역분화식

역분화식(BDF)은 일반 미분방정식의 수치적 통합을 위한 암묵적 방법의 계열이다.그것들은 주어진 함수와 시간 동안 이미 계산된 시점의 정보를 사용하여 그 함수의 파생상품에 근사치를 나타내는 선형 다단계 방법이며, 따라서 근사치의 정확도를 증가시킨다.이러한 방법은 특히 경직된 미분방정식의 해법에 사용된다.그 방법들은 찰스 F에 의해 처음 도입되었다. 커티스와 조셉 오 1952년 ^[1]허쉬펠더

일반식

BDF는 초기값 문제를 해결하기 위해 사용된다.

${\displaystyle y'=f(t,y),\display y(t_{0})=y_{0}.}$

BDF의 일반적인 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s}a_{k}y_{n+k}=h\nmp f(t_{n+s},y_{n+s}),}$

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은 단계 크기 및${\displaystyle {}_{}}t{\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$를 나타내며, t = t 0 + n h$${\$displaystyle t_{n}=t_{0}+nh$ f ${\displaystystyle f}$는 알려지지 않은 ${\displaystyle y_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대해 평가되므로$,$ BDF 방법은 암시적이며, 각 단계에서 비선형 방정식의 해법이 필요할 수 있다.${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle$ $a_{k}$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$을(를$)$ 선택하여$$ 가능한 최대값인 s $순서$를 달성한다$.$

계수의 파생

Starting from the formula ${\textstyle y'(t_{n+s})=f(t_{n+s},y(t_{n+s}))}$ one approximates ${\displaystyle y(t_{n+s})\approx y_{n+s}}$ and ${\displaystyle y'(t_{n+s})\approx p_{n,s}'(t$$_{n+s})}$, where ${\displaystyle p_{n,s}(t)}$ is the Lagrange interpolation polynomial for the points ${\displaystyle (t_{n},y_{n}),\ldots ,(t_{n+s},y_{n+s})}$. Using that ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$ and multiplying by ${\displaystyle h}$$$주문 $s{\displaystyle }${\$displaystyle s}$의 BDF 메서드에 도착한다$.$

특정 공식

s < 7이 있는 s-step BDF는 다음과 같다.^[3]

• BDF1:
  $${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}=hf(t_{n+1},y_{n+1}}}$$

  
  (이것이 후진 오일러 방법이다)
• BDF2:
  $${\displaystyle y_{n+2}-{\tfrac {4}{3}y_{n+1}+{\tfrac {1}{1}{3}y_{n}={\tfrac {2}{3}hf(t_{n+2},y_{n+2})}}}}}}}}}$$

  
• BDF3:
  $${\displaystyle y_{n+3}-{\tfrac {18}{11}y_{n+2}+{\tfrac {9}{11}{n+1}-{11}{11}Y_{n}={11}hf(t_{n+3}},y_{n+3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

  
• BDF4:
  $${\displaystyle y_{n+4}-{\tfrac {48}{25}}y_{n+3}+{\tfrac {36}{25}}y_{n+2}-{\tfrac {16}{25}}y_{n+1}+{\tfrac {3}{25}}y_{n}={\tfrac {12}{25}}hf(t_{n+4},y_{n+4})}$$

  
• BDF5:
  $${\displaystyle y_{n+5}-{\tfrac {300}{137}}y_{n+4}+{\tfrac {300}{137}}y_{n+3}-{\tfrac {200}{137}}y_{n+2}+{\tfrac {75}{137}}y_{n+1}-{\tfrac {12}{137}}y_{n}={\tfrac {60}{137}}hf(t_{n+5},y_{n+5})}$$

  
• BDF6:
  $${\displaystyle y_{n+6}-{\tfrac {360}{147}}y_{n+5}+{\tfrac {450}{147}}y_{n+4}-{\tfrac {400}{147}}y_{n+3}+{\tfrac {225}{147}}y_{n+2}-{\tfrac {72}{147}}y_{n+1}+{\tfrac {10}{147}}y_{n}={\tfrac {60}{147}}hf(t_{n+6},y_{n+6})}$$

  

s > 6의 방법은 영점 안정성이 없으므로 사용할 수 없다.^[4]

안정성

뻣뻣한 방정식을 풀기 위한 수치적 방법의 안정성은 절대 안정성의 영역으로 나타난다.BDF 방법의 경우 아래 그림에 이러한 영역이 표시되어 있다.

이상적으로 이 지역은 복합면의 왼쪽 절반을 포함하고 있는데, 이 경우 방법은 A-안정적이라고 한다.단, 순서가 2보다 큰 선형 다단계 방법은 A-안정적일 수 없다.고차 BDF 방법의 안정성 영역은 왼쪽 반면의 큰 부분과 특히 음의 실제 축 전체를 포함한다.BDF 방법은 이러한 종류의 가장 효율적인 선형 다단계 방법이다.^[4]

참조

인용구

참고 작품

• Ascher, U. M.; Petzold, L. R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia, ISBN 0-89871-412-5.
• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-00794-1.

추가 읽기

• SUNDIAHS wiki에서의 BDF 방법 (SUNDIAHS는 BDF 방법과 유사한 알고리즘을 구현하는 라이브러리)