상호작용 입자 시스템

In probability theory, an interacting particle system (IPS) is a stochastic process ${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ on some configuration space ${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ given by a site space, a countable-infinite graph ${\displaystyle G}$ and a local state space, 소형 미터법 공간 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 보다 정밀하게 IPS는 확률적으로 상호작용하는 구성요소의 집합적 동작을 설명하는 연속 시간 마코프 점프 과정이다$.$ IPS는 확률형 셀룰러 오토마타의 연속시간 아날로그다.

대표적인 예로는 유권자 모델, 접촉 프로세스, 비대칭 단순 배제 프로세스(ASEP), 글라우버 역학, 특히 확률론적 이싱 모델이 있다.

IPS는 보통 마르코프 발생기를 통해 정의되며, 마르코프 세미그룹과 힐-요시다 정리를 사용하는 독특한 마르코프 프로세스를 발생시킨다. 전원 공급기는 다시Λ(η, ξ)을 c 소위 전환율 사이트와 η의 알을Λ⊂ G{\displaystyle \Lambda \subset G}가 유한한 세트, η과ξ∈ Ω{\displaystyle \eta ,\xi\in \Omega}ξ 나는 _{나는}{\displaystyle \eta_{나는}=\xi 나는}원 0{\displaystyle c_{\Lambda}(\eta ,\xi)>0}을 통해 주어진다.l${\displaystyle i\notin \Lambda }$. The rates describe exponential waiting times of the process to jump from configuration ${\displaystyle \eta }$ into configuration ${\displaystyle \xi }$. More generally the transition rates are given in form of a finite measure ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d$$S{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ S$^{\Lambda }}$에 $\xi$ $)\}.$

IPS의$$ 제너레이터 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에는 다음과 같은 형식이 있다. 첫째, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 도메인은 "관찰대상"의 공간의 하위 집합, 즉 구성 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega$}의 실제 가치 연속함수 집합이다$.$ $그러면{\displaystyle }$L {\$displaystyle$ L$}$의 도메인에서 $관찰{\displaystyle }$ 가능한$$f {\$displaystystyle f}$이 있다$.$

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$.

For example, for the stochastic Ising model we have ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$, ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$, ${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$ if ${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$ for some ${\displaystyle i\in G}$ and

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\\sum \sum _{j: j-i =1}\eta _{i}\eta _{j}}}}}$

여기서 $\eta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$는 사이트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에서 플립된 경우를 제외하고$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$eta$$}$과 동일한 구성이며$$,$$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\$\}$은 역온도를 모델링하는 새로운 매개 변수다.

유권자 모델

유권자 모델(일반적으로 연속된 시간에, 그러나 별개의 버전도 있다)은 접촉 과정과 유사한 과정이다. $이{\displaystyle }$ 프로세스에서${\displaystyle \mathrm{topic}}$ ( x ) {\$displaystyle \eta (x)}$은(는) 특정 주제에 대한 유권자의 태도를 나타내기 위해 취해진다$$. 유권자들은 독립적인 지수 무작위 변수에 따라 분포된 시간에 그들의 의견을 재고한다(이것은 지역적으로 포아송 프로세스를 제공한다 – 일반적으로 유권자가 무한히 많으므로 글로벌 포아송 프로세스를 사용할 수 없다는 점에 주목한다). 재심할 때, 유권자는 모든 이웃 중에서 한결같이 한 이웃을 선택하고 그 이웃의 의견을 받아들인다. 이웃을 고르는 것이 획일적이지 않은 것으로 허용함으로써 그 과정을 일반화할 수 있다.

이산 시간 프로세스

In the discrete time voter model in one dimension, ${\displaystyle \xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}}$ represents the state of particle ${\displaystyle x}$ at time ${\displaystyle t}$. Informally each individual is arranged on a line and can "see" other individuals that are within a radius, $$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r$ 이 사람들 중$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) 일정 비율 이상 동의하지 않으면 개인은 태도를 바꾸고, 그렇지 않으면 그대로 유지한다. Durrett과 Steif(1993년)과 Steif(1994년)은 큰 곡률 반경이 있음을 보여 주는 중요한 값 θ c{\displaystyle \theta_{c}}가 만약θ>θ c{\displaystyle \theta>\theta_{c}}대부분의 개개인은 절대로 바뀌며에θ∈(1/2, θ c){\displaystyle \theta \in(1/2,\theta_{c})}에 한계를 많이 봅니다. 사이트s 일치. (이 두 결과 모두 ${\displaystyle \mathrm{\xi }}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {}_{}x}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \xi _{0}(x)=1}$의 확률은 1/2이라고$$ 가정한다.)

이 과정은 더 많은 차원으로 자연스럽게 일반화되며, 이에 대한 일부 결과는 더렛과 스티프(1993)에서 논의된다.

연속시간공정

연속적인 시간 과정은 각 개인이 한 번에 신념을 가지고 있다고 상상하고 이웃의 태도를 바탕으로 그것을 변화시킨다는 점에서 비슷하다. 그 과정은 리겟(1985년, 226년)에 의해 비공식적으로 설명된다. "주기적으로(즉, 독립적인 지수 시간에), 개인은 자신의 견해를 다소 간단한 방법으로 재평가한다: 그는 어떤 확률을 가지고 무작위로 '친구'를 선택하고 자신의 입장을 채택한다." 모델은 홀리와 리겟(1975)에 의해 이 해석으로 만들어졌다.

이 과정은 클리포드와 서드베리(1973)가 처음 제안한 과정으로 동물들이 영토를 놓고 갈등을 빚으며 동등하게 일치한다. 주어진 시간에 이웃의 침입을 받는 장소가 선택된다.

참조

• Clifford, Peter; Aidan Sudbury (1973). "A Model for Spatial Conflict". Biometrika. 60 (3): 581–588. doi:10.1093/biomet/60.3.581.
• Durrett, Richard; Jeffrey E. Steif (1993). "Fixation Results for Threshold Voter Systems". The Annals of Probability. 21 (1): 232–247. doi:10.1214/aop/1176989403.
• Holley, Richard A.; Thomas M. Liggett (1975). "Ergodic Theorems for Weakly Interacting Infinite Systems and The Voter Model". The Annals of Probability. 3 (4): 643–663. doi:10.1214/aop/1176996306.
• Steif, Jeffrey E. (1994). "The Threshold Voter Automaton at a Critical Point". The Annals of Probability. 22 (3): 1121–1139. doi:10.1214/aop/1176988597.
• Liggett, Thomas M. (1997). "Stochastic Models of Interacting Systems". The Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics. 25 (1): 1–29. doi:10.1214/aop/1024404276. ISSN 0091-1798.
• Liggett, Thomas M. (1985). Interacting Particle Systems. New York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.