콜라인먼트

Collineation

투사 기하학에서, 콜라인은 일대일 및 지도상(편사)을 하나의 투사 공간에서 다른 투사공간으로, 또는 투사공간에서 그 자체로 투사된 것으로서, 투사점 이미지 자체가 투사되는 것이다. 따라서 콜라인은 투사적 공간 사이의 이형성 또는 투사적 공간에서 그 자체로의 자동성이다. 일부 저자들은 콜라인의 정의를 자동형인 경우로 제한한다.[1] 공간에 대한 모든 줄 선 집합은 줄선 그룹이라고 불리는 그룹을 형성한다.

정의

간단히 말해서, 콜라인은 한 투사 공간에서 다른 투사공간으로, 또는 투사공간에서 그 자체로 1대1 지도로서, 콜린어 포인트의 이미지 자체가 콜린어(collinear)가 된다. 투사적인 공간을 제시하는 다양한 방법을 사용하여 이를 공식화할 수 있다. 또한 투영 라인의 경우는 특별하므로 일반적으로 다르게 취급한다.

선형대수학

선형 대수(벡터 공간의 투영화로서)의 관점에서 정의한 투영 공간의 경우, 콜라인화는 서브 스페이스의 포함과 관련하여 순서를 보존하는 투영 공간 사이의 맵이다.

형식적으로 V는 필드 K 위에 벡터 공간이 되고 W는 필드 L 위에 벡터 공간이 되게 한다. 각각 V의 벡터 라인과 W의 서브 스페이스 세트인 D(V)와 D(W)의 벡터 라인으로 구성된 투영 공간 PG(V)와 PG(W)를 고려한다. PG(V)에서 PG(W)로 가는 연선은 지도 α : D(V) → D(W)로, 다음과 같은 것이다.

  • α는 편향이다.
  • A ( B α(A) α(B) ⊆ D(V)의 모든 A, B에 대한 α([2]B)

자칭

발생 구조(점 P, 선 L, 그리고 특정 공리를 만족하는 점들이 어떤 선에 놓여 있는지 명시하는 사건 관계 I)의 관점에서 자명하게 정의된 투영 공간 사이의 연직으로, 투영 공간 사이의 연직으로 정의한 후, 점 집합과 투영 함수 사이의 연직 함수 f가 된다. g 발생 관계를 보존하면서 선 세트 사이에 있다.[3]

3보다 크거나 같은 치수의 모든 투영 공간은 분할 링 위에 있는 선형 공간의 투영에 이소모르픽이므로, 이 치수에서는 위의 선형-알브레이크 공간보다 더 일반적인 정의가 아니지만, 치수 2에는 다른 투영 평면, 즉 비 데스투게스 평면과 이 정의가 있다.n은 그러한 투영 평면에서 콜라인을 정의할 수 있도록 허용한다.

치수 1의 경우, 하나의 투사선에 놓여 있는 점 집합은 투사 공간을 정의하며, 결과적인 콜라인화의 개념은 집합의 어떤 편향일 뿐이다.

투영 선의 콜라인먼트

치수 1의 투영 공간(투영 선, 치수 2의 벡터 공간의 투영)의 경우, 모든 점은 일직선이기 때문에, 콜라인먼트 그룹은 투영 선 점의 대칭 그룹이다. 이것은 더 높은 차원의 행동과는 다르며, 따라서 투영 기하학의 근본적인 정리가 유지되도록 지정된 보다 제한적인 정의를 제공한다.

이 정의에서 V가 차원 2를 가질 때 PG(V)에서 PG(W)로 가는 콜라인은 지도 α : D(V) → D(W)로 다음과 같은 것이다.

  • V의 영점 하위 공간은 W의 영점 하위 공간에 매핑된다.
  • V는 W에 매핑되어 있다.
  • V에서 W까지 비반선 반선형 mapβ가 있어 V의 모든 V에 대해,

이 마지막 요건은 모두 반선형 지도임을 보장한다.

종류들

콜라인의 주요 예로는 투영적인 선형 변환(동문학적 변환이라고도 함)과 자동형 콜라인이 있다. 선형 공간에서 나오는 투영 공간의 경우 투영 기하학의 기본 정리는 아래에 설명된 바와 같이 모든 선형이 이것들의 조합이라고 명시한다.

