베만 알고리즘

비만의 알고리즘은 순서 2의 일반적인 미분방정식을 숫자로 통합하는 방법인데, 보다 구체적으로 뉴턴의 운동 $x{\displaystyle \stackrel{}{}=}$ = ${\displaystyle A}$( ${\displaystyle x}$) ${\ddtstyle${\$ddot{x}=A(x)}}.$ 분자역학 시뮬레이션에서 입자를 많이 허용하도록 설계되었다$.$ 그 방법에는 직접적이거나 명시적이거나 암묵적인 변종이 있다. 다이렉트 변종은 1973년^[1] 스코필드에 의해 베만으로부터의 개인적인 의사소통으로 출판되었다. 이것이 흔히 베만의 방법이라고 알려진 것이다. 베를레 통합 방식의 변형이다. 동일한 위치를 생성하지만 속도에는 다른 공식을 사용한다. 1976년 베만(Beeman)은 암묵적(예측-코렉터) 다단계 방법의 클래스를 발표했는데^[2], 여기서 베만의 방법은 이 클래스에서 3차 방법의 직접적인 변형이다.

방정식

전체 예측 변수-코렉터^[2] 구조에서$$ 시간 $t{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ t$+\Delta t}$의 위치를 계산하는 데 사용되는 공식은 다음과 같다.

• $t{\displaystyle }$ 및 ${\displaystyle t}$ -${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ t {\displaystyle $t$${\text{}$ 및 }t-\$Delta$ t$}$의 데이터를 통해$$ x${\displaystyle (t}$+$Δ$ ${\displaystyle t}$) ${\$$displaystyle t${\text} 및 }}\$t-\Delta t$$}$ 예측

$displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t$$델타 t+{\frac{1}{6}{{$6}}{\$Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta$ t$^{4$ .

• Correct position and velocities at time ${\displaystyle t+\Delta t}$ from data at times ${\displaystyle t{\text{ and }}t+\Delta t}$ by repeated evaluation of the differential equation to get the acceleration ${\displaystyle a(t+\Delta t)}$ and of the equations of the implicit system

${\displaystyle {\begin}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\델타 t+{\frac{1}{6}{\Bigl (}a(t+\Delta t)+2a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\v(t+\Delta t)\\델타 t&=x(t+\Delta t)-x(t)+{\frac {1}{6}{{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+a(t)}{\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\end{arged}}}$

시험에서 이 교정기 단계는 최대 두 번 반복할 필요가 있는 것으로 나타났다. 오른쪽의 값은 마지막 반복의 이전 값이며, 왼쪽의 새 값이 된다.

예측 변수 공식과 속도 수정기만을 사용하여 Verlet 통합 방법의 변형인 직접 또는 명시적 방법을^[1] 얻는다.^[3]

${\displaystyle {\begin}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3});\end{aligned}}}$

이것이 보통 비만의 방법으로 이해되는 변종이다.

Beeman은^[2] 또한 마지막 방정식의 속도 업데이트를 다음 두 번째 순서로 Adams-Moulton 방법으로 대체할 것을 제안했다.

${\displaystyle v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{1}{12}}{\Bigl (}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t){\Delta t^}}}}$

어디에

• ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$이(가) 현재 시간(예: 독립 변수)
• ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$은(는) 시간 단계 크기임
• ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$은(는) 시간 t의 위치임
• ${\displaystyle v}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle v(t)}$은(는) 시간 t에서의 속도임
• ${\displaystyle a}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle a(t)}$은 시간 t에서의 가속으로, $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ x$(t)}$의 함수로 계산된다.
• 마지막 항은 큰 O 표기법을 사용한 오차항이다.

예측 변수-코렉터 수정

힘이 위치 외에 속도의 함수인 시스템에서는 보정된 형태의 속도를 생성하기 전에 $t{\displaystyle }$ +${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\Delta t}$의 속도를 예측하고$$ 계산하는 예측 변수-코렉터 형식으로 위의 방정식을 수정해야 한다.

예는 다음과 같다.

$[\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\델타 t+{\frac {2}{3}a(t)\델타 t^{2}-{\frac {1}{6}a(t-\Delta t)\델타 t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

시간 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ +${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle t=t+\Delta$ t$}$의 $속도$를 해당 위치에서 계산(예측)한다$$.

${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(prepected)}}=v(t)+{\frac {3}{2}}a(t)\델타 t-{\frac {1}{2}}a(t-\Delta t)\델타 t+O(\Delta t^{3}).}$

시간 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ = t${\displaystyle }$+${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle )}$의$가속도{\displaystyle }$ a(t+\$Delta t)$ {\$displaystyle$ a${\displaystyle (t}$$+\Delta$ $t$$)}$은(는) 위치 및 예측 $속도$에서 계산되고$$ 속도는 보정된다.

${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(수정)}=v(t)+{\frac {5}{12}a(t+\Delta t)\\델타 t+{\frac {2}{3}a(t)\델타 t-{\frac {1}{12}a(t-\Delta t)\델타 t+O(\Delta t^{3}).}$

오차항

As shown above, the local error term is ${\displaystyle O(\Delta t^{4})}$ for position and ${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$ velocity, resulting in a global error of ${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$. In comparison, Verlet is ${\displaystyle O(\Delta t^{2})}$ f또는 위치 및 속도. 정확성을 높이는 대신, 비만의 알고리즘은 계산적으로 다소 더 비싸다.

메모리 요구 사항

시뮬레이션은 입자당 위치, 속도, 가속도 및 이전 가속도 벡터를 추적해야 하며(이전의 가속도 벡터를 저장하기 위한 몇 가지 교묘한 해결책이 가능하지만), 메모리 요구조건을 속도 Verlet과 동등하고 원래의 Verlet 방법보다 약간 더 비싸게 유지해야 한다.

참조

• Sadus, Richard J. (2002), Molecular Theory of Fluids: Theory, Algorithms and Object-Orientation, Elsevier, p. 231, ISBN 0-444-51082-6