호지 구조

수학에서, Hodge 구조는 W. V. D.의 이름을 따서 명명되었다. 호지(Hodge, Hodge)는 선형대수 수준의 대수적 구조로, 호지 이론이 부드럽고 컴팩트한 켈러 다지관의 코호몰로지 그룹에게 주는 것과 유사하다.호지 구조는 피에르 델랭(1970년)이 정의한 혼합 호지 구조 형태로 모든 복합 품종에 대해 일반화되었다.호지 구조의 변형은 필립 그리피스(1968년)가 처음 연구한 다지관에 의해 매개변수가 된 호지 구조물의 계열이다.이러한 모든 개념은 사이토 모리히코(1989년)에 의해 복잡한 품종보다 혼합된 호지 모듈로 더욱 일반화되었다.

호지 구조물

호지 구조 정의

정수 중량 n의 순수한 호지 구조는 아벨 그룹 H ${\displaystyle {Z\mathbb{}}_{}}$ ${\$와 그 복합화 H를 복잡한 하위 공간 ${\displaystyle H^{}}$ p ,${\displaystyle q^{}}$ ${\$ H$^{p,q$의 직접 합으로 분해하며 $여기$서 p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle q}$= n = ${\displaystyle p+q=$q=$n$로 구성된다.${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ,${\displaystyle q^{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {Hq}^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ H$^{q,p}}$:

$H:=H_{\mathb {Z}\otimes _{\mathb {Z}}\mathb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q}}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}=H^{q,p}.}$

H의 직접 합 분해는 Hodge ${\displaystyle {}^{}}$로 대체하여 얻는다. H의 유한감소 여과, $복합{\displaystyle {}^{}}$ 하위공간 F p ${\displaystyle H^{}}$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ F$^{p}H(p\in \mathb {Z})$, 조건의 적용을$$ 받는다.

${\displaystyle \all p,q\ :\p+q=n+1,\qquad F^{p}H\\overline {F^{q}H}}}=0\quad {\text{and}\quad F^{p}H\overline {F^{p}}}}}}H.}}$

이 두 가지 설명의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}}$

For example, if X is a compact Kähler manifold, ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$ is the n-th cohomology group of X with integer coefficients, then ${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$ is its n-th cohomology group with complex coefficients and Hodge theory는 위와 같은 직접적인 합으로 H의 분해를 제공하므로, 이러한 데이터는 무게 n의 순수한 Hodge 구조를 정의한다.한편, Hodge-de Rham 스펙트럼 시퀀스는 두 번째 정의와 같이$$ F ${\displaystyle {}^{}}$ H ${\displaystyle$ F$^{p}H}$에 의한 감소 여과와 함께$$ ${\displaystyle {Hn}^{}}$ ${\$ $H$$^{n}}$을 공급한다.^[1]

대수 기하학에서의 응용, 즉 그 기간별 복잡한 투영 품종 분류의 경우, H ${\displaystyle {Z\mathbb{}}_{}}$ ${\$에 있는 중량 n의 모든 Hodge 구조의 집합이 너무 크다$$.리만 이린 관계를 이용하면 호지 리만 이린 관계라고 하는 이 경우 실질적으로 간소화할 수 있다.A polarized Hodge structure of weight n consists of a Hodge structure ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ and a non-degenerate integer bilinear form Q on ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ (polarization), which is extended to H by linearity, and satisfying the conditions:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{정렬}}}$

호지 여과로 볼 때, 이러한 조건들은 다음과 같은 것을 암시한다.

${\displaystyle {\reasoned}Q\왼쪽(F^{p},F^{n-p+1}\right)&#0,\\Q\왼쪽(C\varphi ,{\barphi }}}{\barphi }}}}{}\varphi \neq 0,\end{liged}}}}$

여기서 C는 H에 대한 Weil 연산자로, $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$에${\displaystyle }대한{\displaystyle }$ C = ${\displaystyle {}^p}$ - ${\displaystyle q^{}}${\$displaystyle C=i^{p-q$${\displaystyle {\},}^{}}$ ${\displaystyle Q^{}}$ ${\$ H$^{p,q$

