무게(표현 이론)

표현 이론의 수학적 분야에서, 필드 F에 대한 대수 A의 무게는 A에서 F에 대한 대수적 동형상 또는 동등하게 A에서 F에 대한 1차원 표현이다. 집단의 승수성격의 대수 아날로그다. 그러나 이 개념의 중요성은 리 알헤브라의 표현에 적용되고 따라서 대수학과 리 그룹의 표현에도 적용되기 때문이다. 이런 맥락에서 표현력의 무게는 고유값의 개념을 일반화한 것이며, 이에 상응하는 아이겐스페이스를 무게공간이라고 한다.

동기부여와 일반개념

는 Sn×n{\displaystyle n\times의 스녀}매트릭스 같은 분야 을 양도하다 점을 감안해 각각. 그리고, 어떠한 2개의 통근한다diagonalizable다고 하면, 언제나 동시에, 아무런 정해진 S상호는 유한 차원의. 벡터의semisimple 선형 변환 통근의 모든 S.[노트 1]Equivalently의 요소의 대각선화하다 할 수 있습니다.우주 V S의 모든 원소의 동시 고유 벡터로 구성된 V의 기초가 존재한다. 이러한 각각의 공통 고유 벡터 v ∈ V는 내형성 S의 집합에 의해 생성된 End(V)의 하위게브라 U에 대한 선형 기능을 정의한다. 이 기능은 고유벡터 v의 U의 각 요소와 연관되는 지도로 정의된다. 이 지도는 또한 곱하기 때문에 1에 그 정체성을 보낸다. 따라서 U에서 베이스 분야로의 대수적 동형성이다. 이 "일반화된 고유값"은 가중치 개념의 원형이다.

그 개념은 그룹 이론에서 승수적 성격이라는 개념과 밀접하게 관련되어 있는데, 이것은 그룹 G에서 필드 F의 승수적 그룹에 이르는 동형성이다. 따라서 χ: G → F는^× χ(e) = 1(여기서 e는 G의 ID 요소)을 만족하고

${\displaystyle \chi }$( ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \chi }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \chi }$( h${\displaystyle }$) ${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$ all g, h in G.

실제로 G가 F에 걸쳐 벡터 공간 V에 작용하는 경우 G의 모든 요소에 대한 각 동시 에겐스페이스는 G: 집단의 각 원소의 공통 에겐스페이스에 대한 고유값의 승수 문자를 결정한다.

곱셈 문자의 개념은 with: G → F를^× 선형 지도 χ: A → F로 대체함으로써 F에 대한 모든 대수 A로 확장될 수 있다.

$\displaystyle \chi(ab)=\chi(a)\chi(b)}$

A의 b는 모두 A에 있다. 대수 A가 벡터 공간 V에서 F를 통한 동시 에겐스페이스에 작용하는 경우, 이것은 A의 각 요소에 그것의 고유값을 할당하는 A에서 F까지의 대수 동형성에 해당한다.

만약 A가 리 대수(일반적으로 연관 대수는 아니다)라면, 문자의 곱셈을 요구하는 대신, 어떤 리 괄호를 해당 정류자에 매핑할 것을 요구한다. 그러나 F가 동일하기 때문에 이것은 단순히 이 지도가 리 괄호에서 사라져야 한다는 것을 의미한다: χ(a,b)=0. 필드 F에 대한 Lie 대수 g의 가중치는 모든 x, y in g에 대해 map([x, y])=0을 갖는 선형 지도 λ이다. Lie 대수 g에 대한 모든 중량은 파생 대수 [g,g]에서 사라지며, 따라서 아벨리안 리 대수 g/[g,g]에서 중량으로 내려간다. 따라서 가중치는 주로 아벨리안 리알헤브라의 관심사로, 통근하는 선형 변환 공간에 대한 일반화된 고유값의 단순한 개념으로 감소한다.

G가 Lie 그룹이나 대수 그룹인 경우, 승수 문자 θ: G → F는^× Lie 대수에서 가중치 = = dθ: g → F를 유도한다. (Lie 그룹의 경우, 이것은 G의 ID 요소에서의 차별화, 대수 그룹 경우는 파생의 개념을 이용한 추상화)

반실현 리알헤브라스 대표이론의 가중치

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 복합$$ 반시 구현 Lie 대수학 및 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 카르탄 하위$$ 골격인 g ${\$ 이 절에서는 유한차원 표현을 분류하는 데 필요한 개념을 설명한다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 이온$.$ 특히 '도메인 적분 원소'의 개념을 설명하겠다. 진술 자체는 위와 연결된 기사에 기술되어 있다.

