유권자 모델

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2012년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

확률의 수학적 이론에서 유권자 모델은 리차드 A가 도입한 상호작용 입자 시스템이다. 홀리와 토마스 M. 리겟은 1975년에 결혼했다.^[1]

연결된 그래프의 각 지점에 '보터(voter)'가 있다고 상상할 수 있는데, 그 연결은 한 쌍의 유권자(node) 사이에 어떤 형태의 상호작용이 있음을 나타낸다. 어떤 이슈에 대한 유권자의 의견은 그의 이웃의 의견의 영향을 받아 임의로 변경된다. 유권자의 의견은 언제든지 0과 1이라는 두 가지 가치 중 하나를 취할 수 있다. 임의로 임의로 개인을 선정하고 그 유권자의 의견은 확률적 규칙에 따라 바뀐다. 구체적으로, 선택된 유권자의 이웃 중 한 명은 주어진 확률의 집합에 따라 선택되며^{[clarification needed]}, 그 개인의 의견은 선택된 유권자에게 전달된다.

대안적 해석은 공간적 갈등의 관점이다. 두 국가가 0 또는 1로 표시된 영역(노드 집합)을 통제한다고 가정해 보십시오. 주어진 위치에서 0에서 1로 뒤집는 것은 다른 국가에 의한 해당 사이트 침투를 의미한다.

매번 플립이 하나만 발생한다는 점에 유의하십시오. 유권자 모델과 관련된 문제들은 종종 마르코프 체인을 통합하는^{[clarification needed]} 이중 시스템^{[clarification needed]} 측면에서 다시 제기될 것이다. 종종, 이러한 문제들은 독립된 마르코프 체인과 관련된 다른 문제들로 줄어들 것이다.

정의

A voter model is a (continuous time) Markov process ${\displaystyle \eta _{t}}$ with state space ${\displaystyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$ and transition rates function ${\displaystyle c(x,\eta )}$, where ${\displaystyle Z^{d}}$ is a d-dimensional integer lattice, and ${\displaystyle c(}$${\displaystyle c(}$ $$•,• ) {\$displaystyle )}$은(는) S {\$displaystyle S}$의 제품 토폴로지에서 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\eta \in S}$의 함수로 음이 아닌 균일한 경계가 있으며 연속적인 것으로 가정되며$,$ 각 구성 요소 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\\\\\displaystytemption$}을 구성이라고 한다$$. To make it clear that ${\displaystyle \eta (x)}$ stands for the value of a site x in configuration ${\displaystyle \eta (.)}$; while ${\displaystyle \eta _{t}(x)}$ means the value of a site x in configuration ${\displaystyle \eta (.)}$ at time ${\displaystyle t}$.

프로세스의 동력은 전환율의 수집에 의해 지정된다. 유권자 모델의 경우$,$ $0$에서 1까지 또는 그 $반대$로 x {\displaystyle $\scriptstyle$ x$}$에 플립이 있는 비율은 사이트 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 $(x,\eta )$에 의해 주어진다$.$ 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

1. ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{c}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \eta }$)${\displaystyle }$= 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\$에 대해$$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c(x,\eta )=0}$${\displaystyle }$} $0{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv 0}$ 또는$$$$ $\eta {\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle \eta$\eta \$eiv$ 1$}.$
2. ${\displaystyle c(x,\eta )=c(x,\zeta )}$ for every ${\displaystyle x\in Z^{d}}$ if ${\displaystyle \eta (y)+\zeta (y)=1}$ for all ${\displaystyle y\in Z^{d}}$
3. ${\displaystyle c}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle }$$η$ )${\displaystyle \le }$ c${\displaystyle }$( x ,${\displaystyle \zeta }$) ${\$$displaystyle$ $c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$ 만약$$$$ $\eta {\displaystyle }$ η ${\displaystyle \zeta }$ {\$displaysty$ $\eta$ \$req \$$zeta$$},$$η$ $0$ = 0$.$
4. ${\displaystyle c}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \eta }$) ${\displaystyle c(x,\eta )}$은(는) $Z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ Z$^{d}}$의 이동 시 불변함