그러나 Hodge 구조의 또 다른 정의는 $복잡한{\displaystyle \mathbb{}}$ 벡터 공간에 대한 Z$$ ${\$과(와) 원 그룹 U(1) 사이의 동등성에 기초한다.이 정의에서 2차원 실제 대수적 토루스(torus)로 본$$ 복합수 $∗{\$의 곱셈군 작용이 H에 주어진다.^[2]이 작용은 실수가 a에ⁿ 의해 작용하는 속성을 가져야 한다.서브스페이스 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ,${\displaystyle q^{}}$ ${\$ H$^{p,q}$는 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ C${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$이(가) z ${\displaystyle p^{}}$ z ${\displaystyle {}^{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}q}^{}}$ ${\displaysty$ z$^{p}{z}}}}}}}}{}}^{}}}}}}}}}}}}}}}}{q}{$$q$}}.$}$

A-호지 구조

동기가론에서는, 코호몰로지(cohomology)에 대해 보다 일반적인 계수를 허용하는 것이 중요해진다.Hodge 구조의 정의는 필드 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 Noetherian 하위 문자열 A를 수정하여 수정되며, 여기서 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ Z ${\displaystyle R_{}\mathbb{}}$ ${\$ {$A} \otimes _{\$mathb ${Z}}\mathb {R}}}$은 필드임$$.$그런{\displaystyle \mathbb{}}$ 다음 Z ${\$를) A로 대체하는 순수한 Hodge A-구조 n을 전과 같이 정의한다.B의 서브링 A를 위한 Hodge A 구조물과 B 구조물과 관련된 기저 변화 및 제한의 자연적인 요인이 있다.

혼합 호지 구조

단수(감소 가능)와 비완전 대수학 품종이라도 '가상 베티 수'를 인정해야 한다는 웨일 추측에 근거하여 1960년대에 장피에르 세레에 의해 주목받았다.좀 더 정확히 말하면, 어떤 대수적 품종 X에 그 속성과 함께 그것의 가상 푸앵카레 다항식이라고 불리는 다항식 P_X(t)를 할당할 수 있어야 한다.

• X가 불규칙하고 투영적인 경우(또는 완전)
  $${\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank}(H^{n}(X))t^{n}}}}$$

  
• Y가 닫힌 경우 X와 U = X \ Y의 대수적 부분집합
  $${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$$

  

그러한 다항식의 존재는 일반(가수 및 비완전) 대수적 다양성의 코호몰로지 내에 호지 구조의 아날로그가 존재함에 따라 나타날 것이다.새로운 특징은 일반적인 품종의 n번째 코호몰로지에는 다른 무게의 조각들이 들어 있는 것처럼 보인다는 것이다.이로 인해 알렉산더 그로텐디크는 그의 동기에 대한 추측이론을 하게 되었고 피에르 들랭의 작품에서 절정에 이른 호지 이론의 연장에 대한 탐색에 동기를 부여했다.그는 혼성 호지 구조의 개념을 도입하여 그들과 함께 작업하기 위한 기법을 개발하여 그들의 건축물을 (히로나카 헤이스케의 특이점 분해에 근거한) l-adic cohomology에 대한 가중치와 관련시켜 웨일 추측의 마지막 부분을 증명했다.

곡선 예제

정의에 동기를 부여하려면 Q ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$및$$ $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 지점에서 교차 교차 교차 교차 교차 교차 교차 교차 교차 ${\displaystyle {교차}_{}}$하는 X$$$$1 {\displaystyle$X_${2$\}\}.$ 더 나아가서 추정할 수 있는 두 가지 비논리 성분으로 구성된 축소 가능한 복합 대수 곡선 X의 경우를 고려하십시오.e 컴팩트하지 않지만 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 추가하여 컴팩트화할 수 있는 요소$.$커브 X의 첫 번째 코호몰로지 그룹(콤팩트 지원 포함)은 첫 번째 호몰로지 그룹과 이중화되어 있어 시각화가 용이하다.이 그룹에는 세 가지 유형의 원사이클이 있다.${\displaystyle {먼저}_{}}$ 구멍 ${\displaystyle P_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \alpha _{i}$ 주위에 작은 루프를 나타내는$$ 원소 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ i {\$displaystyle$P_{$i}$가 있다$.$그$$ 다음 각 구성 요소의 압축에 대한 첫 번째 호몰로지로부터 나온 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 요소가 있다.The one-cycle in ${\displaystyle X_{k}\subset X}$ (${\displaystyle k=1,2}$) corresponding to a cycle in the compactification of this component, is not canonical: these elements are determined modulo the span of ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$. Finally, modulo the first두 가지 유형으로, 그룹이 생성되는$$ 조합 주기 ${\$$displaystyle Q_{1$}:{1$}$에서 한 구성 요소 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle{\displaystyle {}_{}}$ $X_{1}$의 경로를 따라$$$$ Q ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{2}}: 다른 $구성{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {요소\mathrm{}}_{}}$ X$$2{\$displaystystyle X_$$2$}}.${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{1}(X)}$이(가) 증가하는 여과를 허용함을$$ 시사함

