효용 표현 정리

경제학에서, 효용 표현 정리는 특정 조건에서 선호 순서가 실제 가치의 효용 함수로 표현될 수 있다고 주장합니다.

배경

어떤 사람이 "A가 더 좋습니까, B가 더 좋습니까?"(A와 B가 옵션, 취해야 할 조치, 세계 상태, 소비 번들 등이 될 수 있는 경우)라는 질문을 받았다고 가정해 보겠습니다.에이전트가 B보다 A를 선호하는 경우 A${\displaystyle \succ }$ $({displaystyle$ A$\succ$ B$\})$라고 $씁니다{\displaystyle }$.이러한 모든 선호 쌍의 집합은 사용자의 선호 관계를 형성합니다.

모든 옵션 쌍 간에 사용자의 선호도를 기록하는 대신, A$$${\displaystyle \succ }$B가 $표시되는$에만 u$($ >($)$와 같은 u(A) > u$(B$$)$와 같이 각 옵션에 실수 번호를 할당하는 기능인 단일 유틸리티 기능을 갖는 것이 훨씬 편리할 것입니다.

모든 선호 관계에 효용 함수 표현이 있는 것은 아닙니다.예를 들어, 관계가 전이적이지 않은 경우(에이전트는 A에서 B로, B에서 C에서 C로 선호), 효용 표현이 없습니다. 이러한효용 는A)>C) > u($)$ \displaystyle$u(A)$ >$u(C)$ > u$A)$를 시켜야 하므로 불가능합니다.

효용 표현 정리는 선호 관계에 대한 조건을 제공하며, 이는 효용 표현의 존재에 충분합니다.

종종 연속성과 같은 추가 조건을 만족시키는 함수 u를 사용합니다.이를 위해서는 선호 관계에 대한 추가 조건이 필요합니다.

정의들

옵션 집합은 X로 표시되는 위상 공간입니다.어떤 경우에는 X도 메트릭 공간이라고 가정합니다. 특히 X는 유클리드 공간^m R의 하위 집합이 될 수 있습니다. {1,...,m}의 각 좌표는 상품을 나타내고 X의 각 m-벡터는 가능한 소비 번들을 나타냅니다.

선호 관계

기본 설정 관계는${\displaystyle }$X ×$$ {\$displaystyle$X \$times$X$\}$의 부분 집합입니다. 이 관계는 $\succ {\displaystyle }$$${\$displaystyle \succ}$ 또는$$ $⪰$ {\$displaystyle \succeq$로 표시됩니다.

• 관계가 엄격할 때 사용되는 표기법 ${\displaystyle \succ }$ {\$displaystyle$ $\succ}$은(는) $≻$ B {\$displaystyle$ A$\succ$ B}이(가$$) 옵션 A가 옵션 B보다 엄격하다는 것을 의미합니다.이 경우 관계가 비굴절적이어야 합니다. $즉{\displaystyle }$, A$$ ${\displaystyle A}$({$displaystyle$A\$succ$ A$}$이(가) 유지되지 않습니다.또한 비대칭이어야 합니다. $즉{\displaystyle }$, A ${\displaystyle \succ }$$$ \ $displaystyle$A \ $succ$B는$$ B ≻$$ \ $displaystyle$B \ $succ$ A가 $아님$을 의미합니다$.$
• 관계가 약한 경우$,$ $즉{\displaystyle }$ A ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle B}${\$displaystyle$$$A$\succeq$$$B$}$라는 표기는 옵션 A가 적어도 옵션 B만큼 좋다는 것을 의미합니다(A는 B와 같거나 B보다 나을 수 있습니다).이 경우 관계는 반사적이어야 합니다. $즉{\displaystyle }$, A$$ ${\displaystyle A}$({$displaystyle$ A$\succeq$ A$}$가 항상 유지됩니다.

약한 선호 관계 $⪰{\displaystyle }$ {\$displaystyle \succeq$를 고려할 때, "엄격한 부분" $\succ {\displaystyle }$ \$displaystyle$ $\succ$$}$과 "$무관심$ 부분$" ≃$을 다음과$$ 같이 정의할 수 있습니다.

