강체 역학

Boulton & Watt 증기 엔진(1784)의 각 구성 요소의 움직임은 일련의 운동학 및 운동학 방정식으로 설명할 수 있습니다.

역학 물리과학에서 강체역학(Rigid-body dynamics)은 외부 힘의 작용 하에 상호 연결된 물체의 시스템 움직임을 연구한다.차체가 강하다는 가정(즉, 가해진 힘의 작용으로 변형되지 않음)은 시스템의 구성을 설명하는 매개변수를 각 ^[1]^[2]차체에 부착된 기준 프레임의 변환 및 회전으로 줄여 분석을 단순화합니다.단, 유체, 고탄성 및 플라스틱 거동을 나타내는 바디는 제외됩니다.

강체 시스템의 역학 운동학 법칙과 뉴턴의 두번째의 법칙(동특성)또는 파생 형태, 라그랑주 역학의 응용을 통해 설명합니다.운동의 이러한 방정식의 해결, 그리고 시간의 함수로 시스템 그 자체가, 전체적인 위치에 운동과 시스템의 개별 요소의 가속에 대한 설명을 제공한다.기계적 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션에서 강체 역학의 수립과 해결책은 중요한 도구이다.

평면 강체 역학

입자계가 고정평면에 평행하게 움직이면 시스템은 평면운동에 구속된다고 한다.이 경우, N개의 입자로 이루어진 강체계 P, i=1, …, N에 대한_i 뉴턴의 법칙(운동학)은 k방향으로 움직임이 없기 때문에 단순화된다.기준점 R의 결과력과 토크를 구하여

\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N} m_{i} \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf} times m_i

여기서_i r은 각 입자의 평면 궤적을 나타냅니다.

강체의 운동학은 기준 입자의 위치 R 및 가속도 A뿐만 아니라 입자의 강체 시스템의 각속도 벡터 θ 및 각가속도 벡터 α의 관점에서 다음과_i 같은 입자 P의 가속식을 산출한다.

\displaystyle \mathbf {A} _{i} = \times (\mathbf {r} _{i} - \mathbf {R} ) + {\times (\toldsymbol {r} _{i} - \mathbf {R} )

평면 이동에 구속된 시스템의 경우, 각 속도와 각 가속도 벡터는 이동 평면에 수직으로 k를 따라 배치되며, 이는 이 가속도 방정식을 단순화합니다.이 경우, 단위 벡터_i e를 기준점 R에서 점_i r로 도입하고 단위 ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$ ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$ $=$ × ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$ \ $textyle \mathbf {t} _{i$ }=\ $mathbf {k}$ \ $times \mathbf {e}$ _ ${i$

\displaystyle \mathbf {A}_{i}=\alpha(\Delta r_{i}\mathbf {e}+\mathbf {A}).

이것에 의해, 시스템에 다음과 같은 힘이 주어집니다.

\mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t}_{i})-\sum _{i=1}^{i}\sum _N}^{i}\left(\Delta r) {f

로서 토크합니다.

\displaystyle {delta r_{i}\mathbf {T} = {i=1}^{N}(m_{i}\delta r_{i})\times \left(\alpha(\Delta r_{i}\mathbf {t}_i}-{i})\delta r2\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _i=1}^{N}m_{i}\deltimes_{i}\mathbf {i} \times} \mathbf {right}\i}

$여기$ 서 ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ e × ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ i $=$ ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ ${\textstyle$ \ $mathbf$ { ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$ } $_{i}\$ ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$ $\mathbf {e}$ 및 $e$ × ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$ {\textstyle \ $mathbf {e} _{i}\$ times $\mathbf {t}$ 는 ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$ 모든 입자에 대한 수직인 p입자의 벡터입니다.

C질량의 중심을 기준점으로 사용하세요, 그래서 뉴턴의 법칙에 대한 이 방정식들은 간단해집니다.

\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\display \mathbf {T} =I_{\textbf {C}} \alpha \mathbf {k} ,}

$여기$ 서 M은 총 질량이고_C I는 강체 시스템의 움직임에 수직인 축 주위의 관성 모멘트이다.

입체적인 강체

오리엔테이션이나 태도 설명

강체의 방향을 3차원으로 설명하는 몇 가지 방법이 개발되었습니다.다음 섹션에 요약되어 있습니다.

