_{\bullet }\right).$ ( $F\left(x_{\bullet }\right).$ $∙$ ) . $displaystyle$ F\ $left(x_{bullet$ }\right $)$ 를 흡수하지 않도록 $Y$ $V$ Y ${\\\\\\displaystystystystystytype Y}$ 에 있는 원본의 $V$ 열린 균형 이웃 V ${{{\}$ 를 선택하십시오 $Y.$ $.$ $}$ $x_{\bullet }$ 한 경우 x $∙{\$ 을(를) 부속품으로 $x_{\bullet }$ 교체하면 $F\left(x_{\bullet }\right).$ 모든 양의 정수 $i$ . ${\$ displaystyle $i$ {\ $displaystyle$ i $.}$ 에 대해 $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ x $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ ) $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ ${\displaysty F\lef(x_{i}\rig)가$ 아닌 $일반성$ 을 잃지 않고 가정할 수 있다. The sequence $z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }$ is Mackey convergent to the origin (since $\left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ is bX{X\displaystyle})가정에 Ounded, F(z∙))(F(zi))나는 갈1∞{\displaystyle F\left(z_{\bullet}\right)=\left(F\left(z_{나는}\right)\right)_{i=1}^{\infty}}Y에.{Y\displaystyle}그래서 진정한 r을 고르고;1{\displaystyle r> 1}그런 F(zi)∈ rV을 다스릴 수 있는 {\dis $playstyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ for every integer $i.$ If $i>r$ is an integer then since $V$ is balanced, $F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,$ which is a contradiction. Q $.$ E.D. " $F$ {\ $displaystyle$ F $}$ 은(는 $F$ ) 경계"라는 훨씬 더 강력한 특성을 부여하기 위해 쉽게 일반화된다. For example, the word "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is a bounded subset of $X.$ " in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that ${\displaystyle \left(r_{$ $X.$ $}x_{i}\오른쪽)_{i=1}^{\puty }\to$ 0 $}$ 의 X. ${\displaystyle$ X $X.$ "

[FOOTNOTEWilansky201347–50-1] 윌란스키 2013, 페이지 47–50.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156–175-2] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 156–175.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011441–457-3] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 441–457.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011444-5] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 444.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011451–457-6] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 451–457.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 공간 주제 차단
바나흐 공간의 유형	아스플룬드 바나흐(목록) 바나흐 격자 그로텐디크 힐버트(내부 제품 공간) 양극화 정체성) (폴리노멀리) 반사적 리에츠 L-세미인너 제품 (B) 엄밀히 균일) 볼록 균일하게 매끈매끈함 (주치적) 투영) 텐서 제품(힐버트 공간)
바나흐 공간:	바렐라드 F-공간 프레셰트(테임) 국소 볼록(세미나미/밍코스키 기능) 맥키 정규화(일반) 콰시노르메드 고정관념
함수 공간 위상	이중 이중 공간(이중 정규) 연산자 울트라위크 약한(극) 운영자) 강한(극성) 운영자) 울트라스트롱 균일 수렴
선형 연산자	조정 이린린(형식) 운영자 sesquilinar) (Un)경계됨 닫힌 컴팩트(힐버트 공간) (분산)연속 조밀하게 정의됨 프레드홀름(커널) 운영자) 힐베르트슈미트 함수(양수) 사이비-모노톤 정상 핵 자수성가 완전 단수형 트레이스 클래스 전치하다 유니타리
연산자 이론	바나흐 알헤브라스 C알제브라스 연산자 공간 스펙트럼(C-알지브라) 반경) 스펙트럼 이론(ODEs) 스펙트럼 정리) 극분해 단수 값 분해
정리	앤더슨-케이덱 바나흐알라오글루 바나흐-마주르 바나흐-삭스 Barnach-Schauder(개방 매핑) 바나흐-슈타인하우스 (통일된 경계) 베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를린-슈물리안 프로이트스펙트럼 겔판-마주르 겔판-나이마르크 골드스틴 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 카쿠타니 고정점 크레인-밀만 로모노소프의 불변 아공간 맥키아렌스 마주르의 보조정리 M. 리에즈 확장 파르세발의 정체 리에즈 보조정리 리에즈 표현 로빈슨우르세스쿠 슈워더 고정점
분석	추상 위너 공간 바나흐 다지관 보따리를 싸다 보크너 공간 볼록 시리즈 프리셰트 공간의 차별화 파생상품(프레셰트) 가토 기능적 단형의 준) 통합(보치너) 던퍼드 겔판-페티스 규제의 팰리-위너 약한) 기능성 미적분(보렐) 연속의 홀로모픽) 측정(레베그) 투영 값 벡터) 약하게/강하게 측정할 수 있는 기능
세트 종류	절대 볼록스 흡수. 아핀 균형/순환 경계 볼록스 볼록콘(하위 세트) 볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx) 선형 원뿔(하위 세트) 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭 조노토프
하위 집합/작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 경계점 볼록 선체 극한점 실내 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
예	절대 연속성 AC $(\displaystyle ba(\Sigma )}$ c 스페이스 바나흐 좌표 BK Besov B $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ , $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ( $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ 비른바움-올리츠 경계변동 BV B스 스페이스페이스 K 콤팩트 하우스도르프가 있는 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H Morrey-Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ , $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ( $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ) ${\displaystyle$ L $^{\lambda ,p}(\Oomega )}$ ℓ^p (ℓ^{${\infty }$}) L^p( $∞{\$ L $^{\inflt })}$ 가중치 있는 슈워츠 $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ( R $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ) ${\$ 세갈-바르그만 F 소볼레프^k,p W (소볼레프 불평등) 트리벨-리조킨 Wiener amalgam $W(X,L^{p})$ ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ $W(X,L^{p})$ ) $W(X,L^{p}})$
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 일반 미분 방정식(ODE) 유효숫자

v t 경계성과 출생학
기본개념	배럴드 스페이스 경계 집합 본론적 공간 (벡터) 출생학
연산자	(Un)경계 연산자
하위 집합	바레일 집합 태생 집합 포화가족
관련 공간	(카운트 가능) 막대형 공간 (카운트할 수 있음) 준철근 기괴한 공간 초초기파 공간 울트라본 공간

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