투영 선형 변환

투사형 선형 변환(호모그래피)은 연관 투사 공간의 선에 해당하며, 선형 변환 지도 평면을 평면에 대응하므로 투사형 선형 변환 지도 선에 대한 선에 대한 선에 대한 선에 대한 선에 대한 투사형 선형 변환)이지만 일반적으로 모든 선형이 투사형 선형 변환은 아니다. PGL은 일반적으로 콜라인먼트 그룹의 적절한 하위 그룹이다.

자동형 콜라인먼트

자동형 콜라인은 좌표에서 좌표에 적용되는 자기장 자동형 지도다.

투영 기하학의 기본 정리

참고 항목: 호모그래피 § 투영 기하학의 기본 정리

파피안 투사 공간의 기하학적 치수가 적어도 2인 경우, 모든 콜라인은 호모그래피(투사적 선형 변환)와 자동형 콜라인의 산물이다. 더 정확히 말하면, 콜라인먼트 그룹은 투영적인 반선형 그룹이며, 자동적인 콜라인화에 의한 동음이의 반 간접적인 산물이다.

특히 PG(2, R)의 줄무늬는 정확히 호모그래피인데, R은 비유전적 자동화(즉, Gal(R/Q)는 사소한 것이기 때문이다.

φ이 V에서 W까지 비정렬 반선형 맵이며, V의 치수는 적어도 3이라고 가정한다. D(V)의 모든 Z에 대해α Z = {φ(z) : z ∈ Z}이라고 하여 α : D(V) → D(W)를 정의한다. φ은 반선형이기 때문에 이 지도가 제대로 정의되어 있는지 쉽게 확인하며, 나아가 φ은 단수가 아니기 때문에 편향적이다. α가 콜라인화라는 것은 이제 명백하다. 우리는 α가 φ에 의해 유도된다고 말한다.

투영 기하학의 기본 정리는 다음과 같은 역설을 명시한다.

V가 최소 3차원인 필드 K 위의 벡터 공간이고, W는 필드 L에 대한 벡터 공간이며, α는 PG(V)에서 PG(W)까지의 콜라인이라고 가정한다. 이는 K와 L은 이형장이고, V와 W는 같은 치수를 가지며, φ이 α를 유도하는 반선형 지도 φ이 있음을 암시한다.

n ≥ 3의 경우, collineation group은 투사 반선형 그룹 P,L – 이것은 필드 자동화에 의해 뒤틀린 PGL이다. 형식적으로는 반선형 제품 PγL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k)이며, 여기서 k는 K의 주요 영역이다.

선형구조

Thus for K a prime field ( or ), we have PGL = PΓL, but for K not a prime field (such as or for n ≥ 2), the projective linear group is in general a proper sub"프로젝티브 반선형 구조를 보존하는 배치"라고 생각할 수 있는 콜라인먼트 그룹의 그룹. 이에 상응하여, 지수군 PγL/PGL ≅ Gal(K/k)은 "선형 구조의 주기"에 해당하며, ID(기준점)는 기존의 선형 구조로 되어 있다. 선형 공간의 투영화로서 식별이 없는 투영공간을 주어, 콜라인화 그룹과 P andL 사이에는 자연 이형성이 없으며, 선형 구조의 선택(선형 공간의 투영화로 실현)은 부분군 PGL < PγL>의 선택에 해당하며, 이러한 선택은 Gal(K/k)보다 토르를 형성한다.

역사

한 줄의 사상은 일직선으로 결정되는 3차 관계(한 줄에 놓여 있는 점)로 추상화되었다. 빌헬름 블래쉬케에[4] 따르면 기하학적 변형의 이 본질을 처음으로 추상화한 것은 아우구스트 뫼비우스였다.