오일러 각도

방향을 나타내는 첫 번째 시도는 레온하르트 오일러에 기인한다.그는 서로 회전할 수 있는 세 개의 기준 프레임을 상상했고 고정된 기준 프레임에서 시작하여 세 번의 회전을 수행함으로써 공간에 있는 다른 기준 프레임을 얻을 수 있다는 것을 깨달았습니다(수직 축을 고정하기 위해 두 개의 회전을 사용하고 다른 두 개의 축을 고정하기 위해 다른 기준 프레임을 사용).이 세 회전의 값을 오일러 각도라고 합니다. $\psi$ 으로 세차운동, $세차운동$ , $세차운동$ 세차운동, $\phi$ 등을 나타낼 때 ${\$ {\ $displaystyle \phi$ $\psi$ $}$ 가 $\psi$ $\phi$ 사용됩니다.

오일러 각도도
고정된 축을 중심으로 볼의 고유 회전.
오일러 각도에서의 팽이의 움직임.

타이트-브라이언 각도

방향을 설명하는 또 다른 방법인 Tait-Bryan 각도.

요, 피치 및 롤, 내비게이션 각도 및 카단 각도라고도 하는 세 가지 각도가 있습니다.수학적으로 그것들은 오일러 각도의 12가지 가능한 집합 안에 여섯 가지 가능성 집합을 구성하며, 그 순서는 비행기와 같은 차량의 방향을 설명하는 데 가장 잘 사용됩니다.항공우주공학에서 그것들은 보통 오일러 각도라고 불린다.

오리엔테이션 벡터

오일러는 또한 2회전의 구성물이 다른 고정 축(오일러의 회전 정리)에 대해 전혀 회전에 해당한다는 것을 깨달았다.따라서, 앞의 세 각도의 구성은 행렬이 개발될 때까지 계산하기 복잡한 축을 가진 하나의 회전과 같아야 한다.

이 사실을 바탕으로 그는 회전축 위의 벡터와 각도의 값과 동일한 모듈을 가진 모든 회전을 설명하는 벡터 방식을 도입했다.따라서 모든 방향은 기준 프레임에서 시작하는 회전 벡터(오일러 벡터라고도 함)로 나타낼 수 있습니다.방향을 나타내는 데 사용되는 회전 벡터는 일반적으로 방향 벡터 또는 자세 벡터라고 불립니다.

비슷한 메서드,axis-angle 표현이라고 불리는 회전 또는 방향은 단위 벡터는 회전축과 정렬을 이용하여, 별도의 값이 각도(그림 참조)를 나타내는 방법을 설명합니다.

방향 매트릭스

매트릭스의 도입과 함께 축의 정리를 다시 썼다.그 회전 직교 매트릭스에 회전 매트릭스나 방향 코사인 매트릭스로 언급한 설명하였다.방향을 나타내는 데 사용되는 회전 행렬을 일반적으로 방향 행렬 또는 자세 행렬이라고 합니다.

회전 행렬(회전 매트릭스는 독특한 진정한 고유 값 왔다)의 언급한 오일러 벡터는 eigenvector.두 회전 행렬의 곱은 회전의 구성입니다.따라서 이전과 마찬가지로 초기 프레임에서 회전으로 방향을 지정해 설명하고자 하는 프레임을 달성할 수 있습니다.

경우 비대칭 개체의 다차원 공간을 구성 공간은 SO(n)Rn×.오리엔테이션 개체에 대한 접선 벡터의 토대를 첨부하여 시각화 할 수 있다.각 벡터가 그 방향을 결정하는 방향.

오리엔테이션 4분위

또 다른 방법 회전 사원 법을 사용하고 있회전을 설명할 것을 또한 versors 요구했다.회전 행렬 및 회전 벡터에 해당합니다.회전 벡터에 관해서는 행렬로 쉽게 변환할 수 있습니다.방향을 나타내기 위해 사용되는 회전 사분위는 일반적으로 방향 사분위 또는 자세 사분위라고 불립니다.

3차원에서의 뉴턴의 두번째 법칙.

3차원 공간에서의 강체 역학을 고려하기 위해, 뉴턴의 제2법칙은 강체의 움직임과 강체에 작용하는 힘과 토크의 시스템 사이의 관계를 정의하기 위해 확장되어야 합니다.

