폰 노이만 안정성 분석

수치 해석에서 폰 노이만 안정성 분석(Fourier 안정성 분석이라고도 함)은 선형 부분 미분 방정식에 적용되는 유한 차이 구도의 안정성을 확인하는 데 사용되는 절차다.^[1] 이 분석은 수치오차의 푸리에 분해에 기반한 것으로, 1947년 영국의 연구자 크랭크와 니콜슨이 작성한 기사에서 간략하게 설명한 후 로스 알라모스 국립 연구소에서 개발되었다.^[2] 이 방법은 지배 방정식을 정의하는 기능이 현재 시간에 평가되는 명시적 시간 통합의 예다. 이후 이 방법은 존 폰 노이만이 공동 저술한 기사에서^[3] 더욱 엄격한 대우를 받았다.

수치안정성

수치 체계의 안정성은 수치 오류와 밀접한 관련이 있다. 계산의 한 번에 이루어진 오류로 인해 계산이 계속되면서 오류가 확대되지 않는다면 유한한 차이 체계도 안정적이다. 중립적으로 안정된 계획은 계산이 진행될 때 오류가 일정하게 유지되는 것이다. 오류가 부패해 결국 수그러들면 수치적 구도는 안정적이라고 한다. 반대로 시간이 지날수록 오류가 커지면 수치 체계가 불안정하다고 한다. 수치 체계의 안정성은 폰 노이만 안정성 분석을 수행하여 조사할 수 있다. 시간에 의존하는 문제의 경우, 정확한 미분방정식의 해법이 경계될 때마다 수치방식이 경계해결된 해법이 생성된다는 것을 안정성은 보장한다. 일반적으로 안정성은 특히 고려 중인 방정식이 비선형일 때 조사하기 어려울 수 있다.

특정한 경우에, 폰 노이만 안정성은 Lax-Richtmyer(Lax-Richtmyer)의 의미에서의 안정성에 필요하며 충분하다(Lax 동등성 정리에 사용됨). PDE와 유한 차이 체계 모델은 선형이며, PDE는 주기적인 경계 조건과 함께 일정하게 설계되고 두 개의 독립 변수만 있으며, 이 체계에서는 두 가지 시간 수준을 초과하지 않는다.^[4] 폰 노이만의 안정성은 훨씬 더 다양한 경우에 필요하다. 비교적 단순하기 때문에 계획서에 사용된 단계 크기에 대한 제한사항(있는 경우)을 잘 추측하기 위해 종종 보다 상세한 안정성 분석 대신에 사용된다.

방법의 예

폰 노이만 방법은 오류를 푸리에 시리즈로 분해하는 것에 기초한다. 절차를 설명하려면 1차원 열 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\fract t}}{\fract t}=\property {\fract ^{2}u}{\propert x^{2}}:$

다음과^[5] 같이 $확인$할 수$$있는 공간 $간격$ L {\displaystyle $L}$에 정의됨$.$

${\displaystyle \j-1}^{n+1}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{j-1}{n}^{j-1}\rig)}$

어디에

${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\왼쪽(\Delta x\오른쪽)^{2}}:$

그리고 이산 방정식의$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\$은(는) 그리드에 있는 PDE의 분석$$ 솔루션 $u{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, t $){\displaysty u(x,t)}$에 가깝다.

반올림 오류 $ϵ{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 다음과$$ 같이 정의하십시오.

${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 반올림 오류가 없을 때 계산되는 탈증식 방정식 (1)의 해법이며$$, $N{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 유한 정밀 산술에서 얻은 수치 해법이다. 정확한 솔루션 ${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 디스코트 방정식을 정확히 만족시켜야 하므로$$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ j ${\$오류도 디스코트 방정식을 만족시켜야 한다$$.^[6] 여기서 $우리$는 N ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$도 방정식을 만족한다고$$ 가정했다(이는 기계 정밀도에서만 해당된다). 그러므로

${\displaystyle \sween (2)\qquad \epsilon_{j}^{n+1}=\epsilon_{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{j}-2\epsilon _{j-1}^{n}^{n}\n}\n}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}}}}}}}}}}\rig)}}}}$

오류에 대한 재발 관계 입니다. 방정식 (1)과 (2)는 오차와 수치해결 모두 시간에 대해 동일한 성장 또는 붕괴 동작을 갖는다는 것을 보여준다. 주기적인 경계 조건을 갖는 선형 미분방정식의 $경우{\displaystyle }$, 오차 공간적 편차는 다음과 같이$$구간 L {\$displaystyle$ l}에서 x {\$displaystyle x}$에 대해 유한 푸리에 시리즈로 확장될 수 있다$.$

${\displaystyle \quad (3)\qquad \epsilon (x,t)=\sum _{m=-M}^{M}E_{m}(t)^{i}k_{m}x}}}}}$

where the wavenumber ${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$ with ${\displaystyle m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M}$ and ${\displaystyle M=L/\Delta x}$. 오류 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$의 진폭이 시간의$$ 함수라고 가정하여 오류의 시간 의존성을 포함한다. 종종 오차가 시간에 따라 기하급수적으로 증가하거나 감소한다고 가정하지만, 안정성 분석에 반드시 필요한 것은 아니다.

