일반 선형 방법

일반 선형법(GLM)은 일반적인 미분방정식에 대한 수치해결을 얻기 위해 사용되는 대규모의 수법이다.여기에는 중간 콜러케이션 포인트를 사용하는 다단계 런지-쿠타 방법과 솔루션의 유한한 시간 이력을 저장하는 선형 다단계 방법이 포함된다.존 C. 푸줏대감은 원래 이러한 방법들을 위해 이 용어를 만들었고, 이 주제에 대한 일련의^[3][5] 리뷰 논문들을^[1][4] 저술했다.그의 협력자인 Zdzislaw Jackiewicz도 이 주제에 관한 광범위한 교과서를^[6] 가지고 있다.원래 방법의 등급은 푸에르토(1965), 기어(1965), 그리고 그라그와 스테터(1964)에 의해 제안되었다.

일부 정의

1차 일반 미분방정식의 수치적 방법은 형태 초기값 문제에 대한 해법 근사치

${\displaystyle y'=f(t,y),\display y(t_{0})=y_{0}.}$

${\displaystyle {결과}_{}}$는 이산 시간 $t$ ${\$에서 $y{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)}$ 값에 대한 근사치 입니다$.$

${\displaystyle y_{i}\관련 y(t_{i})\reason {\text}\where}\reason t_{i}=t_{0}+ih,}$

여기서 h는 시간 단계(때로는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$라고도 함)$$이다.

방법에 대한 설명

이 방법은 다른 곳에서 찾을 수 있지만, 우리는 Pps 189–190인 도살자(2006), 우리의 설명을 따른다.

일반 선형 방법은 두 정수인 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$\},$ 역사상의 시점 수 및 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$\},$ 콜러레이션 포인트 수를 사용한다.$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r=1}$의 경우 이러한 방법은 고전적인 Runge-Kutta 방식으로 감소하고$,$ $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s=1}$의 경우 이러한 방법은 선형 다중 단계 방식으로 감소한다$.$

Stage values ${\displaystyle Y_{i}}$ and stage derivatives, ${\displaystyle F_{i},i=1,2,\dots s}$ are computed from approximations, ${\displaystyle y_{i}^{[n-1]},i=1,\dots ,r}$, at time step ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle y^{[n-1]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n-1]}\\y_{2}^{[n-1]}\\\vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{matrix}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{matrix}}\right],\quad Y=\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\\Y_{s}\end{matrix}\right],\quad F=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{matrix}\right]=\[{\begin{matrix}f(Y_{1})\f(Y_{2})\\vdots \f(Y_{s}}}}}}\right].}$

스테이지 값은 $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ A$=[a_{ij}]}$ $및$ U${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ U$=[u_{ij}]}$의 두 행렬로 정의된다$.$

${\displaystyle Y_{i}=\sum _{j=1}a_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}u_{ij}y}^{j}^{n-1]},\qquad i=1,2,\dots,s,}$

${\displaystyle {시간}^{}}$ $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 업데이트는 $B{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle b_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ B$=[b_{ij}]$ 및$$ $V{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[v ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V=[v_{ij}]}}$의 두 행렬로 정의된다$.$

${\displaystyle y_{i}^{n}^{j=1}=\sum _{j}hF_{j}+\sum _{j=1}^{j=1}v_{j}y_{j}^{n-1]}^,\qquad i=1,2,\dots,r.}}$

$A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle U,}$ B ${\displaystyle A,U,B}$ 및 $V$ ${\displaystyle V}$의 네 행렬을 고려할 때$,$ 다음과 같이 푸줏대감의 아날로그를 콤팩트하게 쓸 수 있다.

$왼쪽[{\displaystyle \ft]Y\\\y^{n}\end{matrix}\오른쪽]=\왼쪽[{\begin{matrix}A\time I&U\time I\\B\time I&V\time I\end{matrix}\오른쪽]\왼쪽[{\begin{matrix}hF\\y^{[n-1]}\end{매트릭스}\오른쪽,}$

여기서 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$은 텐서 제품을 의미한다$$.

예

우리는 (Butcher, 1996)에 설명된 예를 제시한다.^[7]이 방법은 단일 중간 단계 값뿐만 아니라 시간 이력에 대한 추가 정보를 사용하는 단일 '예측된' 단계와 '수정된' 단계로 구성된다.

중간 단계 값은 선형 다단계 방법에서 온 것처럼 보이는 것으로 정의된다.

${\displaystyle y_{n-1/2}}^{*=y_{n-2}+h\left\frac {9}{8}f(y_{n-1})+{3}{8}{8}f(y_{n-2})\right).}$

초기 '예측자' ${\displaystyle y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 단계 $값{\displaystyle {}_{}^{}}$ y -${\displaystyle 1_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 두 개의 시간 기록과 함께$$ 사용한다$$.

${\displaystyle y_{n}^{*}={\frac {28}{5}}y_{n-1}-{\frac {23}{5}}y_{n-2}+h\left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f(y_{n-2})\right),}$

최종 업데이트는 다음과 같다.

${\displaystyle y_{n}={\frac {32}{31}}y_{n-1}-{\frac {1}{31}}y_{n-2}+h\left({\frac {5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4}{31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\right).}$

이 방법에 대한 간결한 표 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \left는 경우에는{\begin{배열}{ccc cccc}0&, 0&, 0&, 0&, 1&,{\frac{9}{8}}&{\frac{3}{8}}\\{\frac{32}{15}}&0&, 0&,{\frac{28}{5}}&-{\frac{23}{5}}&-4&, -{\frac{26}{15}}\\{\frac{64}{93}}&{\frac{5}{31일}}&0&,{\frac{32}{31일}}&-{\frac{1}{31일}}&{\frac{4}{31일}}&-{\frac{1}{93}}\\\hline{\frac.{64}{93}}&{\frac{5}{31일}}&0&,{\frac{32}{31일}}&-{\frac{1}{31일}}&,{\frac{4.}}{31}&-{\frac {1}{93}\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&#0&0&0&0&#0&#0&#0&0&0&0&#\end{array}\ri}\rig}\right].}$

참고 항목

• 룬게-쿠타 방법
• 선형 다중 단계 방법
• 일반 미분방정식의 수치적 방법

메모들

참조

• Butcher, John C. (January 1965). "A Modified Multistep Method for the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations". Journal of the ACM. 12 (1): 124–135. doi:10.1145/321250.321261. S2CID 36463504.
• Gear, C.W. (1965). "Hybrid Methods for Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. 2 (1): 69–86. Bibcode:1965SJNA....2...69G. doi:10.1137/0702006. hdl:2027/uiuo.ark:/13960/t4rj60q8s.
• Gragg, William B.; Hans J. Stetter (April 1964). "Generalized Multistep Predictor-Corrector Methods". Journal of the ACM. 11 (2): 188–209. doi:10.1145/321217.321223. S2CID 17118462.
• Hairer, Ernst; Wanner, Wanner (1973), "Multistep-multistage-multiderivative methods for ordinary differential equations", Computing, 11 (3): 287–303, doi:10.1007/BF02252917, S2CID 25549771.

외부 링크

• 일반 선형 방법