비선형 부분 미분 방정식
Nonlinear partial differential equation| 미분 방정식 |
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수학 및 물리학에서 비선형 부분 미분 방정식은 비선형 항을 갖는 부분 미분 방정식이다.그것들은 중력에서부터 유동 역학에 이르는 많은 다양한 물리적 시스템을 묘사하고 있으며, 푸앵카레 추측과 칼라비 추측과 같은 문제들을 풀기 위해 수학에서 사용되어 왔다.그것들은 연구하기 어렵다: 그러한 모든 방정식에 효과가 있는 일반적인 기술은 거의 존재하지 않으며, 보통 각각의 방정식은 별도의 문제로서 연구되어야 한다.
선형과 비선형 부분 미분방정식의 구별은 대개 PDE 자체를 정의하는 연산자의 특성에 의해 이루어진다.[1]
비선형 부분 미분 방정식 연구 방법
해결책의 존재와 고유성
모든 PDE에 대한 근본적인 질문은 주어진 경계 조건에 대한 해결책의 존재와 고유성이다.비선형 방정식의 경우 이러한 질문은 일반적으로 매우 어렵다. 예를 들어, 칼라비 추측에 대한 야우의 해법 중 가장 어려운 부분은 몽에-암페어 방정식의 존재 증명이었다.Navier에 대한 해결책의 개방적인 존재(및 부드러움) 문제-스톡스 방정식은 수학의 7대 밀레니엄상 문제 중 하나이다.
특이점
특이점에 대한 기본적인 질문들(해결책의 형성, 전파 및 제거, 그리고 해결책의 규칙성)은 선형 PDE와 동일하지만, 평상시처럼 공부하기가 훨씬 더 어렵다.선형적인 경우 분포 공간만 사용할 수 있지만 비선형 PDE는 대개 임의 분포에서 정의되지 않기 때문에 소볼레브 공간과 같은 정밀한 방법으로 분포 공간을 대체한다.
특이점 형성의 예는 Ricci 흐름에 의해 제시된다: Richard S. 해밀턴은 짧은 시간 해결책이 존재하지만, 보통 유한한 시간이 지나면 특이점이 형성된다는 것을 보여주었다.그리고리 페렐만의 푸앵카레 추측 해법은 이러한 특이점들에 대한 깊은 연구에 달려 있는데, 여기서 그는 특이점들을 지나쳐 해결책을 계속하는 방법을 보여주었다.
선형근사
알려진 솔루션 주변의 솔루션은 때때로 솔루션 주위의 PDE를 선형화하여 연구할 수 있다.이것은 모든 해결책의 모듈리 공간의 점의 접선 공간을 연구하는 것과 일치한다.
모둘리 용액 공간
이상적으로는 모든 해결책의 (moduli) 공간을 명시적으로 기술하고 싶으며, 일부 매우 특수한 PDE의 경우 이것이 가능하다.(일반적으로 이것은 절망적인 문제로서, Navier의 모든 해결책에 대한 유용한 설명이 있을 것 같지 않다.–예를 들어, 가능한 모든 유체 운동을 설명하는 것을 포함할 수 있으므로 등식을 강조하십시오.)방정식이 대칭군이 매우 큰 경우, 보통은 대칭군 모듈리 용액의 모듈리 공간에만 관심이 있으며, 이것은 때로는 유한 차원 콤팩트 다지관으로서, 어쩌면 특이점이 있을 수 있다. 예를 들어, 세이베르크-위튼 방정식의 경우 이러한 현상이 일어난다.좀 더 복잡한 경우는 모듈리 공간이 유한한 차원이지만, 명시적으로 압축될 수 있는 경우가 많지만 반드시 압축되지는 않을 때 자체 이중 양-밀스 방정식이다.어떤 사람이 때때로 모든 해결책을 설명하기를 바랄 수 있는 또 다른 경우는 완전히 통합 가능한 모델의 경우인데, 해결책이 때때로 해결책의 중첩의 일종인 경우다; 이것은 예를 들어 Korteweg-de Vries 방정식의 경우에 발생한다.