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}$

연속적인_n W_n−1/W 인수는 부드러운 완전 품종의 코호몰로지로부터 기인하므로, 비록 다른 무게일지라도 (순수) Hodge 구조를 인정한다.그 이상의 예는 "혼합 호지 이론의 순진한 지침"에서 찾을 수 있다.^[3]

혼합 호지 구조 정의

한abelian 그룹 HZ{\displaystyle H_{\mathbb{Z}에 관한 혼합 호지 구조}}유한한 감소하고 여과 대회는 복잡한 벡터 공간 H(HZ의 complexification{\displaystyle H_{\mathbb{Z}}})에 위창수는 이성적 벡터 공간에 호지 정화 및들은 한정된 증가하고 여과라고 불리는 H.로 구성되어 있${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ (obtained by extending the scalars to rational numbers), called the weight filtration, subject to the requirement that the n-th associated graded quotient of ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$ with respect to the중량 여과와 그것의 복잡화에 대한 F에 의해 유도된 여과와 함께, 모든 정수 n에 대한 순수한 중량 n의 Hodge 구조다.여기에 유도 여과 장치가 있다.

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{{n}H=W_{n}\otimes \mathb {C} /W_{n-1}\otimes \mathb {C}}}}$

에 의해 정의된다.

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\왼쪽(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathb {C} +{n-1}\mathb {C}\otimes \mathb {C}/{n-1}.$

F와 W의 필트레이팅에 적합해야 하는 혼합 호지 구조의 형태론의 개념을 정의하고 다음을 증명할 수 있다.

정리. 혼합 호지 구조물은 아벨의 범주를 형성한다.이 범주의 커널과 코커넬은 벡터 공간의 범주에 있는 통상적인 커널과 코커넬과 일치하며 유도된 오일과 일치한다.

소형 Kahler 다지관의 총 코호몰로지에는 혼합형 Hodge 구조가 있는데, 여기서 중량 여과_n W의 n번째 공간은 n보다 작거나 같은 정도의 코호몰로지 그룹(합리적 계수를 갖는)의 직접 합이다.따라서 콤팩트하고 복잡한 사례에서 고전적인 호지 이론을 어떤 식으로 양립할 수 있는 증가하는 적합성^p F와 감소하는 여과 W를_n 규정하는 복합 코호몰로지 그룹에 이중 등급을 제공하는 것으로 생각할 수 있다.일반적으로 전체 코호몰로지 공간에는 여전히 이러한 두 가지 오식이 존재하지만, 그것들은 더 이상 직접적인 총량 분해에서 오는 것이 아니다.순수한 호지 구조의 세 번째 정의와 관련하여, 그룹 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$의 작용을 사용하여 혼합 호지 구조를 설명할 수 없다고 말할 수 있다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^*}.}$Deligne의 중요한$$ 통찰은 혼합된 경우에서 사용할 수 있는 보다 복잡한 비확정적 프로알지브라 그룹이 있다는 것이다.탄나키식 형식주의를 사용한 것과 같은 효과로.

더구나 (혼합)의 범주.호지 구조는 품종의 산물에 해당하는 텐서 제품에 대한 좋은 개념은 물론, 내부 홈과 이중 오브젝트의 관련 개념까지 인정해 탄나키안 범주로 만들었다.타나카-크레인 철학에 의해 이 범주는 델리니, 밀네, 외엘이 속한 특정 집단의 유한차원 표현 범주에 해당한다.명시적으로 설명하였다. Deligne & Milne(1982) 및 Deligne(1994)를 참조하라.이 그룹에 대한 설명은 카프라노프(2012년)에 의해 보다 기하학적 용어로 다시 작성되었다.합리적인 순수 편광 가능한 호지 구조물에 대한 대응 분석(더 많이 포함)은 파트리키스(2016)가 했다.