뉴턴은 입자에 대한 두 번째 법칙을 다음과 같이 공식화했다. "물체의 운동 변화는 가해지는 힘에 비례하며 힘이 ^[3]가해지는 직선 방향으로 이루어진다."뉴턴이 일반적으로 질량 곱하기 속도를 입자의 "운동"이라고 언급했기 때문에, "운동의 변화"는 입자의 질량 곱하기 가속도를 가리키며, 그래서 이 법칙은 보통 다음과 같이 쓰여집니다.

\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,

여기서 F는 입자에 작용하는 유일한 외부 힘으로 이해되고, m은 입자의 질량이고, a는 가속 벡터이다.뉴턴의 제2법칙의 강체로의 확장은 입자의 강체계를 고려함으로써 달성된다.

단단한 입자계

N개의 입자계_i P, i=1, …, N을 강체로 조립하면 뉴턴의 제2법칙을 각 입자에 적용할 수 있다.만약_i_i F가 질량 m의 입자_i P에 가해지는 외부 힘이라면,

\mathbf {F} +\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\mathbf {a} _{i},\dots,N,

여기서_ij F는 입자_i P에 작용하는 입자_j P의 내부 힘으로, 이러한 입자 사이의 거리를 일정하게 유지합니다.

기하학적 고체의 강체 시스템으로 모델링된 인체.걷는 사람의 더 나은 시각화를 위해 대표 뼈가 추가되었다.

이러한 힘 방정식의 중요한 단순화는 강성 시스템에 작용하는 결과 힘과 토크를 도입함으로써 얻을 수 있습니다.이 결과 힘과 토크는 시스템의 입자 중 하나를 기준점인 R로 선택하여 얻습니다. 여기서 각 외부 힘은 관련 토크를 더하여 적용됩니다.결과력 F와 토크 T는 다음 공식에 의해 주어진다.

\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\sum \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}({i}-\mathbf {R}) \mathbf {F}회

여기서_i R은 입자_i P의 위치를 정의하는 벡터입니다.

입자에 대한 뉴턴의 제2법칙은 산출되는 힘과 토크의 공식과 결합한다.

\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\sum \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R}회)

여기서 내력_ij F가 쌍으로 상쇄된다.강체의 운동학은 입자의 강체 시스템의 각속도 벡터 θ 및 각가속도 벡터 α뿐만 아니라 기준 입자의 위치 R 및 가속도 a의 관점에서 입자_i P의 가속도를 위한 공식을 다음과 같이 산출한다.

\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} ) +\mathbf {a} )

미사 속성

강체의 질량 특성은 질량의 중심과 관성 행렬로 나타납니다.조건을 만족하도록 기준점 R을 선택합니다.

\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}({i}-\mathbf {R})=0,}

그리고 그것은 계의 질량 중심이라고 알려져 있다.

기준점 R에 상대적인 시스템의 관성 행렬 [I_R]는 다음과 같이 정의된다.

[I_{R}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I}\left(\mathbf {S})_{i}\mathbf {S}_{i}-\mathbf {S}_S}_i}_mathbf {i

$\mathbf {S} _{i}$ 서 $(\$ })는 열 $벡터 i$ R - $R$ , $(\$ 는 $\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}$ 전치, I $(\$ 는 $\mathbf {I}$ 3x3 행렬입니다.

$\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}$ $\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}$ $\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}$ $(\displaystyle$ \ $mathbf$ { $S$ $})$ _ ${i$ }^{\ $textsf {T}_mathbf {S} _$ ${i$ $})$ 는 $\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}$ $(\$ $_i$ $})$ 의 스칼라 곱입니다. $bf {S} _{i}}$ 이 $\mathbf {S} _{i}$ 포함되어 있습니다.

Force-torque 방정식

질량 및 관성 매트릭스의 중심을 사용하여 단일 강체에 대한 힘 및 토크 방정식은 다음과 같은 형태를 취합니다.

\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\display \mathbf {T} =[I_{R}] \alpha +\Omega \times [I_{R} \ope ,

뉴턴의 강체에 대한 운동의 제2법칙으로 알려져 있습니다.

강체로 구성된 상호 연결된 시스템, $B i$ , $j$ $= 1$ , $...,$ $M$ 의 역학은 각 강체를 분리하고 상호작용력을 도입함으로써 공식화된다.각 물체에 가해지는 외부력과 상호작용력의 결과는 힘-토크 방정식을 생성한다.

