해결 가능한 리 대수

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 리 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 파생된 시리즈가 0 하위 대수에서 종료되는 경우 해결할 수 있다.리 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 파생된 리 대수(Lie 대수)는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 하위 대수(subalgebra)로$,$ 표시됨.

${\displaystyle [{\mathfrak{g},{\mathfrak {g}]}$

$이$는 g ${\$의 요소 쌍의 Lie 브래킷의 모든 선형 조합으로 구성된다$.$파생된 시리즈는 아말게브라의 순서다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

만약 파생된 시리즈가 결국 영 아발지브라에 도달한다면, Lie 대수학은 해결 가능하다고 불린다.^[1]리알헤브라를 위한 파생 시리즈는 그룹 이론에서 정류자 하위그룹에 대한 파생 시리즈와 유사하며, 해결 가능한 리알헤브라는 해결 가능한 그룹의 유사 시리즈다.

어떤 영약성 Lie 대수학도 풀 수 있는 fortiori이지만 그 반대는 사실이 아니다.해결 가능한 리 알헤브라와 반이 구현된 리 알헤브라는 레비 분해에서 알 수 있듯이 두 개의 크고 일반적으로 상호 보완적인 부류를 형성한다.해결 가능한 리알헤브라는 정확히 0부터 시작하여 한 번에 하나의 차원을 추가하는 반간접적인 제품에서 얻을 수 있는 것이다.^[2]

최대 해결이 가능한 아말게브라는 보렐 아말게브라 불린다.리 대수학의 가장 큰 해결 가능한 이상을 레디컬이라고 부른다.

특성화

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ {\$displaystyle {\mathfrak {g}$을(를) 특성 0의 영역에 걸쳐 유한 차원 Lie 대수학으로 한다$$$.$이하와 같다.

• (i) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 해결 가능하다.
• (ii) ${\displaystyle \mathrm{d}}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle {\rm {ad}({\mathfrak {g$$$$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부선 표현은 해결 가능하다.
• (iii) g ${\$${a}$_${i}$의 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$displaystyle ${\mathfrak{a}$$_{$i}} 이상 순서는 유한하다$.$

  ${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {a}{0}\supset {\mathfrak {a}_{1}\supset...{\mathfrak{a}_{r}=0,\mathfrak [{a}_{i},{\mathfrak {a}_{i}]\mathfrak {a}_{i+1}\,\forall i.}$

• (iv)${\displaystyle }$[ ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [{\mathfrak{g},{\mathfrak{g}}}}$은(는) 영점이다.^[3]
• (v) g ${\$${\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -dimension의$$ $경우{\displaystyle \mathfrak{}}$,$$g {\$displaystyle$ a ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystyle$ {$a}_$${i}}$의 하위 골격브라 순서가 유한하다$.$

  ${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {a}{0}\supset {\mathfrak {a}_{1}\supset...{\mathfrak{a}_{n}=0,\mathfrak \mathfrak {a}_{i}/{\mathfrak{a}}_{i+1}=1\,\all i,}$

각각의 ${\displaystyle i_{}}$+ ${\$${\displaystyle a_{}}$$}_{i+1$}의 이상과$$ 함께 ${\$^[4] 이러한 유형의 시퀀스를 기본 시퀀스라고 한다.

• $($vi) $subalgebras$ g i {\displaystyle ${\mathfrak{g}},$$$g {\$displaystyle {\mathfrak{g$

  ${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {g}{0}\supset {\mathfrak{g}_{1}\supset...{\mathfrak{g}_{r}=0,}$

${\displaystyle {gi}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${{\$의 경우 ${\displaystyle g_{}}$ i ${\${\$mathfrak$${g}_{i$$}}}$ $및{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}{g}_{}}$ / ${\displaystyle g_{}}$i + ${\$ {$g}/{\mathfrak {{g}}}}{i+1$}이$$$$ 아벨리안이라고 할 수 있다.^[5]

• (vii) The Killing form ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ satisfies ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ for all X in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and Y in ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$.^[6]이것이 카르탄의 해결의 기준이다.

특성.

Lie의 $정리$에서는 V$${\$displaystyle$V}이$$(가) 특성 0의 대수적으로 닫힌 영역에 대한 유한 차원 벡터 $공간$이고, g$${\$displaystyle${\$mathfrak$$${$g$$}$이(가) 해결 가능한 Lie 대수이며$$, $만일{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$$}$이(가$)$가 $V$에 $대한$ g ${\$을 나타낸다고 명시하고 있다.${\displaystyle 그러면\mathfrak{}}$$$$X{\displaystyle }$$display$ g {\$displaystyle$ $X\$in ${\mathfrak {g}$에 대한$$ 내형성 ${\displaystyle \pi }$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi (X)}$의 동시 고유 벡터 ${\displaystyle v}$$\$ V {\$displaystystyle$ X$\$$in$ {g}이 있다$.$^[7]

• 모든 Lie 하위골격과 해결 가능한 Lie 대수학의 지수를 해결할 수 있다.^[8]
• Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$과(와) 이상적인$$$$ $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 제공되면

  ${\displaystyle }$$g{\displaystyle \mathfrak{}}$$$ ${\$${h}$과(와$)$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$/$$ {\$displaystyle${\$mathfrak${h}이$(가$) 모두 해결 가능한 경우에만 g {\$displaystyle$ {g}/{\$mathfrak$ {h$}$이(가) 해결$$ 가능하다.^[8][2]

$중심$에 h ${\$ {$h}$이(가) 포함되어$$ 있을 경우, nilpotent Lie Algebras에 대해 유사한 문구가 적용된다.따라서, 해결 가능한 대수학에 의한 해결 가능한 대수학의 확장은 해결 가능한 반면, nilpotent 대수학에 의한 nilpotent 대수의 중앙 확장은 nilpotent이다.