코호몰로지에서의 혼합 호지 구조 (Deligne의 정리)

Deligne는 임의의 대수학 품종의 n번째 코호몰로지 그룹이 표준적으로 혼합된 호지 구조를 가지고 있다는 것을 증명했다.이 구조는 functorial이며, 품종(Künneth isomphyism)의 산물, 코호몰로지에서의 산물과 호환된다.완전한 비정형 품종 X의 경우 이 구조는 n중량으로 순수하며, 호지 여과법은 잘린 드 람 콤플렉스의 하이퍼코호몰리를 통해 정의할 수 있다.

그 증거는 대략 두 부분으로 구성되어 있는데, 비구체성과 특이점을 처리한다.두 부분 모두 (히로나카 때문에) 특이점의 분해능을 필수적으로 사용한다.특이한 경우, 품종은 단순한 계략에 의해 대체되어 더욱 복잡한 호몰로지 대수학으로 이어지며, (동호학과는 반대로) 복합체에 대한 호지 구조의 기술적 개념이 사용된다.

동기이론을 이용하면 합리적인 계수를 가진 코호몰로지에서의 무게 여과물을 적분 계수를 가진 코호몰로지(cohomology)^[5]의 무게 여과법으로 정제할 수 있다.

예

• The Tate–Hodge structure ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$ is the Hodge structure with underlying ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ module given by ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ (a subgroup of ${\displaystyle \mathbb {C} }$), with ${\displaystyle \mathb$$b {Z}(1)\otimes \mathb {C} =H^{-1,-1}}$그러므로$$ 정의상으로는 무게 -2가 순수하며, 이형체까지 무게 -2가 갖는 고유한 1차원 순수 호지 구조다.보다 일반적으로, 그것의 n번째 텐서 파워는 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle n);}$ ${\displaystyle \mathb$ {$Z}(n);}$ 1차원적이고$$ 무게 -2n이 순수하다.
• 완전한 케흘러 다지관의 코호몰로지(cohomology)는 호지 구조로, n번째 코호몰로지 그룹으로 구성된 아공간은 n중량으로 순수하다.
• 복합 품종(단수적이거나 불완전할 가능성이 있음)의 코호몰로지(cohomology)는 혼합형 호지 구조다.이것은 Deligne(1971년), Deligne(1971a년), 일반적으로 Deligne(1974년)에 의해 부드러운 품종에 대해 보여졌다.
• 정상적인 교차 특이치를 갖는$$ 투영 $버라이어티{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 경우 모든 혼합 Hodge 구조를 계산하는 퇴화 E-page와₂ 함께 스펙트럼 시퀀스가 있다.E-page는₁ 단순 집합에서 오는 차이점을 명시적으로 언급하고 있다.^[6]
• 어떤 매끄러운 부속품종도 정상적인 교차점과의 부드러운 콤팩트화(프로젝트적인 클로징을 취하고 특이점의 분해능을 찾을 수 있다)를 인정한다.해당 로그 양식을 사용하여 혼합 호지 구조의 명시적 중량 여과를 찾을 수 있다.^[7]
• 부드러운 투사형 초대면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1 ${\$} $℃$ $d{\displaystyle }$ ${\displaysty d}$의 Hodge 구조는 그리피스가 자신의 "Period Inte of 대수학 다지체" 논문에서 명시적으로 작성했다$$.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$, , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f\in \mathb {C}[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]$이 초대면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 정의하는 다항식이라면 등급의$$ Jacobian quotient ring.
  $${\displaystyle R(f)={\frac {\\mathb {C}[x_{0},\ldots,x_{n+1}]}{\refldock\frac {\reft_{0}},\ldots, {\frac {\frac}{\fldock x_{n+1}}\오른쪽)}}}$$

  
  $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 중간 코호몰로지 정보를 모두 포함하고 있다$.$ 그는 다음과 같이 보여준다.
  $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$$

  
  예를 들어 $g{\displaystyle }$= x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 따라서 ${\displaystyle \mathrm{d}}$= 4 ${\displaystyle d=4},$ $n$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystystyle$ n$=2}$로 주어진 K3 표면을 생각해 보십시오$.$그러면 등급이 매겨진 자코비안 반지는
  $${\displaystyle {\frac {\mathb {C} [x_{0},x_{1},x_{3}}}{{0}^{3}}}{{1}^{3},x_{2}^{3}}}}}}}}}}}}}$$