\displaystyle \mathbf {F}_{j}=m_{j}\mathbf {a}_{j},\displaystyle \mathbf {T}_{j}=[I_{R}_{j}\alpha _{j}+\Omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\Omega _{j},\times j=1,\ldots,M.}

뉴턴의 공식은 M개의 ^[4]강체로 이루어진 시스템의 역학을 정의하는 6M의 방정식을 산출합니다.

3차원 회전

회전하는 물체는 토크의 영향을 받든 받지 않든 세차운동과 너테이션의 작용을 보일 수 있다.회전하는 고체의 거동을 설명하는 기본 방정식은 오일러의 운동 방정식입니다.

({displaystyle {\boldsymbol {D\mathbf {L}}}={Dt}}={dt}}+{\boldsymbol {L}}\times \mathbf {L}=mathbf {D(I\boldsymbol}}}}})I{\boldsymbol {\boldsymbol {\boldsymbol {\boldsymbol {\obe}}}+{\boldsymbol {\boldsymbol {\obe}}}}}

여기서 의사벡터θ와 L은 각각 물체의 토크와 각운동량, 스칼라I는 관성모멘트, 벡터θ는 각속도, 벡터α는 각가속도, D는 관성기준프레임의 차분, d는 물체와 고정된 상대기준프레임의 차분이다.

적용된 토크가 없을 때 이 방정식의 해답은 오일러의 운동 방정식과 포인소트의 타원체에서 논의된다.

오일러의 방정식에 따르면 회전축에 수직, 따라서 L에 수직인 토크 θ가 작용하여 θ와 L에 수직인 축을 중심으로 회전한다.이 운동을 세차운동이라고 합니다.세차운동 δ의_P 각 속도는 교차곱으로 ^{[citation needed]}구한다.

{\boldsymbol {\Omega}}={\mathrm {P}\times \mathbf {L}

자이로스코프의 세차 운동

세차운동은 축을 수평으로 하여 회전하는 상판을 한쪽 끝에 느슨하게 지지함으로써 입증할 수 있다(세차운동에 대한 마찰이 없음).예상대로 낙하하는 대신, 꼭대기는 축을 수평으로 유지함으로써 중력에 저항하는 것처럼 보인다. 축의 다른 한쪽 끝이 지지되지 않은 채로 있고 축의 자유 끝이 수평 평면에서 천천히 원을 묘사할 때, 결과적으로 세차 운동이 일어난다.이 효과는 위의 방정식으로 설명됩니다.상단의 토크는 장치의 질량 중심에서 아래로 작용하는 중력과 장치의 한쪽 끝을 지지하기 위해 위로 작용하는 등 두 가지 힘에 의해 공급됩니다.이 토크에서 발생하는 회전은 직관적으로 예상할 수 있는 것처럼 아래로 내려가는 것이 아니라, 장치를 하강시키는 원인이 되지만 중력 토크(수평 및 회전 축에 수직)와 회전 축(지지 지점에서 수평 및 바깥쪽) 모두에 수직이다. 즉, 수직 축을 중심으로 하여 기전을 일으킨다.e: 지지점을 중심으로 천천히 회전합니다.

일정한 토크 θ에서 세차운동 δ의_P 속도는 각운동량의 크기인 L에 반비례한다.

{\displaystyle\sin\theta,}_{\mathrm {P}}L\sin\theta,}

여기서 θ는 벡터 δ와_P L 사이의 각도이다.따라서 꼭대기의 스핀이 느려지면(예를 들어 마찰로 인해), 각운동량이 감소하여 세차운동 속도가 증가합니다.이는 장치가 자신의 무게를 지탱할 만큼 충분히 빠르게 회전할 수 없을 때까지 계속됩니다. 세차를 멈추고 지지대에서 떨어집니다. 이는 주로 세차운동에 대한 마찰이 추락을 야기하는 또 다른 세차운동을 유발하기 때문입니다.

관례상 토크, 스핀, 세차라는 이 세 벡터는 모두 오른손 법칙에 따라 서로 방향을 잡습니다.

세력은 강체에서 연기하는 가상일.