• ${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$$$ \ $displaystyle$ A \ $succc$ B$$$$⪰ ${\displaystyle A}$ \ $displaystyle$ B \ succeq $B$가 아닌 A $⪰$ \ $displaystyle$ A$$\ $succeq$ B$$▁$and$
• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle B}$\ $displaystyle$$$A \ $succeq$ B$$및$$ $B$⪰ ${\displaystyle A}$ \ $displaystyle$B \ $succeq$A인 $경우$에만 A ${\displaystyle ⪰}$B \ displaystyle A \ $simeq$ B$$$$▁if

엄격한 선호 관계${\displaystyle }$$\succ {\displaystyle }$ {{$displaystyle \succ$를 고려할 때, "취약 부분" $⪰{\displaystyle }$ {{$displaystyle \succeq}$과 "무관심 부분" $≃$ {{$displaystyle \simeq}$을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⪰}$ B$($${\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ 스타일$$A\$succeq$ B$)$≻ A($디스플레이 스타일$B\$succ$ A$)$가 $아닌{\displaystyle }$ 경우에만;
• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \simeq }$$$$$\ $displaystyle$ A \ $simeq$B$$ ≻ ${\displaystyle A}$\ $displaystyle$ B \ $succ$A가 ${\displaystyle \mathrm{아닌<img\; alt="화면표시\; 스타일\; B\backslash succ\; A"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/29c7fb686e947281affc787b59f4cfd897623712"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:6.606ex;\; height:2.176ex;">}}$ $경우$에만 A ≻ B \ $displaystyle$A \ $succ$ B$.$

모든 $옵션{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle$ A$\in$ X$\}$에 대해 윤곽선 세트를 A:

• 약한 선호 관계 ${\displaystyle ⪰}$ {\$displaystyle \succeq$를 고려할 때, A에서 약한 상위 등고선 집합은 적어도 A: {${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$: B ⪰ ${\displaystyle A}$ $}$ {$displaystyle$\{$B\in$X:$B\succeq$ A$\backslash \}.$ A에서 약한 하위 등고선 집합은 최대 A: {${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$ ⪰ $}{displaystyle$\{$B\in$ X$:$$A\succeq$ B$\backslash \}\}.$
  • 약한 선호 관계는 등고선 세트가 위상적으로 닫힌 경우 연속이라고 합니다.
• 마찬가지로, 엄격한 선호도 관계 ${\displaystyle \succ }$ ${{displaystyle$ \$succ$가 주어지면, A에서 엄격한 상위 등고선 집합은 ${\displaystyle A}$: {${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ X : ${\displaystyle B}$ ≻${\displaystyle }$A$$}{$Displaystyle$\{$B\in$ X$:$$B\succ$ A$\backslash \},$ 그리고 A에서 엄격한 하한 등고선 세트는 A보다 나쁜 모든 옵션 집합입니다. { ${\displaystyle B\in X}$ : ${\displaystyle A}$ ≻ $}$ {\$displaystyle$\{$B\in$ X$:$$A\succc$ B$\backslash \}\}.$
  • 엄격한 선호 관계는 등고선 세트가 위상적으로 열려 있는 경우 연속이라고 합니다.

때때로 위의 연속성 개념을 반연속이라고 하며${\displaystyle ,}$ X ×$X의 닫힌$ 부분 집합인 경우$$⪰{\$displaystyle$$\succeq}$를 연속이라고 합니다$.$^[1]

선호 관계를 다음과 같이 부릅니다.

• 카운트 가능 - 차분 관계 $≃$ {\$displaystyle \simeq}$의 동등 클래스 집합이 카운트 가능한 경우.
• 분리 가능 - 모든 쌍 $A{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$$$ \ $succ$B에 대해$,$ 이들을 분리하는 ${\displaystyle {요소}_{}}$ ${\displaystyle z}$ $∈$ Z \ $displaystyle z_{i}\in$Z가$$ 존재하는 계수 부분 $집합{\displaystyle }$ Z ⊆$$X \ \ $subseteq$X가$$ 존재한다면, 즉,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$≻ $($약한 관계에 대해 유사한 정의가 존재함)($표시 스타일$ A$\succ z_{i}\succ$ B$).$

예를 들어, 실수에 대한 엄격한 순서 ">"는 분리할 수 있지만 셀 수 없습니다.