표현 무게

를 매복하여 대수 g의 V대표하는{\displaystyle{\mathfrak{g}}}도가 넘고 λ 선형 h{\displaystyle{\mathfrak{h}에}기능을 그대로 두}. 그 다음 .mw-parser-output .vanchor&gt은 V의 무게 λ과 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}weight 공간이 부분 공간 Vλ{\displaystyle V_{\lamb자.다}}에 의해 주어지

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h}$, H ${\displaystyle \cdot }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$ (${\displaystyle }$H${\displaystyle }$) ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfak$ {$h},\quad$ H$\cdot$ v$=\lambda (H)v$

표현 V의 중량은 해당 중량 공간이 0이 아닌 선형 함수 λ이다. 중량 공간의 0이 아닌 원소를 중량 벡터라고 한다. 즉, 중량 벡터는 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 원소의 작용을 위한 동시 고유 벡터로서,$$λ이 준 해당 고유값을 가지고 있다.

V가 해당 중량 공간의 직접적인 합계인 경우

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak{h}^{*}V_{\lambda }}}}}$

그런 다음 무게 모듈이라고 부른다. 이는 대수학의 모든 대표 원소에 대한 공통의 고유베이스(동시 고유 벡터의 기초)가 존재하는 것과 일치한다. 즉, 동시에 대각선으로 가능한 행렬(대각선 가능 행렬 참조)이다.

G가 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak{g$과(와) 그룹이라면 G의 모든 유한차원 $표현$은 g$${\$displaystyle${\$mathfak{g}}$의 표현을 유도한다$.$ G의 표현 가중치는 $단순히{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$의 관련 표현에 대한 가중치가 있다$.$ 그룹표현 가중치와 Lie 대수표현 간의 미묘한 차이. 즉, 두 경우에서 통합조건에 대한 다른 개념이 있다는 것이다. 아래를 참조한다. (집단의 경우 통합 조건이 더 제한적이어서, 모든 Lie 대수적 표현은 집단의 표현에서 오는 것은 아니라는 것을 반영한다.

루트 벡터의 동작

V가 g ${\$의 부선 표현인 경우$,$ V의 0이 아닌 가중치를 루트라고 하고, 가중치 공간을 루트 공간이라고 하며, 가중치 벡터를 루트 벡터라고 한다. 명시적으로 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 선형 기능 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \alpha \neq$ 0$}$이${\displaystyle (}$가) 있고 $g$ ${\$ {g$}$에 0이$$$$ 아닌 X {\$displaystystyle X}$이(가$$)가 있으면 루트라고 한다.

${\displaystyle [H,X]=\알파(H)X}$

$모든$ $H{\displaystyle }$ ${\$의 H {\$displaystyle H}$에 대해$.$ 뿌리의 집합은 뿌리 체계를 형성한다.

대표이론의 관점에서 볼 때 뿌리와 뿌리 벡터의 중요성은 다음과 같은 초보적이지만 중요한 결과물이다. V가 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 나타내는 경우$,$ v는 중량 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda },$ X는 루트 벡터 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 나타내는 경우$,$ 그 다음,

${\displaystyle H\cdot v)=[(\lambda +\alpha )(H)](X\cdot v)}$

for all H in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. That is, ${\displaystyle X\cdot v}$ is either the zero vector or a weight vector with weight ${\displaystyle \lambda +\alpha }$. Thus, the action of ${\displaystyle X}$ maps the weight space with weight ${\displaystyle \lambda }$ into the weight space 중량${\displaystyle }\alpha {\displaystyle }$ + ${\displaystyle \alpha }${\$displaystyle \dada +\property }$을(를) 가진 e$.$

적분요소

Let ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ be the real subspace of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ generated by the roots of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. For computations, it is convenient to choose an inner product that is invariant under the Weyl group, that is, under reflections 뿌리와 직교하는 고플레인에 대해서 말이야 그런 다음 이 내부 제품을 사용하여 $h{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}^{}}$∗ ${\displaystyle {h}_{0}^{*}}$의 하위 공간 h ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$$displaystyle {\mathfrak$ ${h}{0}}$을(를$)$ 식별할 수 있다$.$ 이 식별을 통해 루트 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}에 연결된 코루트가 주어진다$$.