강체에 작용하는 힘의 가상 작업을 고려함으로써 다수의 편리한 특징을 가진 강체 역학의 대체 공식을 얻을 수 있다.

단일 강체의 다양한 지점에서 작용하는 힘의 가상 작용은 적용 지점의 속도와 결과 힘 및 토크를 사용하여 계산할 수 있다.이것을₁ 보려면 힘 F, F를₂...F는_n₁ 점 R, R₂ ...에 작용한다.강체_n 내 R.

R, $i$ $= 1$ , $...,$ $n$ 의_i 궤적은 강체의 움직임에 의해 정의된다.궤적을 따라 점 R의_i 속도는 다음과 같다.

\displaystyle \mathbf {V} _{i} = \times (\mathbf {R} _{i} - \mathbf {R} ) + \mathbf {V} , )

여기서 θ는 물체의 각속도 벡터이다.

가상 작업

각 힘의 도트곱과 접촉점의 변위로부터 작업이 계산된다.

\displaystyle \sum W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F}_{i}\cdot \cdot \mathbf {r}_{i}.}

강체의 궤적이 일련의 일반화

j

좌표q,

j

= 1

,

...,

m

에 의해 정의된다면, 가상 변위

δr

은_i 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \mathbf {r} _{i} = \sum _{j=1}^{m} {\frac q_{j} = \sum _{j} {\frac {\frac \mathbf {r} {{i}} {\frac {\mathbf} {{j}}

일반화된 좌표의 관점에서 물체에 작용하는 힘의 이 시스템의 가상 작업은

\displaystyle W=\mathbf {F}_{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m} {\frac \mathbf {V} _{1} {\flac {dot {q}}_{j}}\flac {{dot {j}\f}\f}\fright}\mathbf {F}_{{{{{f}\f}\f}\cdlight}\mathbf}\cd}\mathbf {f {F}_f}\f}

또는 $µq$ 의_j 계수를 수집한다.

\displaystyle W=\left(\sum _{i=1}^{n}_{i}\cdot {f}{i}}{{i}}{{i}}{{{1}}\right}\cdot q_{1}+\left(\sum _1bf}^{f}^{n}}{f}{f}{f}}}{f}{f}}{f}}{f}{f}}{f}{f}{f}{f}{f}{f}}{f}}}}{f}}}

일반화 힘

단순성을 위해 회전각과 같은 단일 일반화 좌표 q로 지정된 강체의 궤적을 고려하면 공식이 다음과 같이 된다.

\displaystyle W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F}_{i}\cdot {i}}{{dot {q}}}\right}\cdot =\left(\sum _i=1}^{n}\mathbf {CD}_F}_F}_{i}

이 방정식이 다음 형태를 취하도록 결과력 F와 토크 T를 도입한다.

\displaystyle W=\left(\mathbf {F} \cdot {f} \frac {dot {q}} + \mathbf {T} \cdot {boldsymbol {mega }} {\frac} \cdot {q} \f}

정의된 수량 Q

Q=\mathbf {F} \cdot {frac} {\mathbf {V}} {\cdot {t} + \mathbf {T} \cdot {t} {t} {t} {cdot {t}

는 가상 변위 µq와 관련된 일반화 힘이라고 알려져 있습니다.이 공식은 하나 이상의 일반화 좌표에 의해 정의된 강체의 움직임을 일반화한다.

\displaystyle \sum W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j}

어디에

{\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F}\cdot {f}{\dot {q}_{j}}+\mathbf {T}\cdot {t}{boldsymbol {mega}}}{\cdots}, jldots,1\dots,

중력 및 스프링 힘과 같은 보존력은 잠재적 에너지로 알려진 잠재적 $함수$ V $(q 1, ..., q n$ )에서 도출할 수 있다는 점에 유의하십시오.이 경우 일반화 힘은 다음과 같이 주어진다.

Q_{j}=-{\frac V}{\partial q_{j}},\display j=1,\ldots,m

이 가상의 원리의 달랑 베르의 형태이다.

강체의 기계적 시스템에 대한 운동 방정식은 달랑베르 형식의 가상 작업 원리를 사용하여 결정될 수 있습니다.가상 작업의 원리는 강체 시스템의 정적 평형을 연구하는데 사용되지만, 뉴턴의 법칙에 가속 용어를 도입함으로써 이 접근법은 동적 평형을 정의하기 위해 일반화된다.