  
  그 후 원시적인 코호몰로지 집단에 대한 이형성(異形性)을 읽는다.
  $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}$$

  
  이 때문에
  $${\displaystyle {\reasoned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathb {C}\cdot x_{0}^{1}x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{2}x_{3}^{2}^{2}x_{2}^{3}\\\\}\}\\\}\H^{11,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathb {C} \cdot 1\end{arged}}}}}}$$

  
  $R{\displaystyle }$( ${\displaystyle g{}_{}}$) ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$이(가) 확장된 벡터 공간이라는 점에$$ 유의하십시오.
  $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\x_{1}x_{2}^{2}x_{3}^{2}x_{1}x_{1}x_{3}^{2},&x_{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}x_{3}^{2}x_{2}^{2}}}}\end{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

  
  19차원이야There is an extra vector in ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ given by the Lefschetz class${\displaystyle [L]}$. From the Lefschetz hyperplane theorem and Hodge duality, the rest of the cohomology is in ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ as is ${\displaystyle 1}$-dimensional.그래서 호지 다이아몬드는 읽는다.

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

• 또한 이전의 이형성을 사용하여 도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 평면$$ 곡선의 속성을 확인할 수 있다.$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$+ ${\displaystyle z^{}}$ d ${\$ x$^{d}+y^{d}+y$^{d}+z$^{d}}}$는 매끄러운 곡선이고$$ 에흐레스만 진동 정리는 매 $다른{\displaystyle }$ 매끄러운 속 g ${\displaystyle g}$이(가) 차이점형이라는 것을 보증하기 때문에, 그 속은 그 다음에도 동일하다는 것이다.그래서 자코비안 반지의 등급이 매겨진 부분과 함께 원시적 코호몰리학의 이형성을 이용하여 우리는 그것을 본다.
  $${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathb {C}[x,y,z]_{d-3}}$$

  
  이는 차원이
  $${\dplaystyle {2+d-3 \2}={d-1 선택 \2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}:$$

  
  소원대로
• 완전한 교차로에 대한 호지 숫자도 쉽게 계산할 수 있다: 프리드리히 히르제브루치가 발견한 조합 공식도 있다.^[8]

적용들

Hodge 구조와 혼합 Hodge 구조의 개념에 기초한 기계는 알렉산더 그로텐디크가 구상한 동기에 대한 여전히 크게 추측되는 이론의 한 부분을 형성하고 있다.i-adic cohomology에 작용하는 프로베니우스 원소의 고유값에 의해 인코딩된 비정규수 대수적 다양성 X에 대한 산술 정보는 복잡한 대수적 다양성으로 간주되는 X에서 발생하는 호지 구조와 공통점이 있다.세르게이 겔프랜드와 유리 마닌은 1988년경 그들의 호몰로지 대수학 방법에서 갈루아 대칭이 다른 호몰로지 집단에 작용하는 것과 달리 "호지 대칭"의 기원은 매우 신비롭지만, 형식적으로는 상당히 복잡하지 않은 $집단{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbf{}}_{}}$ C${\displaystyle {/}^{}{R\mathbf{}}_{}}$ $C$의 작용을 통해 표현된다고 말했다$.$$$드 람 코호몰로지(De Rham cohomology)에$$ 관한 $R_{\mathbf {C}{}{*}}{\mathbf {C}{}^{*}}}}}}}.$이후 거울 대칭의 발견과 수학적 제형으로 수수께끼는 더욱 깊어졌다.

호지 구조물의 변동

호지 구조(Griffiths (1968년), 그리피스 (1968a년), 그리피스 (1970년)의 변형은 복합 다지관 X에 의해 매개변수화된 호지 구조물의 계열이다.보다 정확히 말하면 복잡한 다지관 X의 중량 n의 Hodge 구조의 변화는 X에서 미세하게 생성된 아벨리아 그룹의 국소 상수 S로 구성되며, S ⊗ O에서_X Hodge 여과 F의 감소와 함께 다음과 같은 두 가지 조건에 따른다.