속성(1)은${\displaystyle \mathrm{\eta }}$ 0 ${\displaystyle \eta \equiv 0}$과 $\eta {\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \eta \equiv 1}$이 진화의 고정점이라고$$ 말하고 있다. (2)는 0과 1의 역할을 서로 바꾸어 진화가 변하지 않음을 나타낸다. In property (3), ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ means ${\displaystyle \forall x,\eta (x)\leq \zeta (x)}$, and ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ implies ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$ if ${\displaystyle \eta (x)=\zeta$$(x)=0}$, $그리고{\displaystyle }$ c${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle \eta }$)를 의미하며, 만약 $\eta {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,$η$) = ζ ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=$$${\displaystyle \zeta }$ (${\displaystyle x}$ ) = ζ ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \eta ($$x$$)=\zeta=1$}인 경우$.$

군집화와 공존

관심사는 모델의 제한적 행동이다. 사이트의 플립 레이트는 이웃에 따라 다르기 때문에, 모든 사이트가 동일한 가치를 가질 때 전체 시스템이 영원히 변경되지 않는 것은 명백하다. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ 유권자 모델은 두 가지 사소한$극단적$ 고정 분포인 ${\displaystyle \mathrm{점-매스}}$$$$\Delta {\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ \$delta_{0$$}$와${\displaystyle }$$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$$\delta$$$$\delta_{$$1$}를 각각 $가지고$ 있다.합의점을 나타내는 리 논의될 주요 의제는 다른 의견이 균형 있게 공존하는 것을 나타내는 다른 의견이 있는지 여부다. 0과 1이 무한히 많은 구성에 집중하는 고정된 분포가 있으면 공존이 일어난다고 한다. 한편, 모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 및$$ 모든 초기 구성의 경우,

${\displaystyle \lim _{t\오른쪽 화살표 \infit }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)=0}$

군집화가 일어난다고 한다.

클러스터링의 개념으로 클러스터링을 구분하는 것이 중요하다. 클러스터는${\displaystyle }${${\displaystyle x}$ :${\displaystyle \eta (x}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ 또는$$${\displaystyle }${${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \eta (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$의 연결된 구성 요소로 정의된다$.$

선형 유권자 모델

모델 설명

이 섹션은 기본 유권자 모델 중 하나인 선형 유권자 모델에 대해 설명된다.

$p{\displaystyle }$( ${\$ p$(}$ ••$$${\displaystyle }$) ${\$ $\scriptstyle Z^{d}})$가 $Z$ d ${\$}에서 복구할 수 없는 무작위 보행의 전환 확률인 경우, 다음이$$될 수 있다.

${\displaystyle p(x,y)\geq 0\datable {\text{and}\sum _{y}p(x,y)=1}$

그런 다음 선형 유권자 모델에서 $전환율$은 {$${\$displaystyle \scriptstyle \eta}$의 선형 함수임$:$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\sum _{y}p(x,y)\eta (y)\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=0\\\sum _{y}p(x,y)(1-\eta (y))\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=1\\\end{array}}\right.}$

또는 $\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$$displaystyle$$$\$scriptstyle \$$eta_$${x$$}$에서 플립이 발생함을 나타내는$$ 경우$,$ 전환 속도는 다음과 같다.

