중간점법

수치해석에서는 응용 수학의 한 분야인 중간점 방법이 미분 방정식을 숫자로 풀 수 있는 1단계 방법이다.

${\displaystyle {}^{}y}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ y$'(t)=f(t,y(t),\property$ y$(t)={0}=y_{0$

명시적 중간점 방법은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left\left(t_{n}+{n}+{n}+{\frac {h}{2}}:f(t_{n}}}, y_{n}\rig)),\qquad \qquad(1e)}$

에 의한 암묵적 중간점 방법

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{n}+{h}{{n}}}:{2}}:(y_{n}+y_{n+1}\right)\qquad \qquad(1i)}$

for ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ Here, ${\displaystyle h}$ is the step size — a small positive number, ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$ and ${\displaystyle y_{n}}$ is the computed approximate value of ${\displaystyle y(t_{n}).$$}}$ 명시적$$ 중간점 방법은 때로는 수정된 오일러법이라고도 하며,^[1] 암묵적 방법은 가장 단순한 연접법이며, 공감적 통합자인 해밀턴 역학에도 적용된다. 수정된 오일러 방법은 헌의 방법을 참조할 수 있다는 점에 유의하십시오.[2] 자세한 내용은 런지-쿠타 방법 목록을 참조하십시오.

The name of the method comes from the fact that in the formula above, the function ${\displaystyle f}$ giving the slope of the solution is evaluated at ${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$ the midpoint between ${\displaystyle t_{n}}$ at which $y{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ y$(t)}$ 값을 알고 있으며$$, y (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle$ $t_{n$+1}의$$값을 찾아야$$ 하는$$ t ${\displaystyle n_{}}$ + ${\$ $t_{n+$1}의 값을 알고 있다.

기하학적 해석은 방법을 보다 직관적으로 이해할 수 있다(오른쪽 그림 참조). 기본 오일러의 방법에서${\displaystyle }$(${\displaystyle {tn}_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (t_{n},$${\displaystyle {}_{}}$${n}}}$에서 곡선의 탄젠트는 $f{\displaystyle }$( t ${\displaystyle n_{}}$, y )$${\$displaystyle f(t_{n},y_{n}})$를 사용하여 계산한다$.$ 다음 값 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}은$($는) 접선이 ${\displaystyle {\mathrm{수직선}}_{}}$ $t{\displaystyle }$= t n${\displaystyle {}_{}}$+ 1$${\$displaystyle t=$t_${n+1$}과 교차하는 위치에서 찾을$$ 수 있다$.$ 그러나 두 번째 파생상품이 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$} 사이에 양수만 있거나 또는$$(도표와 같이) 음수만 있으면 곡선이 접선으로부터 점점 멀어져 $h{\displaystyle }$ ${\displaysty h}$이 증가함에 따라 더 큰 오차가 발생한다. 도표는 중간점(상단, 녹색 선 세그먼트)의 접선이 해당 구간에서 곡선의 보다 정확한 근사치를 제공할 가능성이 높다는 것을 보여준다. 그러나 이 중간점 접선은 곡선을 모르기 때문에 정확하게 계산할 수 없었다. 대신 이 접선은 원래 오일러의 방법을 사용하여 중간점에서$$ $y{\displaystyle }$( $){\displaystyle$ y$(t)}$의 값을 추정한 다음 $f{\displaystyle }$($){\displaystyle f()}}$로 접선의 기울기를 계산하여 추정한다$.$ 마지막으로 개선된 접선 값을 ${\displaystyle {사용}_{}}$하여${\displaystyle {}_{}}$y n + ${\displaystyle 1_{}}$+ {\$displaystyle y_{n+$1}의$$ 값을 계산한다.${\displaystyle y_{}}$ n ${\$ 이 마지막 단계는 다이어그램의 빨간색 화음으로 표현된다. 빨간색 화음은 중간점에서$$ $y{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)}$의 값을 추정할 때의 오류로 인해 녹색 세그먼트(진정한 접선)와 정확히 평행하지 않다는 점에 유의하십시오.