유틸리티 기능

유틸리티 함수는 u${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ \$displaystyle$u:$X\to$ \$mathbb {R$ $함수$입니다.

• 효용 함수 u는 엄격한 선호 관계$$ \\$displaystyle$ \$succ$⟺, 만약 > ( ≻ \\$displaystyle u(A)$ > $u(B$)\$iff$A\$succ$ B를 나타낸다고 합니다.
• 효용 함수 u는 약한 선호 관계 ${\displaystyle ⪰}$ {\$displaystyle$$\succeq$ ${\displaystyle \mathrm{만약}}$u (${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle A}$ ($A)\geq(B)\iff$ A$\succeq$ B$\}$를 나타낸다고 합니다.

완전한 선호 관계

Debreu는^[2][3] 다음 조건을 만족시키는$$약한 선호 $관계$의 연속적인 표현의 존재를 $증명했습니다.$

1. 반사적 및 전이적;
2. 전체, 즉 X의 모든 두 옵션 A, B에 대해 A ${\displaystyle ⪰}$$$ \ $displaystyle$ A$\succeq$ B $또는$ B ⪰$$ \ $displaystyle$B \ $succeq$A 또는 둘 $다$;
3. $모든{\displaystyle }$ A${\displaystyle \in }$ ${displaystyle$ A$\in$ X$\}$에 대해 위상학적으로 상한 및 하한 약한 등고선 집합이 모두 닫힙니다.
4. X라는 공간은 두 번째로 셀 수 있습니다.이것은 X의 모든 열린 집합이 클래스 ^[4]S의 집합의 합이 되는 열린 집합 S의 카운트 집합이 있다는 것을 의미합니다.두 번째 계수는 다음과 같은 특성(약한 특성에서 강한 특성으로)에 의해 암시됩니다.
   • 공간 X는 분리 가능하고 연결되어 있습니다.
   • 관계$$δ({$displaystyle \succeq})$는 분리할 수 있습니다.
   • 관계 $⪰$ {{$displaystyle \succeq}$은(는) 셀 수 있습니다.

재프레이는^[5] 연속 효용 함수의 존재에 대한 기본적인 증거를 제공합니다.

불완전한 선호 관계

기본 설정은 일부 옵션이 비교할 수 없는 경우, ${\displaystyle 즉}$A$$ B \ $displaystyle$A \ $succeq$B$$ ${\displaystyle \mathrm{또는}}$ B ⪰ A \ $displaystyle$B \ $succeq$A 중$$ $어느{\displaystyle }$${\displaystyle }$ 것도 유지하지 않는 경우 불완전하다고 합니다.이 경우는 A ${\displaystyle \bowtie }$$$ {\$displaystyle$A \$bowtie$ B$\}$로 표시됩니다. 실수는 항상 비교 가능하기 때문에,${\displaystyle u}$ (${\displaystyle A}$)${\displaystyle u}$(B) ${\displaystyle ⟺}$A ($A)$ \$geq$ ($B)$ \$iff$A \$succeq$B$\}$로 u를 $나타내는{\displaystyle }$ 함수를 갖는 것은 불가능합니다.

일방향 표현

펠레그는^[6] 엄격한 부분 순서${\displaystyle }$$displaystyle$ \$displaystyle}$의 효용 함수 표현을 $함수{\displaystyle }$u : X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$$$:$X$$to$$\mathbb {R}$로 정의하여 A $u$A ) >$u$($B )$를 암시합니다. 즉, 한 방향의 암시만 유지되어야 합니다펠레그는 다음 조건을 만족시키는$$ 엄격한 선호 관계$$δ{\$displaystyle \succ}$의 1차원 연속 효용 표현의 존재를 증명했습니다.

1. 비굴절적이고 과도적인(불규칙적인 부분 순서인 비대칭임을 의미함);
2. 분리 가능;
3. $모든{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle$ A$\in$ X$\}$에 대해, A에서 설정된 하위 엄격 등고선은 위상학적으로 열려 있습니다.
4. 널찍함: A ${\displaystyle \succ }$ {{$style$ A$\succ$ B$\}$가 표시되는 $경우{\displaystyle }$, A에서 설정된 하한 엄격 등고선은 B에서 설정된 하한 엄격 등고선의 폐쇄를 포함합니다.
   • 이 조건은 불완전한 기본 설정 관계에 필요합니다.전체 기본 설정 관계의 경우 모든 하한 및 상한 엄격 등고선 세트가 열려 있는 모든 관계도 넓습니다.