• 해결 가능한 논제로 리 대수에는 비제로 아벨의 이상이 있는데, 이는 파생된 시리즈에서 마지막 논제로의 항이다.^[2]
• 만약 a, b⊂ g{\displaystyle{\mathfrak{}},{\mathfrak{b}}\subset{\mathfrak{g}}} 풀 수 있는 이상, 그때는+b{\displaystyle{\mathfrak{}}+{\mathfrak{b}}}.[1]결과적으로, 만약 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}은 유한 차원의. 다음은 독특한 풀 수 있는 이상적인 r⊂ g다${\displaystyle {\mathfrak{r}\mathfrak {g}$에 해결 가능한 모든 이상이 포함된$$ ${\$이 이상은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 래디컬이다$.$^[2]
• A solvable Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ has a unique largest nilpotent ideal ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, called the nilradical, the set of all ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ such that ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ is nilpotent.D가 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 파생인 경우, D$($$g{\displaystyle }$)${\$ {$g})\subset {\mathfak$ {$n$^[9]

완전 해결 가능한 리알헤브라스

Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak{g}}$은(는) g$${\$displaystyle$0}에서 g$$${\$displaystyle {$g$$\}$까지 {\$displaystyle {\mathfrak {g}$에 대한 기본 순서{(V)가 있으면 완전하게 해결되거나 분할된 것으로 불린다.완전히 해결할 수 있고, 완전히 해결할 수 있는 거짓말 대수학도 해결할 수 있다.대수적으로 폐쇄된 영역에서는 해결 가능한 Lie 대수학을 완전히 해결할 수 있지만, $평면$의 유클리드 등위계 그룹의 3 ${\displaystyle 3}$차원$$ 리얼 Lie 대수학은 해결 가능하지만 완전히 해결할 수는 없다.

$해결{\displaystyle \mathfrak{}}$ 가능한 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\$$mathfak$${g$$}$의 고유값이$$ g {\$displaystyle$ {\$rm$${ad}_{X}$의 모든 X {\$displaystyle$ $X$$\}$^[2]에 있는 경우에만 분할이 가능하다$.$

예

아벨리안 리알헤브라스

모든 아벨 리 $대수학{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 정류자${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle a\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak{a},{\mathfrak {a}]=0}$이므로 정의로 해결할 수 있다$$$.$여기에는 형식인 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle {\mathfrak{gl}(n)}$의 대각 행렬의 Lie 대수학이 포함된다$.$

${\displaystyle \left\{\put{bmatrix}*&0&0\\\0&#0\\\nd{bmatrix}\right\}}}$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$의 경우$.$임의의 두 행렬 $m{\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{End}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle$ [$m,n$$]=0$$}$에 대해$$$$ 사소한 괄호가${\displaystyle }$제공한 벡터 공간 V {\$displaystyle$$V{\displaystyle }$ {\$displaystyle V}$의 Lie 대수 구조는 다른 예를 제공한다$.$

닐포텐트 리알헤브라스

다른 종류의 예들은 부호표현이 해결 가능하기 때문에 영적인 리 알헤브라스에서 나온다.일부 예에는 형태 행렬과 같은 상부 대각선 행렬이 포함된다.

${\displaystyle \left\{\\\bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0\end{bmatrix}\right\}}}$

완전히 상위 삼각형 행렬의 Lie 대수라고 불린다.또한 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$($){\displaystyle {\mathfrak{gl}(n)}}$의 상위 대각 행렬의 Lie 대수도 해결 가능한 Lie 대수학을 형성한다$$.여기에는 양식의 행렬이 포함된다.

${\displaystyle \left\{\\\bmatrix}*&*&*\0&*\nd{bmatrix}\right\}}$

${\displaystyle {그리고}_{}}$ b ${\${\$mathfrak{b}_{k}}$로 표시된다$.$

해결할 수 있지만 분할할 수 없음

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 양식의 행렬 집합으로$$ 설정

${\displaystyle X=\lift({\begin{matrix}0&\theta &0&y\\\\\\\theta &0&y\\\0&0\end{matrix}\right)\quad \theta,x,y\in \mathb {R}}}$

그러면 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 해결 가능하지만$$ 분할은 해결 가능하지 않다.^[2]평면 내 번역 및 회전 그룹의 Lie 대수학과의 이형성이다.

비예시

$l{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$${\$$mathfak{l}}$에서 가장 큰 해결 가능한 $이상$인$$rad${\displaystyle (l\mathfrak{}}$ $){{\displaystyle${\$text}}{$Rad$}({\$$mathfrak$${l})}$은(는$)$ 사소한 것이기 때문에 결코 해결할$$ 수 없다.^{[1]page 11}

해결 가능한 Lie 그룹

그룹 이론에서 해결 가능한 그룹에도 "해결 가능한"이라는 용어가 사용되기 때문에, 해결 가능한 거짓말 그룹의 정의에는 몇 가지가 있을 수 있다.Lie $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 경우$,$

• 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 일반적인 파생 시리즈 종료($$추상적 그룹)
• 파생 시리즈의 폐쇄 종료
• 해결 가능한 Lie 대수학

참고 항목

• 카르탄의 기준
• 킬링폼
• 리콜친 정리
• 솔브마니폴드
• 딕스미어 매핑

메모들

외부 링크

• EoM 기사 Lie 대수, 해결 가능
• EoM 기사 Lie 그룹, 해결 가능

참조

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Vol. 120 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• 장 피에르 세레: 콤플렉스 세미스이벤트 리 알헤브라스, 스프링거, 베를린, 2001.ISBN 3-5406-7827-1