정적 평형

기계적 시스템 강체의 정적 균형은 시스템의 가상 변위에 대해 적용된 힘의 가상 작업이 0이라는 조건으로 정의된다.이것은 가상 작업의 ^[5]원리로 알려져 있습니다.이는 모든 가상 변위에 대한 일반화 힘이 0이라는 요건, 즉_i Q=0과 같다.

$기계$ 시스템을 n개의 강체로 $구성$ 하고_i, $각$ 물체에 가해지는 힘의 결과물을 힘-결합 $쌍 i$ $F$ 와_i $T$ , i $=$ 1, $...,$ $n$ 으로 한다. 이러한 가해지는 힘은 물체가 연결되는 반력을 포함하지 않는다는 점에 유의한다.마지막으로 각 강체에 대한 $속도 i$ V 및 각 속도 $θ i$ , $i$ $= 1$ , $...,$ $n$ 이 단일 일반화 좌표 q로 정의된다고 가정한다.이러한 강체 시스템은 어느 정도의 자유도를 가지고 있다고 한다.

이 자유도 시스템에 적용되는 힘과 토크의 가상 $작업 i$ $F$ 와_i T는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F}_{i}\cdot {i}}{{dot {q}}+\mathbf {T}\cdot {i}{cdot {t}}{i}{cdot {t}}{cdt}{cdot {i}}{frac {i}}{{{{{{{{cdmboldsymbolmb}}}}}}}}}}}}{cdfrcd

어디에

({displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F}_{i})\cdot {frac {f}{i}+\mathbf {T}_{i}\cdot {frac {dotsymbol}_{i}}}}}{cdot {cdot {i}} {i}}}

이 하나의 자유도에 작용하는 일반화된 힘입니다.

기계 시스템이 m개의 일반화 $좌표 j$ , q, $j$ $= 1$ , $...,$ $m$ 에 의해 정의되는 경우, 시스템은 m개의 자유도를 가지며 가상 작업은 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \sum W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j}

어디에

{displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F}_{i}\cdot {i}) {{dot {q}_{j}+mathbf {T}_{i}\cdot {i} {cdot} {cdot} {i} {i} {cdot} {i} {i} {t} {t} {t} {t} {i} {t} {t} {i} {c} {t} {t} {cd} {cd} {

일반화

좌표 j

q와 관련된 일반화 힘입니다.가상 작업의 원리는 시스템에 작용하는 이러한 일반화된 힘이 0일 때, 즉 정적 평형이 일어난다고 말합니다.

Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots,m

$이들$ m방정식은 강체계의 정적 평형을 정의한다.

관성력 Generalized

결과력 F와 토크 T의 작용에 따라 움직이는 단일 강체를 생각해보자. 결과력에 대한 기준점과 토크가 물체의 질량의 중심이라고 가정하면, 일반화 $관성력$ Q $*$ 는 $일반화$ 좌표 Q와 관련된다.부러움

({displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A})\cdot {f}}{\frac {\frac {\dot {q}}}}-left([I_{R}}}){\boldsymbol {\ope}}}{\times[I_{\boldsymboldembol {\}}}}}}}}}}}}

이 관성력은 강체의 운동 에너지로부터 계산할 수 있다.

T=tfrac {1}{2}}M\mathbf {V}\cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}{\boldsymbol {{R}}\cdot [I_{R}}{\boldsymbol {obe }}

공식을 사용하여

Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {q}}}-{\frac {\frac T}{\partial q}}\오른쪽).

m개의 일반화 좌표를 가진 n개의 강체로 $이루어진$ 시스템은 운동 에너지를 가진다.

T=\sum _{i=1}^{n}\leftfrac {1}{2}M\mathbf {V}_{i}\cdot \mathbf {V}_{i}+{\tfrac {1}{\boldsymbol {i}{i}{\cdot {I

m의 일반화^[6] 관성력을 계산하는 데 사용할 수 있다.

{\displaystyle Q_{j}^*}=-\left({\frac {d}{dt}}){\frac {\partial {q}_{j}}}-{\frac {\frac {dots}}{{j}}}\right},\frac j=1,\ldots,m}.