${\displaystyle \eta \rightarrow \eta _{x}\text{at rate}\sum _{y:\eta(y)\neq \eta(x)}p(x,y)}p(x,y).}$

랜덤워크를 병합하는 프로세스 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ Z$^{d}}}$는 다음과 같이 정의된다$$. 여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 시간$$ $t{\displaystyle }$ ${\$에 의해 점유된 사이트 집합을 나타내며, A ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ $A_$${t}}$를 정의하려면 단위 ${\displaystyle {지수}^{}}$를 사용하여$$ $여러{\displaystyle {}^{}}$ (연속 $시간$) 랜덤워크를 고려하십시오$.$진입 보류 시간 및 전환 확률 p${\displaystyle }$( ${\$ ••$$${\displaystyle }$) ${\$ $)\},$ 그리고 두 사람이 만날 때까지 독립적으로 유지한다. 그 때 만나는 두 사람은 하나의 입자로 합쳐지는데, 이 입자는 전환 확률 p${\displaystyle }$( ${\$ \$scriptstyle$ p$(}$ ••$$${\displaystyle }$) ${\$\script $style )}$을 가진 무작위 걷기처럼 계속 움직인다.$$

이중성의 개념은 유권자 모델의 행동을 분석하는 데 필수적이다. 선형 유권자 모델은 병합 이중성이라고 알려진 매우 유용한 형태의 이중성을 만족시킨다.

${\displaystyle P^{\eta }(\eta _{t}\equiv 1\quad{\text{}A}=P^{A}(\eta(A_{t})\equiv 1),}$

where ${\displaystyle \scriptstyle \eta \in \{0,1\}^{Z^{d}}}$ is the initial configuration of ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$ and ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x\in Z^{d},\eta (x)=1\}\subset Z^{d}}$ is the initial state of the coalescing 랜덤 워크 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$

선형 유권자 모델의 행동 제한

Let ${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)}$ be the transition probabilities for an irreducible random walk on ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ and ${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)=p(0,x-y)}$, then the duality relation for such linear voter models says that ${\displaystyle \mathrm{\forall }\eta \in S=}$${\$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta(X_{t})\neq \eta(Y_{t})]}$

where ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ and ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ are (continuous time) random walks on ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ with ${\displaystyle \scriptstyle X_{0}=x}$, ${\displaystyle \scriptstyle Y_{0}=y}$, and ${\displaystyle \eta (X_t}$${\displaystyle \scriptstyle \eta (X_{t})}$ is the position taken by the random walk at time ${\displaystyle \scriptstyle t}$. ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ and ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ forms a coalescing random walks described at the end of section 2.1. ${\displaystyle X(t)-Y(t)}$$\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$는 대칭 랜덤 워크다. ${\displaystyle X}$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$- Y${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\$ $\$$scriptstyle X(t)-Y(t)}$이(가) 반복되고$$ $\$ ${\displaystyle 2}$ {\$displaystyle$ \$scriptstyle d\leq$ $2{\displaystyle {}_{}}$$\},$$$X ${\displaystyle t_{}}$ {\$displaystyle X_{t}$ 및 Y$$ $t {\$가 결국 확률 1과 함께 적중하게 된다$$.

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta(X_{t})\neq \eta(Y_{t})]\leq P[X_{t}\neq Y_{t}]\오른쪽 화살표 0\quad {\\text{as}\quad t\to 0}$

따라서 공정은 군집화된다.

반면에 d ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle d\geq$ 3$}$이(가) 되면 시스템이 공존한다$.$ $왜냐하면{\displaystyle }$ d ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\$ 3$\},$ ${\displaystyle X}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$(${\displaystyle }$) ${\$(t$)}$은 과도하므로$$ 랜덤워크가 결코 부딪히지 않을 가능성이 있으며, $따라서{\displaystyle }$ x $≠$ ${\displaystyle y}$ ${\$x$\criptylease$ x\criptylease x\cription stylease x\nq $y}$

${\displaystyle \lim _{t\오른쪽 화살표 \infit }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=C\lim _{t\오른쪽 화살표 \}P[X_{t}\neq Y_{t}]>0}$

초기 분포에 해당하는$$ 일부 상수 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 경우

$X{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$( t${\displaystyle }$) ${\$이(가) 대칭 랜덤 워크인 경우$$ 다음과 같은 이론이 있다.