${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$= ${\displaystyle 2\alpha \frac{}{}}$α ${\displaystyle \frac{\alpha \alpha }{}}$, α α$$ {\$displaystyle H_{\\alpha }=2{\frac {\langle \alpha }{\langle$ \$alpha \rangle$ $\}\}\}\}\}.$

$이제{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ h ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$의 요소에 대해 두 가지 다른 개념의 통합성을 정의한다$.$ 이러한 정의의 동기는 간단하다. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 유한차원 표현 가중치는 첫 번째 통합 조건을 만족하는$$ 반면, G가 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$을(를) 가진 그룹이라면 G의 유한차원 표현 가중치는 두 번째 통합성 조건을 만족시킨다$.$

원소 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$는 다음과$$ 같은 경우 대수적으로 통합된다.

${\displaystyle \langle \lambda ,H_{\alpha }\angle =2\frac {\langle \langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \langle \langle \langle \mathbf {Z}}}}}}}$

모든 루트 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해$.$ 이 상태의 동기는 g의 sl(2,C)-subalgebra에 대해${\displaystyle \mathrm{코루트}H}$${\displaystyle {\alpha }_{}}$ {\$displaystyle$ $H_{\displaystystyle$ {$X,Y,H}$ 기준에서 H 원소와 식별할 수 있기$$ 때문이다.^[1] sl(2,C)에 대한 기본적인 결과에 의해, 유한 치수 표현에서$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$의 고유값은 정수여야 한다. 위에서 설명한 바와 같이 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 유한 치수 표현 중량은 대수적으로 정수되어 있다고$$ 결론짓는다.^[2]

기본 가중치 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\${$h}_{$$n}}}}$은 단순 뿌리와 연관된 코루트 집합에 이중의$$ h ${\$h}_{$0}$의 기초를 형성하는 속성에 의해$$ 정의된다. 즉, 기본 가중치는 조건에 의해 정의된다.

${\displaystyle 2{\frac {\langle \omega_{i}}\langle _{j}\langle _{j}\langle _{j}\langle _{j}\langle }}}}}=\langle _{i,j}}}}}}}}}}}.$

여기서 α ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle {\alpha n}_{}}$ ${\$는 단순한 뿌리다. 요소 $element{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 기본 가중치의 통합 조합인 경우에만 대수적으로 통합된다$$.^[3] 모든 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -적분$$ 가중치 집합은 $p{\displaystyle }$($){\displaystyle$ ${\$mathfak{$h$$}_{0}}$의 중량 격자라 불리는$$ h ${\$ ${\$$mathfak {g}$의 격자 집합이다$.$

그림은 리 대수 sl(3$,$C)의$$ 예를 보여주는데, 루트 시스템은 A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle A_{$2} 루트 $시스템$이다. $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와$$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}의 간단한 뿌리가 있다$.$ 첫 번째 기본 중량인 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는$$${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$gamma _{1}}$에 직교해야 하며$$,$$$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 절반에 직교 투영해야 한다$.$ 중량 격자는 삼각 격자가 된다.

이제 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) Lie 그룹 G의 Lie 대수라고 가정하자. Then we say that ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ is analytically integral (G-integral) if for each t in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ such that ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ we have ${\displaystyle \langle \lambda ,t\rangle \in 2\pi i\ma$$thbf {Z}$ 이 정의를 내리는 이유는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 표현이 G의 표현에서 발생하는$$ 경우 표현 가중치가 G-integral이 되기 때문이다.^[4] G semisimple의 경우, 모든 G-integral weights 집합은 하위 매트리스 P(G) p P(${\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak {g})$이다.$$ G가 단순하게 연결되어 있으면 P(G) = P(${\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak {g}).$ G가 단순히 연결되지 않은 경우 격자 P(G)는 P(${\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g$보다 작으며, 이들의 지수는 G의 기본 그룹에 이형성이다.^[5]

가중치 공간의 부분 순서

이제 우리는 g의 표현을 기술하는 최고 중량의 정리를 공식화하는 데 사용될 가중치 집합에 부분적인 순서를 도입한다. R이 뿌리의 집합이라는 것을 상기하라. 이제 $우리$는 R${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ R$^{+}$의 양의$$ 뿌리를 고정시킨다.

h ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$$\mu }$과($와{\displaystyle }$) ${\displaystyle \lambda }$의 두 원소 $\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle$$\mu }$과(와)$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystystyle$ \lambda$$$}$을 고려하십시오$.$$$μ {\\\\\\\}과(와(와)가$$ 통합된 경우에 주로 관심이 있지만, 이 가정은 정의에 필요하지 않다$.$ 소개하다 그리고 나서 우리는 $[\$$displaystyle$ $\$$mu$ \lambda${\displaystyle }$$\}$보다$$μ[\$displaystyle \lambda$ }이(가) 더 높다고 말하는데, 만일 $\mu {\displaystyle }$ -${\displaystyle }$${\displaystyle \mu }$ - ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaysty \mu$ -$\lambda }$이(가)가$$ 음수가 아닌 실제 계수를 갖는 양의 근의 선형 결합으로 표현 가능하다.^[6] 이것은 대략 '더 높은' 것은 양의 뿌리의 방향에서 의미하는 것을 의미한다. 우리는 동등하게 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) $\mu {\displaystyle \mu }$[\$displaystyle \$$lambda \preceq \mu }$이라고 쓰는$$$\mu {\displaystyle }$$[\displaystyle$\lambda \preceq \$mu }$보다 "낮음"이라고$$ 말한다$.$

이는 부분적인 주문일 뿐이며, $\mu {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ $스타일 \mu }$이(가) $\mu$보다 높지도 낮지도 않은 경우가 쉽게 발생할 수 있다$.$

우세중량

각 양의 뿌리 for에${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle ,,}$ , ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle \langle \lambda,\gamma \angle \geq 0}$이(가) 양수인 경우 λ이 우세하다. 동등하게, λ은 기본 가중치의 음수가 아닌 정수 조합인 경우 우세하다. $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 사례에서$$, 지배적인 적분 원소는 60도 섹터에 산다. 지배적이라는 개념은 0보다 높은 것과 같지 않다.

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle ,}$ , ,${\displaystyle 0}$ 0 {\$displaystyle \langle \lambda ,\gamma \angle \geq 0}$과 같은 모든 λ의 집합은 주어진 양의 뿌리와 연관된 기본적인 Weyl 챔버로 알려져$$ 있다.

최고중량의 정리

$V{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle {\mathfrak {g}$의 표현 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$$}$의 중량$$$every$ {\$displaystyle$ $\lambda}$은(는) V의 다른 모든 무게가 $\lambda$ ${\displaystystyle$\lambda $}$보다 낮을 경우 최고 중량이라고 불린다$.$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 유한 차원 불가해한 표현을 분류하는 이론은 "최고 중량의 이론"을 이용한 것이다$$. 정리하면 다음과^[7] 같다.

(1) 모든 되돌릴 수 없는(입체 차원) 표현은 가장 높은 가중치를 가진다.

(2) 최고 중량은 항상 지배적이고 대수적으로 통합된 요소로서,

(3) 동일한 중량을 갖는 두 개의 되돌릴 수 없는 표현은 이형성이며,

(4) 모든 지배적이고 대수적으로 통합된 요소는 수정 불가능한 표현 중 가장 높은 중량이다.

마지막 점은 가장 어려운 점이다. 표현은 Verma 모듈을 사용하여 구성할 수 있다.

최고 중량 모듈

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 표현(필수적으로 유한하지 않음) V는 g ${\$$displaystyle$ ${\$$mathfak$ ${g}$의 모든 양의 뿌리 공간의 작용에 의해 소멸되는 중량 벡터 v ∈ V에 의해 생성되는 경우 최고 중량 모듈이라고 한다$$$.$ 모든 불릴 수 $.$$g}}}$ -중량이$$ 가장 높은 모듈은 반드시 최고중량 모듈이지만, 무한대의 경우 최고중량 모듈은 불가해할 필요가 없다. 각 ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ h${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\${\$mathfak {h}^{*}$—필수적으로 우세한 것은 아니지만, L(λ)로 표시된 최고 $중량{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\displaystystyle${\$mathfrak{$g}} λ의 고유한 (최대) -module$$)이 존재하지만 이 모듈은 무한 차원이다.al. 중량 λ이 가장 높은 각 중량 모듈은 Verma 모듈 M( of)의 지수임을 알 수 있다. 이것은 Verma 모듈의 정의에서 보편성 속성의 재작성에 불과하다.

모든 유한차원 최고 중량 모듈은 복구할 수 없다.^[8]

참고 항목

• 리알헤브라의 유한차원 표현 분류
• 연결된 컴팩트 리 그룹의 표현 이론
• 최고중량분류
• 루트 시스템

메모들

참조