우리의 기하학적 변환은 지금 무엇을 의미하는가? 뫼비우스는 이 문제를 이미 그의 바이꼬틱 미적분(1827년)에 던져 놓고 야전했다. 거기서 그는 변형이 아니라 순열[Verwandtschaften]에 대해 말했는데, 그는 도메인에서 도출된 두 원소가 임의의 방정식에 의해 상호 교환될 때 순열되었다고 말했다. 우리의 특별한 경우, 균일한 점 좌표 사이의 선형 방정식인 뫼비우스는 특히 두 점 공간의 순열[Verwandtschaft]을 콜라인이라고 불렀다. 이 징후는 나중에 채슬스에 의해 동음이의어로 바뀔 것이다. 뫼비우스의 표현은 우리가 뫼비우스가 같은 선에 놓여 있을 때 부호들이 서로 부호화하는 것을 따라갈 때 바로 이해된다. 뫼비우스의 명칭은 "경락점은 경락점에 순열로 매핑된다"거나, 평이한 말로 직선은 직선을 유지한다.

현대의 수학자들은 지오메트리를 발생을 보존하는 기초 공간의 매핑으로 구성된 자동형 집단을 가진 발병 구조로 본다. 그러한 매핑은 발생 구조의 선을 허용하며, 연선의 개념은 지속된다.

Blaschke와 Klein이 언급했듯이 Michel Chasles는 collineation보다 homography라는 용어를 선호했다. 용어의 구별은 실제 투사면과 복잡한 투사선 사이의 구분이 명확해졌을 때 생겨났다. 실수 영역의 비종교적 자기장 자동화가 없기 때문에, 모든 콜라인은 실제 투사 평면에서 호모그래피이지만,[5] 복잡한 투사선의 자기장 자동화로 인해, 복합 투사 라인의 모든 콜라인이 동모그래피인 것은 아니다. 기초 분야가 실수 분야인 컴퓨터 비전 등의 응용 분야에서는 동음이의어와 콜라인레이션을 서로 교환하여 사용할 수 있다.

안티호모그래피

복합 평면에서의 복합 결합을 취하는 동작은 실제 선에서의 반사에 이른다. z의 결합에 대한 표기법∗ z와 함께, 항호모그래피는 다음에 의해 주어진다.

따라서 항호모그래피는 호모그래피와의 결합의 구성이며, 호모그래피가 아닌 콜라인화의 예도 그러하다. 예를 들어, 으로 매핑 ( z)= 1/ 는 원 반전 양이다.[6] 평면의 반전 기하학의 변환은 복잡한 평면의 모든 동음계와 반동음이의 집합으로 자주 설명된다.[7]

메모들

  1. ^ 예를 들어, Beutelspacher & Rosenbaum 1998, 페이지 21, Casse 2006, 페이지 56 및 예일 2004, 페이지 226.
  2. ^ 기하학은 여전히 함수들에 대해 지수형 표기법을 일반적으로 사용하며 이 조건은 D(V)에서 모든 A, B에 대해 A ⊆ B asαα B로 나타나는 경우가 많다.
  3. ^ "발생 관계를 보존하는 것"은 p점이 l라인에 있으면 f(p)가 g(l)에 있고, 공식적으로 (p, l) i가 되면 (f(p), g(l) ∈ I에 있는 것을 의미한다.
  4. ^ 펠릭스 클라인 (1926, 1949년) 볼레성겐 ü베르 호헤르 지오메트리 (Blaschke, Seite 138) 편집
  5. ^ Casse 2006, 페이지 64, Corollary 4.29
  6. ^ 몰리 & 몰리 1933 페이지 38
  7. ^ 블레어 2000, 페이지 43; 슈워트페거 2012, 페이지 42.

참조

  • Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / From Foundations to Applications, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
  • Blair, David E. (2000), Inversion Theory and Conformal Mapping, Student mathematical library, vol. 9, American Mathematical Society, ISBN 9780821826362
  • Blaschke, Wilhelm (1948), Projective Geometrie, Wolfenbütteler Verlagsanstalt
  • Casse, Rey (2006), Projective Geometry / An Introduction, Oxford University Press, ISBN 9780199298860
  • Morley, Frank; Morley, F.V. (1933), Inversive Geometry, London: G. Bell and Sons
  • Schwerdtfeger, Hans (2012), Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, ISBN 9780486135861
  • Yale, Paul B. (2004) [first published 1968], Geometry and Symmetry, Dover, ISBN 0-486-43835-X

외부 링크