정리 2.1

선형 유권자 모델 model ${\$$displaystyle$ $\scriptstyle \eta_{t}$이(가) X${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ t {\$displaystyle {\$tilde{X$$$}_{t}}$이(가) 반복되는 경우$$ 선형 유권자 모델 $\eta {\displaystyle {}_{}}$${\$}}이 일시적이라면$$ 공존한다. 특히.

1. the process clusters if ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ and ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x} x p(0,x)\leq \infty }$, or if ${\displaystyle \scriptstyle d=2}$ and ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x} x ^{2}p(0,x)\leq \infty$$}$;
2. $만약{\displaystyle }$ d ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\$이면 과정은 공존한다$.$

설명: 이를 다음 섹션에서 논의될 임계 유권자 모델의 행동과 대조하기 위해 선형 유권자 모델 클러스터 또는 코엑스 여부는 상호작용 범위의 크기가 아니라 사이트 집합의 차원에 거의 전적으로 의존한다는 점에 유의하십시오.

정리 2.2 $\mu {\displaystyle }$ ${\$이(가) $상태{\displaystyle }$ 공간 S${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{Z^{}}}$ d ${\$1\}^{$Z^{$d$\}\}\}\}\}$에 대한 공간적으로 에르고 불변 확률 측정치라고 가정해 보십시오.

1. If ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ is recurrent, then ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$;
2. $X{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가) 과도하면$$ $){\$ $\}\}\}\}\}.$

where ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)}$ is the distribution of ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$; ${\displaystyle \scriptstyle \Rightarrow }$ means weak convergence, ${\displaystyle \scriptstyle \mu _{\rho }}$ is a nontrivial extremal invariant measure and ${\displaystyle \rho =\mu (\{\eta :\eta }$${\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$) ${\$.

특별 선형 유권자 모델

기본 선형 유권자 모델로 알려진 선형 유권자 모델의 흥미로운 특별한 경우 중 하나는 상태 공간${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {d^{}}^{}}$ ${\$d}{\$displaystyle \scriptstyle \{0,1\}^{Z^{d$ :

${\displaystyle p(x,y)={\case}1/2d&{\text{{\text}{{\text}}}}}}x-y =1\{\text{next}}}}}}*\neq \eta(x)\[8pt]0&{\text}\end{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

하도록

${\displaystyle \eta \{t}(x)\to 1-\eta _{t}(x)\{text}(x)\text{text{x}\at rate}\com{-1} \{y: y-x = 1,\ta \neta _{t}(x)\}}}}}}}}}}$

이 경우 d${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle 2}$ ${\$$displaystyle$ $\$$scriptstyle d\leq 2$이(가) 공정 클러스터인 반면, $d{\displaystyle }$${\displaystyle 3}$ 3$${\$displaystyle d\geq 3}$이(가) 공존하는 경우$.$ $이러한{\displaystyle }$ 이분법은${\displaystyle }$${\displaystyle d^{}}$ 2$${\$displaystyle$$Z^{$$d}$에 $대한$ 단순 랜덤워크가 반복되는 것과 밀접한 관련이 있다.$leq{\displaystyle }$ $2}$ 및$$ d and${\displaystyle 3}$ ${\$인 경우 과도함$.$

한 차원 d = 1인 군집

For the special case with ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$, ${\displaystyle \scriptstyle S=Z^{1}}$ and ${\displaystyle \scriptstyle p(x,x+1)=p(x,x-1)={\frac {1}{2}}}$ for each ${\displaystyle \scriptstyle x}$. From Theorem 2.2, ${\displaystyle \mu S(t)\Rightarrow \rho {\delta }_1}$${\displaystyle {}_{}+}$ (${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$)\$delta _{0$ 따라서 이 경우 클러스터링이 발생한다. 이 절의 목적은 이 군집화에 대한 보다 정확한 설명을 제공하는 것이다.