• 이 여과로 인해 피복 S의 각 줄기에 무게 n의 호지 구조가 유도된다.
• (그리피스 횡단도)S ⊗ O_X 맵의 ${\displaystyle {자연}^{}}$ 연결$$F n {\$displaystyle$F^{n$$$}$에 F ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$⊗ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ X${\displaystyle {}_{}^{}}$1.$${\$displaystyle F$^{$n-1}\otimes \Oomega_{X}^{1}^{$$1$}.$}$

여기서 S의 평면 연결과 O의_X 평면 연결에 의해 유도된 S ⊗ O의_X 자연적(평평평한) 연결, O는 X의_X 홀로모픽 함수의 층이며, $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$디스플레이 $스타일 \Oomega _{X}^{1}$는 X의 1-폼의 층이다$$.이 자연적인 평면 연결은 가우스-마닌 연결부 ∇이며 피카르-로 설명할 수 있다.푸치 방정식.

혼합 Hodge 구조의 변화는 S에 정지 또는 여과 W를 추가함으로써 유사한 방법으로 정의될 수 있다.대표적인 예는 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $형태론{\displaystyle }$f : C${\displaystyle {}^{}n\mathbb{}}$ → C$${\$displaystyle f:\mathb {C}$^{$n}\to \mathb {C}$에서 찾을 수 있다$.$ 예를 들어,

${\displaystyle {\begin}f:\mathb {C}^{2}\to \mathb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\case}}}}$

섬유질이 있다

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\}})=\왼쪽\{(x,y)\in \mathb {C}^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}}}}}}$

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\neq 0}$에 대한 속 10의 평탄한 평면 $곡선$이며 t = $.$ {\$displaystyle$ t$=0$}에서 단수 곡선으로 변한다$.$${}$ 그렇다면$$, 코호몰로지 껍질

${\displaystyle \mathb {R}f_{*}^{i}\좌측({\underline {\mathb {Q}}}}}}}{\mathb {C}^{2}}\우측)}$

잡동사니를 만들다

호지 모듈

Hodge 모듈은 복합 다지관의 Hodge 구조물의 변동을 일반화한 것이다.그것들은 비공식적으로 다지관의 호지 구조물의 덩어리 같은 것으로 생각할 수 있다; 정확한 정의 사이토(1989)는 다소 기술적이고 복잡하다.Hodge 모듈 혼합과 특이점이 있는 다지관에 대한 일반화가 있다.

각각의 매끄러운 복잡한 다양성에 대해, 그것과 연관된 혼합된 Hodge 모듈의 아벨계 범주가 있다.이것들은 다지관 위에 있는 피복의 범주처럼 공식적으로 동작한다. 예를 들어, 피복 사이의 형태 f는 피복사_∗ f, f*, f_!, f를^! 피복사(파생 범주)와 유사한 혼합된 호지 모듈 사이에 유도한다.

참고 항목

• 혼합 호지 구조
• 호지 추측
• 자코비즘적 이상
• Hodge-Tate 구조, Hodge 구조물의 p-adic 아날로그.
• 로그 형식

메모들

소개 참조 자료

• Debarre, Olivier, Periods and Moduli
• Arapura, Donu, Complex Algebraic Varieties and their Cohomology (PDF), pp. 120–123, archived from the original (PDF) on 2020-01-04 (슬라이프 코호몰리지를 사용하여 호지수를 계산하는 도구)
• 혼성 호지 이론의 순진한 지침서
• Dimca, Alexandru (1992). Singularities and Topology of Hypersurfaces. Universitext. New York: Springer-Verlag. pp. 240, 261. doi:10.1007/978-1-4612-4404-2. ISBN 0-387-97709-0. MR 1194180. (Gives a formula and generators for mixed Hodge numbers of affine Milnor fiber of a weighted homogenous polynomial, and also a formula for complements of weighted homogeneous polynomials in a weighted projective space.)

조사기사

• Arapura, Donu, Mixed Hodge Structures Associated to Geometric Variations (PDF)

참조

• Deligne, Pierre (1971b), Travaux de Griffiths, Sem. Bourbaki Exp. 376, Lect. notes in math. Vol 180, pp. 213–235
• Deligne, Pierre (1971), "Théorie de Hodge. I" (PDF), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, pp. 425–430, MR 0441965, archived from the original (PDF) on 2015-04-02 이것은 복합 품종의 코호몰로지 위에 혼합된 호지 구조를 구성한다.
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• 이 글의 주석본은 J. Milne의 홈페이지에서 찾을 수 있다Deligne, Pierre; Milne, James (1982), "Tannakian categories", Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties by Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih, Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer-Verlag, pp. 1–414.
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