약한 선호 관계가$$주어지면,$우리$는 엄격한 선호 $관계$를 정의함으로써 펠레그의 정리를 적용할 수 있습니다$.$${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$$$ \ $displaystyle$ A \ $succc$ B$$$$⪰ ${\displaystyle A}$ \ $displaystyle$ B \ succeq $B$가 아닌 A $⪰$ \ $displaystyle$ A$$\ $succeq$ B$$^[6]▁$and$

두 번째 조건$({\displaystyle$ \$succ$는 분리 가능$)$은 다음 세 가지 조건에 의해 암시됩니다.

• 공간 X는 분리 가능합니다.
• $모든{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle$ A$\in$ X$\}$에 대해 A의 하한 및 상한 엄격 등고선 집합은 위상학적으로 열려 있습니다.
• A의 하한 카운트 집합이 비어 있지 않으면 A는 닫힌 상태가 됩니다.

리히터도 ^[7]비슷한 접근법을 취했습니다.따라서 이 단방향 표현은 Richter-Pelleg ^[8]유틸리티 표현이라고도 합니다.

Jaffray는^[9] 엄격한 부분 순서$$ \displaystyle $\displaystyle$의 효용$$ 함수 표현을 $함수{\displaystyle u}$ : X ${\displaystyle \to }$ \$displaystyle$u:$X\$$to$ \$mathbb {R}$로 정의하여 A (A) >(B $)$ \$displaystyle B$ $\dimplies u$ ($A$$그리고{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ⟹u}$ (${\displaystyle A}$ )$=$u (${\displaystyle B}$) \ $displaystyle$B \$implies u$ ( A ) =$$u$($ B )$$를 암시합니다. $여기$서 A ≈$$ \ $displaystyle$A \ $approx$B는$$ 모든 $C$에 대해 다음과 $같이{\displaystyle }$ 정의됩니다. A ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle C}$$$ ${\displaystyle C}$ \ ${\displaystyle C}$ \ $C$\ C \ C \ $C$ \ $$$≻$B와 동일).그는 완벽하게 분리 가능한 부분적으로 정렬된 모든 공간$X$에 대해, ^{[9]: Sec.4} 상위 위상보다 강한 위상에는 상위 반연속적인 효용 함수가 존재한다는 것을 증명했습니다.유사한 진술은 하위 토폴로지보다 강한 모든 토폴로지에서 하위 반연속적인 유틸리티 함수의 존재를 나타냅니다.

Sondermann은^[10] Jaffray와 유사하게 효용 함수 표현을 정의합니다.그는 확률 공간, 즉 순서 위상에서 상위 반연속 또는 하위 반연속에 대한 효용 함수 표현의 존재 조건을 제공합니다.

Herden은^[11][12] 약한 선주문$$ \$displaystyle$ \$discceq$의$$효용$$ 함수 표현을 동위원소 $함수$^{[clarification needed]} u${\displaystyle }$: $(X,$⪰)$$ (${\displaystyle R\mathbb{},}$ $≥)$ \$to$(\$mathbb {R},$ \$geq)$로 정의하여 A $B$ $(A$) >$(B$ 를 표시합니다.허든[11]:Thm.4.1은 X에 대한 약한 선주문 γ{\displaystyle \succeq}가 연속적인 효용 함수를 갖는다는 것을 증명했다. X에 분리 가능한 시스템의 계수 가능한 패밀리 E가 존재하는 경우에만, 모든 쌍 A에 대해 E에 분리 가능한 시스템 F가 존재하며, B는 F의 모든 집합에 포함되지 않는다F의 임의의 집합에 포함됩니다.그는 이 정리가 펠레그의 표현 정리를 암시한다는 것을 보여줍니다.후속^[12] 논문에서 그는 이 정리와 완전한 순서의 고전적 효용 표현 정리 사이의 관계를 명확히 합니다.