동적 평형 상태

달랑베르의 가상작업 원리의 형태는 적용된 힘과 관성력의 합계의 가상작업이 시스템의 가상변위에 대해 0일 때 강체의 시스템은 동적 평형 상태에 있다고 말한다.따라서, m개의 일반화 좌표를 가진 n개의 강체로 이루어진 시스템의 동적 평형은 다음을 요구한다.

\displaystyle W=\left(Q_{1}+Q_{1)}^{*}\오른쪽)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}}^{*}\right)\sq_{m}=0,}

모든 가상 변위

µq

에_j 대해.이 조건은 m개의 방정식을

생성

한다.

Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots,m,

라고도 쓸 수 있다

{\displaystyle {frac {d} {\frac T} {\partial {q} _ {j}} - {\frac T} {\partial q_{j}} = Q_{j},\quad j=1,\ldots,m}.

결과는 강체 시스템의 역학을 정의하는 m개의 운동 방정식 세트입니다.

라그랑주 방정식

만약 일반화 힘_j Q가 전위 $에너지 V$ ( $q$ , ..., $q m$ )로부터₁ 유도될 수 있다면, 이러한 운동 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다.

{\displaystyle {frac {d} {\frac T} {\partial {q} {\frac T} {\partial q_{j}} =-{\frac V} {\frac V} {\partial q_{j},\frac j1,ldots,m}.

이 경우, 라그랑지안, $L$ $= T$ - $V$ 를 도입하면, 이러한 운동 방정식은

{frac {d} {\frac L} {\partial {q} _ {j}} - {\frac L} {\partial q_{j} = 0 \frac j= 1,\ldots, m.

이것들은 라그랑주의 운동 방정식으로 알려져 있다.

선형 및 각운동량

입자계

입자의 강체계의 선형 및 각운동량은 입자의 중심과 상대적인 위치와 속도를 측정하여 공식화됩니다.입자_i P, $i$ $= 1$ , $...,$ $n$ 의 시스템이 좌표_i r 및 속도_i v에 위치한다고 가정합니다. 기준점 R을 선택하고 상대 위치와 속도 벡터를 계산합니다.

\displaystyle \mathbf {r} _{i} = \left (\mathbf {r} _{i} \right) + \mathbf {R} , \mathbf {v} _{i} = specfrac {d} {d} {t} {d} {d} （ mathbf {r} _i} \mathbf {r} \mathbf} \mathbf} \mathb} {r} {r} \mathb}

기준점 R에 대한 총 선형 및 각 운동량 벡터는 다음과 같습니다.

{\displaystyle \mathbf {p} = subfrac {d} {dt} \left(\sum _ {i=1}^{n} m_{i}\left(\mathbf {r} _{i} \right) +\left(\sum _ {i=1}^{n} {n}\mathbf {i}\right} {\f})

그리고.

\displaystyle \mathbf {L} = \sum _{i=1}^{n_{i}\left(\mathbf {r} _{i} -\mathbf {R} \오른쪽)\times {frac {d}\left(\mathbf {r} _{i} - \sum} \light)\left(\mathbf {right)

R을 질량의 중심으로 선택하면 이 방정식은 다음과 같이 단순해집니다.

\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\display \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n} m_{i}\left(\mathbf {r} - \right)\times {frac {d} {t} {t} {lftf}}

단단한 입자계

이러한 공식을 강체에 특화하려면 P, i=1, …, n이 좌표 r_i 및 속도_i v에 의해 위치하도록_i 입자가 서로 견고하게 연결되어 있다고 가정합니다. 기준점 R을 선택하고 상대 위치 및 속도 벡터를 계산합니다.

\displaystyle \mathbf {r} _{i} = (\mathbf {r} - \mathbf {R} ) + \mathbf {R} , \times (\mathbf {r} _{i} - \mathbf {R} ) + \ mathbf {R} , \ times 。

여기서 θ는 시스템의 ^[7]^[8]^[9]각속도이다.

질량 R의 중심을 기준으로 측정된 이 강성 시스템의 선형 운동량과 각 운동량은 다음과 같다.

\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{i}\right)\mathbf {V},\sum \mathbf {L} =\sum _{i}m_{i}(\mathbf {i}-{i}\mathbf {i}번) \times}

이 방정식은 단순화되어

\mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\display \mathbf {L} =[I_{R}\obe ,

여기서 M은 시스템의 총 질량이고 [I_R]는 다음과 같이 정의된 관성 행렬의 모멘트입니다.