중간점 방법의 각 단계에서 로컬 오류는 순서 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\$이며$,$ 순서 O (${\displaystyle }h{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ )${\$의 전역 오류를 나타낸다$.$ 따라서 오일러의 방법보다 연산 집약도가 높지만, 중간점 방법의 오차는 ${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로 h${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle h\to 0$에 따라 더 빨리 감소한다.

이 방법들은 룬지-쿠타 방법이라고 알려진 고차 방법의 종류에 대한 예들이다.

중간점 방법의 파생

중점법은 오일러법을 정교하게 다듬은 것이다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

유사한 방식으로 도출된다. 오일러의 방법을 도출하는 열쇠는 대략적인 평등이다.

$[\displaystyle y(t+h)\cH(t) 관련 y(t)+hf(t,y(t)\qquad \qquad$

경사 공식에서 얻은 것

${\displaystyle y'(t)\약간 {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}\qquad \qquad (3)}$

$그리고{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {\prime }^{}}$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ y$'=f(t,y$)를 명심하라$.$$}$

중간점 방법의 경우 (3)을 보다 정확한 것으로 대체한다.

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\오른쪽)\대략 {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}}$

(2) 대신에 우리가 찾을 때

${\displaystyle y(t+h)\worth y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}}, y\좌(t+{\frac {}{2}}\오른쪽)\오른쪽).\qquad \qquad (4)}$

$t{\displaystyle }$+ ${\displaystyle h}$${\displaystyle }$/${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle t+h/$2}에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 모르기 때문에$$ 이 방정식을 사용하여 y${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle h}$/ 2 ${\displaystyle )}$ ${\displaysty$y$(t+h/$$2$)를 찾을 수 없다$.$ 해결 방법은 오일러 방법을 사용하여 $y{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle h}$ ) {\displaysty y(t+$h/2$)$$:2)를 해결하듯이 정확하게 테일러 시리즈 확장을 사용하는 것이다.

${\displaystyle y\ft(t+{\frac {h}{2}}\\오른쪽)\대략 y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t),}$

(4) 플러그를 꽂으면

${\displaystyle y(t+h)\worth y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)\right)}}}$

및 명시적 중간점 방법(1e).

암시적 방법(1i)은 $y{\displaystyle (t}$) ${\displaystyle y(t)}$에서 $h) {\displaystyle$y$($t)}까지 선 세그먼트의 중간점으로 절반$$ 단계 $t{\displaystyle }$+ ${\displaystyle h\mathrm{}}$ /${\displaystyle }$2$${\$displaystyty t+h/2}$의 값을 근사하게 계산하여 얻는다.

${\displaystyle y\왼쪽(t+{\frac {h}{2}}\오른쪽)\약간 {\frac {1}{1}{1}:{2}}: {\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}}}}}$

따라서

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

$(t$ ${\displaystyle n_{}}$+ h$$) ${\displaystyle y_$${$$n}+h$$\,k$$}$에 대한 근사치를 $삽입$하면 암시적 Runge-Kutta 메서드가 생성됨$$

${\displaystyle {\ligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\오른쪽)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aigned}}}}$

스텝 크기 h$$ / $2{\displaystyle }$ $displaystyle$ h/2}을$(를)$ 첫 번째 부분으로 하는 암시적 오일러 방법을 포함한다.

암묵적 방법의 시간 대칭 때문에 로컬 $오류$의 h ${\displaystyle h}$에서 짝수 정도의 모든 항이 취소되므로 로컬 오류는 $자동$으로 O (${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle {\mathcal{O}(h^{3}).$암묵적 방법을 $\displaystyl$의 결정에서 명시적 오일러 방법으로 대체한다.$e k}$ 결과는$$ 다시 명시적 중간점 방법으로 나타난다.

참고 항목

• 직사각형법
• 헌의 방법
• Leapfrog 통합 및 Verlet 통합

메모들

참조

• Griffiths,D. V.; Smith, I. M. (1991). Numerical methods for engineers: a programming approach. Boca Raton: CRC Press. p. 218. ISBN 0-8493-8610-1.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-00794-1.
• Burden, Richard; Faires, John (2010). Numerical Analysis. Richard Stratton. p. 286. ISBN 0-538-73351-9.