$경계{\displaystyle }$ 조건이 주기적이지 않으면 x ${\displaystyle$ x$}$에 대해 유한 푸리에 적분을 사용할 수 있다$.$

${\displaystyle \quad (4)\qquad \epsilon (x,t)=\int_{k=-{\frac {\pi }{\delta x}}^{\frac {\pi }{\delta x}}{\delta x}}E^{i}kx}dk}dk}}}}}k}}}}}}}}}}dk}.$

오차에 대한 차이 방정식은 선형이기 때문에(시리즈의 각 항의 동작은 시리즈 그 자체와 동일), 일반적인 용어의 오차의 성장을 충분히 고려할 수 있다.

$\displaystyle \cHB(5a)\qquad \epsilon _{m}(x,t)=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}}}}$

Fourier 시리즈가 사용되는 경우

${\displaystyle \cHB(5b)\qquad \epsilon _{k}(x,t)=E_{k}(t)e^{ikx}}}$

푸리에 적분을 사용하는 경우.

푸리에 시리즈는 푸리에 적분의 특수한 경우라고 볼 수 있는 만큼 푸리에 적분의 표현을 사용해 개발을 계속할 예정이다.

안정성 특성은 일반적으로 손실 없이 오류에 대해 이 형식만 사용하여 연구할 수 있다. 오차가 시간 단계에서 어떻게 변하는지 알아보려면 다음 사항을 기록한 후 방정식(5b)을 방정식(2)으로 대체한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$

(간결하게 한 후) 양보하다

${\displaystyle \quad (6)\qquad {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{{}}{E_{m}(t)}=1+r\왼쪽(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\오른쪽).}$

${\displaystyle =}$ = k ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ x ${\displaystyle \in }$[ -${\displaystyle \pi }$, ] ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]}$ 소개 및 ID$$ 사용

${\displaystyle \qquad \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}}$

등식 (6)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \quad (7)\qquad {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{{}}{E_{m}(t)}=1-4r\sin ^{2}(\teta /2)}$

증폭 계수 정의

${\displaystyle \quad (8)\qqquad G\equiv {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{{frac}{{m}(t+\Delta t)}{{{}}}{}}{E_{m}(t)}}}$

오차가 경계를 유지하는 데 필요하고 충분한 조건은 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \le }$ 1${\displaystyle \vert G\vert \leq$ 1.} 그러므로$$ 방정식 (7)과 (8)에서 안정성의 조건은 다음과 같다.

$1-4r\sin ^{2}(\theta /2)\right\vert \leq 1}$

${\displaystyle \mathrm{4r}}$ ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle \theta }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)}$ 용어는 항상 양수라는$$ 점에 유의하십시오. 따라서 방정식(9)을 충족하려면:

${\displaystyle \cHB(10)\qquad 4r\sin ^{2}(\theta /2)\leq 2}$

위의 조건이 모든 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}($${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ 모든 sin ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}(}$ ${\displaystyle {\sin }^{}}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle \sin ^{2}(\theta /2)})$에 대해 유지되도록 하려면. 정현상 항이 취할 수 있는 가장 높은 값은 1이며, 그러한 특정한 선택에 있어 상한 임계 조건이 충족되면 모든 격자점에 대해서도 마찬가지일 것이다. 따라서 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \quad (11)\qquad r={\frac {\alpha \Delta t}{\refta t}{{2}}: 왼쪽(\Delta x\오른쪽)^{2}}:}\leq {\frac {1}{1}:{1}}}$

방정식(11)은 1차원 열 방정식에 적용되는 FTCS 체계에 대한 안정성 요구사항을 제공한다. 주어진 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$에$$대해 허용되는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ 값은 방정식(10)을 만족시킬 만큼 작아야 한다고$$ 명시되어 있다.

이와 비슷한 분석은 FTCS의 선형접근 방식이 무조건 불안정하다는 것을 보여준다.

참조