사다리꼴 규칙(차등 방정식)

수치해석 및 과학적 계산에서 사다리꼴 규칙은 컴퓨터 통합에 대한 사다리꼴 규칙에서 도출된 일반적인 미분 방정식을 푸는 숫자 방법이다.사다리꼴 법칙은 암묵적인 2차법으로서, 룬게-쿠타법과 선형 다단계법 둘 다로 간주할 수 있다.

방법

우리가 미분 방정식을 풀려고 한다고 가정하자.

$[\displaystyle y'=f(t,y)]}$

사다리꼴 규칙은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac{1}{1}{1}{1}{1}{1}:{1}{2}}h{{n}}\Big (}f({f(t_{n}},y_{n}})+f(t_{n+1},y_{n+1}}}}}}}}}}}}}}{n+1}}}}}}}}{n+1}}}\Big )}}$

여기서 $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 단계 크기입니다.^[1]

이것은 암묵적인 방법이다: $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$+ 1 ${\$라는 값이 방정식의 양쪽에 나타나는데$$, 실제로 계산하기 위해서는 보통 비선형일 방정식을 풀어야 한다.이 방정식을 풀 수 있는 한 가지 가능한 방법은 뉴턴의 방법이다.우리는 오일러 방법을 사용하여 용액에 대해 상당히 좋은 견적을 얻을 수 있는데, 이것은 뉴턴의 방법의 초기 추측으로 사용될 수 있다.^[2]간단히 말해서 오일러스의 방법에서 추측하는 것만을 사용하는 것은 헌의 방법을 수행하는 것과 같다.

동기

$t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에서 t${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ + 1 ${\$까지의 미분 방정식을 통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}^{n+1}f(t,y(t)\,\mathrm {d} t.}$

사다리꼴 규칙은 우측의 적분은 다음과 같이 근사하게 추정할 수 있다고 명시한다.

${\displaystyle \int_{t_{n}^{t_{n+1}f(t,y(t))\\mathrm {d}t\약 {\tfrac {1}{1}{1}{1}{2}}h{\Big(}f_{n}}})+f(t_{n+1},y({n+1})}){n+1}){n+1}){{{n+1}){{{{{{{{{n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\Big )}.}$

${\displaystyle {이제}_{}}$ 두 공식을 모두 조합하여 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y}$( ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle y_{n}\t_{$n}\$t(t_{n}})$ $및$ ${\displaystyle y_{}}$n + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$ y${\displaystyle ({\mathrm{t}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{n+1}\clat y(t_{n+1})$를 사용하여$$ 일반적인 미분식을 해결하십시오.^[3]

오류분석

미분방정식을 해결하기 위한 사다리꼴 규칙의$$ 국소 절단 오류 ${\displaystyle {\tau n}_{}}$ ${\$는 다음과 같이 경계할 수 있다.

${\displaystyle \tau_{n} \leq {\tfrac {1}{12}h^{3}\max_{t}y'(t) .}$

따라서 사다리꼴 규칙은 2차법이다.^{[citation needed]}이 결과를 사용하여 $스텝{\displaystyle }$크기 h {\$displaystyle$ h}이$($가) 0이 되는$$ 경향이 있으므로$$ 전역 $오류$가 O${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$2 )$${\$displaystyle O(h^{2})$임을 표시할 수 있다(이 말의 의미는 큰 O 표기법 참조).^[4]

안정성

사다리꼴 규칙에 대한 절대 안정성의 영역은

${\displaystyle \{z\in \mathb {C} \mid \operatorname {Re}(z)<0\}}$

여기에는 왼쪽 반면이 포함되므로 사다리꼴 규칙은 A-안정적이다.두 번째 달퀴스트 장벽은 사다리꼴 규칙이 A-안정적인 선형 다단계 방법 중 가장 정확하다고 명시한다.더 정확히 말하면, A-안정적인 선형 다단계 방법은 최대 순서 2를 가지며, 2차 순서 A-안정적인 선형 다단계 방법의 오차 상수는 사다리꼴 규칙의 오차 상수보다 좋을 수 없다.^[5]

사실 사다리꼴 통치에 대한 절대 안정성의 영역은 정확히 왼쪽 반쪽 평면이다.즉, 사다리꼴 규칙을 선형 시험 방정식 y' = yy에 적용하면 정확한 용액이 적용되는 경우에만 숫자 용액이 0으로 분해된다.

메모들

참조

• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521007941.

참고 항목

• 크랭크-니콜슨법