$앞$에서 언급한 바와 같이${$ {\$displaystyle \scriptstyle \eta$ }의 클러스터는 {${\displaystyle x}$ :${\displaystyle }$x${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ 또는$$${\displaystyle }${${\displaystyle x}$ ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ $} {\$의 연결된 구성 요소로 정의된다$.$ $\eta {\displaystyle }$ ${\$의 평균 클러스터 크기는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle C(\eta )=\lim _{n\rightarrow \inflt }{\frac {2n}{{\text}{{n,n]}}}}}$

한도가 존재한다면.

제안 2.3

초기 분포 $[\displaystyle$ \$scriptstyle \mu$ }과$($와$$) $[\$\scriptstyle $\mu }$이(가) 변환 불변 확률 측정값이라고$$ 가정해 보십시오.

${\displaystyle P\왼쪽(C(\eta )={\frac {1}{P[\eta _{t}(0)\neq \eta _{t}(1)]}}}\오른쪽)=1.}$

직업시간

기본 선형 유권자 모델의 직업 시간 함수를 다음과 같이 정의하십시오.

${\displaystyle T_{t}^{x}=\int _{0}^{t}\eta _{s}^{\rho }(x)\mathrm {d}s.}$

정리 2.4

Assume that for all site x and time t, ${\displaystyle \scriptstyle P(\eta _{t}(x)=1)=\rho }$, then as ${\displaystyle \scriptstyle t\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle \scriptstyle T_{t}^{x}/t\rightarrow \rho }$ almost surely if ${\displaystyle \scripts$$tyle d\geq 2}$

증빙의

체비셰프의 불평등과 보렐-칸텔리 보조정리법에 의해 다음과 같은 방정식이 있다.

${\displaystyle P\left({\frac {\rho }{r}}\leq \lim \inf _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \lim \sup _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \rho r\right)=1;\quad \forall r>1}$

${\displaystyle \searrow }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$을(를) 허용하면 정리가 뒤따른다$.$

임계값 유권자 모델

모델 설명

이 섹션에서는 임계 투표 모델이라고 알려진 일종의 비선형 유권자 모델에 초점을 맞춘다. To define it, let ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ be a neighbourhood of ${\displaystyle \scriptstyle 0\in Z^{d}}$ that is obtained by intersecting ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ with any compact, convex, symmetric set in ${\displaystyle \scriptstyle R^{d}}$; in o$단어{\displaystyle \mathcal{}}$, N$${\$displaystyle \scriptstyle${\$mathcal{N}}$은(는) 모든 반사에 대해 대칭적이고(즉, 생성되는 그룹은 $Z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\$d}\$displaystyle \scriptstyle$Z^{$d})$인 유한 집합으로 가정한다$$.$$ It can always be assumed that ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ contains all the unit vectors ${\displaystyle \scriptstyle (1,0,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)}$. For a positive integer ${\displaystyle \scriptstyle T}$, the threshold voter model with neighb$N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및 임계값$$ $T{\displaystyle }$ ${\$은(는) 속도 함수를 가진 기능:

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if}}\quad \{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)\neq \eta (x)\} \geq T\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

간단히 말해, $동일$한 값을 사용하지$$않는 사이트 수가 임계값 $T$보다 크거나 같으면 사이트 x {\displaystyle $\scriptstyle x}$의 전환율은 1이다$$. 그렇지 않으면 사이트 $x{\displaystyle }$ ${\$이(가) 현재 상태로 유지되고$$ 뒤집히지 않는다.

For example, if ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$ and ${\displaystyle \scriptstyle T=2}$, then the configuration ${\displaystyle \scriptstyle \dots 1\quad 1\quad 0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 0\quad$$0\cHB }$은(는) 흡수 상태 또는 공정에 대한 함정이다.