{\displaystyle [I_{R}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R],

여기서 [r_i - R]은 벡터_i r - R로 구성된 스큐-대칭 행렬입니다.

적용들

로보틱 시스템 분석용
동물, 인간 또는 인간형 시스템의 생체역학적 분석
공간 객체 분석용
강체의 ^[10]이상한 움직임을 이해하기 위해서.
자이로스코프 센서와 같은 다이내믹스 기반 센서의 설계 및 개발을 위한 것입니다.
자동차의 다양한 안정성 향상 응용 프로그램의 설계 및 개발을 위한 것입니다.
강체가 포함된 비디오 게임의 그래픽을 향상시키려면

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 1979년 뉴저지주 프렌티스홀, B. Paul, 평면기계의 운동학 및 역학
^ L. W. 차이, 로봇 분석:직렬 및 병렬 조작기의 기계학, John-Wiley, NY, 1999.
^ 브리태니커 백과사전, 뉴턴 운동법칙.
^ K. J. Waldron and G. L. Kinzel, Kinzel, Kinematics and Dynamics, and Design of Machine, 2차 Ed, John Wiley and Sons, 2004.
^ Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
^ T. R. 케인과 D.A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGrow-Hill, NY, 2005.
^ 를 클릭합니다Marion, JB; Thornton, ST (1995). Classical Dynamics of Systems and Particles (4th ed.). Thomson. ISBN 0-03-097302-3..
^ 를 클릭합니다Symon, KR (1971). Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7..
^ 를 클릭합니다Tenenbaum, RA (2004). Fundamentals of Applied Dynamics. Springer. ISBN 0-387-00887-X..
^ Gomez, R W; Hernandez-Gomez, J J; Marquina, V (25 July 2012). "A jumping cylinder on an inclined plane". Eur. J. Phys. IOP. 33 (5): 1359–1365. arXiv:1204.0600. Bibcode:2012EJPh...33.1359G. doi:10.1088/0143-0807/33/5/1359. Retrieved 25 April 2016.

추가 정보

E. 레이마니스(1965).고정된 점에 대한 결합된 강체 운동의 일반적인 문제(스프링거, 뉴욕).
W. B. Hear (2006)강체 구조: 수학, 물리, 응용 프로그램 (Wiley-VCH)

외부 링크

Chris Hecker의 강체 역학 정보
물리 기반 모델링: 원칙과 프랙티스
DigitalRune Knowledge Base에는 강체 역학에 관한 마스터 논문과 리소스 모음이 포함되어 있습니다.
F. Klein, "선 지오메트리와 강체의 역학과의 관련성에 대하여" (영어 번역)
F. 클라인, "로버트 볼 경의 나사 이론에 대하여" (영문 번역)
E. Cotton, "고정점 주변의 고체 변위에 대한 기하학적 연구에 케일리 기하학의 적용" (영어 번역)

[1] 1979년 뉴저지주 프렌티스홀, B. Paul, 평면기계의 운동학 및 역학

[2] L. W. 차이, 로봇 분석:직렬 및 병렬 조작기의 기계학, John-Wiley, NY, 1999.

[3] 브리태니커 백과사전, 뉴턴 운동법칙.

[4] K. J. Waldron and G. L. Kinzel, Kinzel, Kinematics and Dynamics, and Design of Machine, 2차 Ed, John Wiley and Sons, 2004.

[Torby1984-5] Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[6] T. R. 케인과 D.A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGrow-Hill, NY, 2005.

[7] 를 클릭합니다Marion, JB; Thornton, ST (1995). Classical Dynamics of Systems and Particles (4th ed.). Thomson. ISBN 0-03-097302-3..

[8] 를 클릭합니다Symon, KR (1971). Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7..

[9] 를 클릭합니다Tenenbaum, RA (2004). Fundamentals of Applied Dynamics. Springer. ISBN 0-387-00887-X..

[10] Gomez, R W; Hernandez-Gomez, J J; Marquina, V (25 July 2012). "A jumping cylinder on an inclined plane". Eur. J. Phys. IOP. 33 (5): 1359–1365. arXiv:1204.0600. Bibcode:2012EJPh...33.1359G. doi:10.1088/0143-0807/33/5/1359. Retrieved 25 April 2016.

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