다중 효용 표현

관계 ${\displaystyle ⪰}$ \$displaystyle \succeq}$의 다중 효용 표현(MUR)은 효용 함수의 집합 U이며, ${\displaystyle 이}$는 A ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$≥ ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle u}$ (${\displaystyle A)}$⪰ \$displaystyle$ A$\succeq$ B$\iff \for all$u\$in$ U$:(A)\geq(B$와 $같습니다{\displaystyle }$.집합 U의 모든 유틸리티 기능이 이 기본 설정을 만장일치로 유지하는 경우에만 A가 B보다 우선됩니다.이 컨셉은 Efe ^[13]Ok에 의해 소개되었습니다.

모든 사전 순서(반사 및 전이 관계)에는 사소한 ^{[1]: Prop.1} MUR이 있습니다.또한 닫힌 상위 등고선 세트가 있는 모든 사전 주문에는 상위 반연속 MUR이 있고, 닫힌 하위 등고선 세트가 있는 모든 사전 주문에는 하위 반연속 ^{[1]: Prop.2} MUR이 있습니다.그러나 닫힌 상한 및 하한 윤곽선 세트가 있는 모든 사전 주문에 연속적인 ^{[1]: Exm.1} MUR이 있는 것은 아닙니다.Ok와 Even은 연속적인 MUR의 존재에 대한 몇 가지 조건을 제시합니다.

• ${\displaystyle }${\$displaystyle$\$succeq$$}$은(X,$$⪰ {\displaystyle \$succeq$ 반정규적으로 미리 정렬된 위상 ^{[1]: Thm 0} 공간인 경우에만 연속적인 MUR을 가집니다$.$
• X가 국소 콤팩트 및 시그마 콤팩트 하우스도르프 공간이고,$$$⪰\{{\displaystyle }$$displaystyle \succeq}$가${\displaystyle }$X ×$X$의 $닫힌{\displaystyle }$ 부분 집합이라면$,$$$⪰{$displaystyle \succeq}$는 연속적인 MUR을 갖습니다.^{: Thm 1} 이는 특히 X가 유클리드 공간의 비어 있지 않은 닫힌 부분 집합인 경우에 적용됩니다.
• X가 위상 공간이고,${\displaystyle }$$⪰\{\{{\displaystyle }$$displaystyle \succeq}$가 닫힌 상위 및 하위 등고선 집합을 가진 사전 순서이며, 강한 국소 비포화와 nice라는 추가 특성을 만족한다면, $⪰{displaystyle \succeq}$는 연속적인 ^{[1]: Thm 2} MUR을 갖습니다.

위의 정리에 의해 보장되는 모든 표현은 무한히 많은 유틸리티와 셀 수 없이 많은 유틸리티를 포함할 수 있습니다.실제로는 유한한 MUR(유틸리티가 무한히 많은 MUR)을 갖는 것이 중요한 경우가 많습니다.Everen과 Ok는 모든 유틸리티가 다음 조건을 만족하는$$ 약한 선호 관계$$δ{{$displaystyle \succeq}$에 대해 반연속적인 유한 MUR이 존재함을 증명합니다.

1. 반사적이고 과도적인 (즉,$⪰$ \$displaystyle$ \$succeq는$약한$$ 선주문입니다.);
2. 모든 상부[하부] 등고선 세트가 위상학적으로 닫힙니다.
3. 공간 X는 두 번째로 카운트할 수 있습니다. 즉, 카운트할 수 있는 기저를 가지고 있습니다.
4. $⪰{{displaystyle \succeq}($모든 요소가 비교할 수 없는 집합의 가장 큰 크기)의 너비는 유한합니다.
   • 표현에 포함된 유틸리티 함수의 수는 최대 너비가$$⪰ {\$displaystyle \succeq$입니다.

보장된 기능은 모든 상한 및 하한 윤곽선 세트가 ^{[13]: Exm.2} 닫힌 경우에도 반연속적이지만 반드시 연속적일 필요는 없습니다.에브렌과 옥은 "최소한 이 논문에서 채택된 방법을 사용하는 것이 아니라 연속적인 유한 다중 효용 표현 정리를 도출하는 자연스러운 방법이 없는 것 같다"고 말합니다.

참고 항목

• 폰 노이만-모겐슈테른 효용 정리
• 공개된 선호 이론은 선호 관계 또는 효용 ^[14]함수에 의해 에이전트의 수요 함수를 나타내는 것을 다룹니다.

레퍼런스