임계값 유권자 모델의 제한 행동

임계 투표자 모델이 고정되지 않으면 프로세스는 작은 임계값과 큰 임계값에 대한 클러스터 간에 공존할 것으로 예상해야 하며, 여기서 크고 작은 것은 인접 영역의 크기에 비례하는 것으로 해석된다. ${\displaystyle N\mathcal{}}${\$displaystyle \scriptstyle${\$mathcal{N}.$ 직관은 작은 세레솔을 갖는 것이다$.$d는 플립이 발생하기 쉽기 때문에 0과 1 둘 다 항상 주변에 많을 가능성이 있다. 다음은 세 가지 주요 결과물이다.

1. > - 1 ${\${ ${\mathcal{{N}~1}{$2 각 부위가 미세하게만 뒤집힌다는 의미에서 프로세스가 고정된다.
2. $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\$ $및$ T${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{N\mathcal{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$N$} -1}{2$이면 프로세스 클러스터.
3. 만일 Tθ N{\displaystyle\scriptstyle T=\theta{{N\mathcal}게 국가 주의적 관점에서 서술}}θ{\scriptstyle \theta\displaystyle}은 N{\displaystyle \scriptstyle{{\mathcal N}}small(θ<14{\displaystyle\scriptstyle \theta<>{\frac{1}{4}}})과}충분히 큰, 그 다음은 쌀 가격이.coess시스트

다음은 성질 (1)과 (2)에 해당하는 두 가지 이론이다.

정리 3.1

> - 1 ${\${ ${\mathcal {N} -1}{2$이면 공정이 고정된다.

정리 3.2

$N{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$- ${\displaystyle T}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle T\}}$ , $1$ 1$${\$displaystyle d=1$}인 1차원 임계값 유권자 모델$($${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}${\displaystyle $\scripty$} ${\mathcal{N}=\{-T},\dots, T\geq 1$ 클러스터.

증빙의

${\displaystyle \mathrm{이}}$ 증명의 개념은 $다음$과 같은 속성으로$$ ${\displaystyle {Un}_{}}$${\displaystyle }$${\$ V ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 두 시퀀스를 무작위로 구성하는 것이다.

1. = < < < U >… ${\$2}<{$2}\dots$
2. ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{k+1}-V_{k},k\geq 0\}}$ are i.i.d.with ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (U_{k+1}-V_{k})<\infty }$,
3. ${\displaystyle \scriptstyle \{V_{k}-U_{k},k\geq 1\}}$ are i.i.d.with ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (V_{k}-U_{k})=\infty }$,
4. (b)와 (c)의 랜덤 변수는 서로 독립적이다.
5. event A=${\displaystyle \scriptstyle \{\eta _{t}(.)}$ is constant on ${\displaystyle \scriptstyle \{-T,\dots ,T\}\}}$, and event A holds for every ${\displaystyle \scriptstyle t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}]}$.

일단 이 공사가 이루어지면, 그것은 다음과 같은 갱신 이론에서 따르게 될 것이다.

${\displaystyle P(A)\geq P(t\in \cup \cup _{k=1}^{\infit }[U_{k},V_{k}])\1쿼드 {\text{as}\quad t\t\infit }}$

따라서 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$∞ ${\displaystyle p_{}}$(${\displaystyle {}_{}1}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\eta }}$ t${\displaystyle {}_{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$}(1)\neq $\eta _{t$}(0)=$0$

비고: (a) $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{N\mathcal{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ {$N} -1}{2}}:$d = $2{\displaystyle }$,${\displaystyle }$T =${\displaystyle 2}$ ${\$$2$,$T=2}$ and ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$. If ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ is constant on alternating vertical infinite strips, that is for all ${\displaystyle \scriptstyle i,j}$:

${\displaystyle \eta (4i,j)=\eta (4i+1,j)=1,\i1\eta (4i+2,j)=\eta (4i+3,j)=0}$

그리고 어떤 변화도 일어나지 않고, 그 과정은 고정된다.