정확한 솔루션
일부 특별한 해결책의 경우, 기본적인 기능의 측면에서 명시적으로 적는 것이 가능한 경우가 많다(이런 식으로 모든 해결책을 설명하는 것은 거의 불가능하다).그러한 명시적인 해결책을 찾는 한 가지 방법은 방정식을 종종 정확하게 해결될 수 있는 낮은 차원, 더 선호되는 일반적인 미분 방정식으로 줄이는 것이다.이것은 때때로 변수의 분리를 사용하거나 고도로 대칭적인 해결책을 찾음으로써 이루어질 수 있다.
어떤 방정식들은 몇 가지 다른 정확한 해답을 가지고 있다.
수치해결
컴퓨터의 수치 솔루션은 거의 유일한 방법으로 PDE의 임의 시스템에 대한 정보를 얻을 수 있다.그동안 많은 작업이 이루어졌지만, 특히 나비에의 경우 특정 시스템을 숫자적으로 해결하는 작업이 여전히 많이 남아 있다.–기상 예측과 관련된 스톡스 및 기타 방정식
락스 페어
PDE 시스템을 Lax pair form에 넣을 수 있는 경우
그리고 그것은 보통 무한히 많은 첫 번째 통합들을 가지고 있고, 그것은 그것을 연구하는데 도움을 준다.
오일러-라그랑주 방정식
PDE 시스템은 종종 가변 문제에 대한 오일러-라그랑주 방정식으로 발생한다.이러한 형태의 시스템은 때때로 원래의 변이 문제의 극단을 발견함으로써 해결될 수 있다.
해밀턴 방정식
통합형 시스템
통합형 시스템에서 발생하는 PDE는 종종 가장 연구하기 쉬우며, 때로는 완전히 해결될 수도 있다.잘 알려진 예는 코르테베그-데 브리스 방정식이다.
대칭
일부 PDE 시스템은 대칭 그룹이 크다.예를 들어, 양-밀스 방정식은 무한 차원 게이지 그룹에서 불변하며, 많은 방정식 시스템(아인슈타인장 방정식 등)은 기저 다지관의 차이점형에서 불변한다.그러한 대칭 그룹은 대개 방정식을 연구하는 데 도움을 주기 위해 사용될 수 있다; 특히 한 해법이 알려져 있다면, 대칭 그룹과 함께 행동함으로써 사소한 것으로 더 많은 것을 창출할 수 있다.
때때로 방정식은 포물선이나 쌍곡선 "일부 집단의 작용"이다. 예를 들어, 리치 흐름 방정식은 포물선 방정식이 아니라 "포물선 방정식의 좋은 성질을 대부분 가지고 있다는 것을 암시하는 "포물선형 집단 작용"이다.
방정식 목록
비선형 부분 미분 방정식의 광범위한 목록을 참조하십시오.
참고 항목
참조
- ^ Logan, J. David (1994). An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations. New York: John Wiley & Sons. pp. 8–11. ISBN 0-471-59916-6.
- Calogero, Francesco; Degasperis, Antonio (1982), Spectral transform and solitons. Vol. I. Tools to solve and investigate nonlinear evolution equations, Studies in Mathematics and its Applications, vol. 13, Amsterdam-New York: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86368-0, MR 0680040
- Pokhozhaev, S.I. (2001) [1994], "Non-linear partial differential equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2004), Handbook of nonlinear partial differential equations, Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, pp. xx+814, ISBN 1-58488-355-3, MR 2042347
- Roubíček, T. (2013), Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, International Series of Numerical Mathematics, vol. 153 (2nd ed.), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, doi:10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, MR 3014456
- Scott, Alwyn, ed. (2004), Encyclopedia of Nonlinear Science, Routledge, ISBN 978-1-57958-385-9. 에라타는 다음을 참조하십시오.
- Zwillinger, Daniel (1998), Handbook of differential equations (3rd ed.), Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 978-0-12-784396-4, MR 0977062