(b) 정리 3.2의 가정 하에 공정이 고정되지 않는다. 이를 확인하려면 0이 무한히 많은 0이 무한히 많은 초기 구성 …${\displaystyle 000111}$… ${\$을(를) 고려하십시오$.$ 그러면 경계에 있는 0과 1만이 뒤집힐 수 있으므로 경계가 단순한 대칭 무작위 보행처럼 움직이는 것을 제외하고는 구성이 항상 동일하게 보일 것이다. 이 무작위 산책이 반복된다는 사실은 모든 사이트가 무한히 자주 뒤집힌다는 것을 암시한다.

특성 3은 인접 지역이 너무 작지 않다면 한 차원에서도 공존이 일어난다는 점에서 문턱 투표자 모델이 선형 유권자 모델과 상당히 다르다는 것을 나타낸다. 임계값 모델은 선형 사례에 없는 "지역적 소수자"를 향해 표류한다.

문턱 투표자 모델의 공존에 대한 대부분의 증거는 임계값 접촉 과정으로 알려진 하이브리드 모델과의 비교에 기초하여 매개변수 > ${\$을(를) 사용한다 플립 레이트가 있는$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z^{}}^{}}$ ${\displaystyle {d{}^{}}^{}}$ ${\$에 대한 프로세스:

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\lambda \quad {\text{if}}\quad \eta (x)=0\quad {\text{and}} \{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)=1\} \geq T;\\1\quad {\text{if}}\quad \eta (x)=1;\\0\quad {\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

발의안 제3

모든 $d{\displaystyle }$, ${\displaystyle N\mathcal{}}$ ${\$ $및$ T ${\$에 대해,${\displaystyle <img\; alt="\backslash scriptstyle\; T"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1111d99ee3dae3d02cc676db9b35388ad660af7c"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.157ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="422">}$process = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \lambda =1}$과(와)의 임계값 접촉 프로세스가 비독점적 비불변수 측정값을 갖는$$ 경우 임계값 유권자 모델이 공존한다.

분계점 T = 1인 모형

$T{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\$}이$($가) 어떤 모델이 공존하고 어떤 모델 클러스터가 있는지 정확히 알려진 유일한 사례여서 특히 관심을$$ 끈다.

특히 다음과 같은 방법으로$$ 제공되는 $c{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle )}$ ) ${\$을(를) 가진 일종의 Threshold T=1 모델에 관심이 있다.

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if exists one}}\quad y\quad {\text{with}}\quad x-y \leq N\quad {\text{and}}\quad \eta (x)\neq \eta (y)\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \scriptstyle N}$ can be interpreted as the radius of the neighbourhood ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$; ${\displaystyle \scriptstyle N}$ determines the size of the neighbourhood (i.e., if ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{1}=\{-$$2,-1,0,1,2\}}$, then ${\displaystyle \scriptstyle N_{1}=2}$; while for ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$, the corresponding ${\displaystyle \scriptstyle N_{2}=1}$).

정리 3.2에 의해 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\$및$$ $N{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\$ 클러스터를 가진$$ 모델. 다음 정리는 $d{\displaystyle }$ ${\$ $\$$scriptstyle d}$과($)$ N {\$displaystyle$ \$scriptstyle$ {\$mathcal$ {$N}$의 다른 모든 선택에 대해 모델이 공존함을 나타낸다$.$

정리 3.4

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$ $N\geq$ 1$\}$ 그러나 $({\displaystyle N}$,${\displaystyle \mathrm{d}}$) ${\displaystyle \ne }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1) ${\$ ($N,d)\neq (1,1$ 그런 $다음{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z^{}}$ d$${\$displaystystyle$Z^{$d$$}$에 있는 $임계값$ 모델이 코엑시스트라고$$ 가정합시다.

이 정리의 증거는 토마스 M. 리겟이 쓴 "임계점 유권자 모델의 공존"이라는 논문에서 제시된다.

참고 항목

메모들

참조