보다 나은 준주문

순서 이론에서 준주문이나 bqo는 어떤 종류의 불량배열을 인정하지 않는 준주문이다. 모든 더 나은 준주문은 준주문이다.

동기

준주문 잘 하는 것이 매력적인 개념이지만, 많은 중요한 비위생적인 운영은 준주문 잘 보존되지 않는다. Richard Rado에 의한 예는 이것을 보여준다.^[1] 1965년 논문에서 크리스핀 내시-윌리엄스는 Ω의 나무 등급이 위상학적 소관계로 잘 정렬되어 있다는 것을 증명하기 위해 더 강력한 준주문 개념을 공식화했다.^[2] 이후 많은 준주문이 준주문이 더 나은 준주문임을 입증해 준주문임을 입증했다. 예를 들어, 리차드 라이버는 산란된 선형 순서 유형의 등급이 준순서가 더 잘 되어 있다는 것을 증명함으로써 라버의 정리(이전의 롤랜드 프레이제 추측)를 확립했다.^[3] 보다 최근에 카를로스 마르티네즈-라네로는 적절한 강제 공리 하에서 아론자즈엔 라인의 등급이 임베디빌리티 관계에 따라 더 잘 준주문된다는 것을 증명했다.^[4]

정의

첫 번째 용어가 생략된$$ 시퀀스 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {_{*}x}$에 대해$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle x}$을(를) 쓰는 것이 더 나은 준주문 이론에서 흔히 볼 수 있다. ;ω{\displaystyle[\omega]^{<>\omega}} 플레이어와 한정되어의 세트별 엄격하게ω{\displaystyle \omega}의 조건을 시퀀스를 늘리고,[ω] 대해 관련 ◃{\displaystyle \triangleleft}을 정의하고, ω{\displaystyle[\omega]^{<>\omega}}:s◃ t{\displaystyle s\trian 따르[ω]<>를 써라.gleleft t}$$ ∈[ < $[\$이(가) 있는 경우 s ${\displaystyle$ s$}$은(는) $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ $u$$}$ 및 $t$ =${\displaystyle {}_{}}$∗ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyt={*}$의 엄격한 초기 세그먼트인$$ 경우$.$ 관계 $◃{\displaystyle }$ ${\displaystyle \triangleleleft }$은(는) transitive가 아니다$$.

[ω]<>의⋃ B{\bigcup B\displaystyle}의 모든 무한한 부분 집합의 초기 segment[해명 필요한]가 들어 있는 블록 B{B\displaystyle}은 무한한 부분 집합;ω{\displaystyle[\omega]^{<>\omega}}.quasi-order Q{Q\displaystyle}내용은 Q{Q\displaystyle}-pattern은 함수로.M몇몇 블록 B{\displ.Aystyle B}Q{Q\displaystyle}에. Q{Q\displaystyle}-pattern f:B→ Q{\displaystyle f\colon B\to Q}만약 f모든 쌍에≰ Qf({\displaystyle f(s)\not \leq_{Q}(t)}[해명 필요한], t∈ B{\displaystyle s,t\in B}가 s◃ t{\displaystyle s\trian(s) 나쁜 것으로 알려져 있다.gleleft t};otherwis$e{\displaystyle }$ f$[\displaystyle f}$가 좋다. 준주문 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ $-패턴$이 없는 경우 준주문 Q$${\$displaystyle$ Q$}$을(를) 더 나은 준주문이라고 한다$$.

이 정의를 쉽게 사용하기 위해 내시윌리엄스는 포함 관계 under${\디스플레이스타일 \subset }$에서 요소들이 쌍으로 비교할 수 없는 블록으로 정의한다$.$ $Q{\displaystyle }$ ${\디스플레이스타일$ $Q$$}$ -array는 영역이 $장벽$인 Q ${\displaystyle$ Q$}$ -pattern이다$$. 모든 블록에 장벽이 포함되어 있음을 관찰함으로써, $나쁜{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle Q}$ -array가$$ 없는 경우에만 $Q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $Q}$이(가) 더 나은 준주문임을$$ 알 수 있다.

심슨의 대체 정의

심슨은 보렐 함수$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Omega {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ → ${\displaystyle Q}${\$displaystyle [\omega$^{\$omega }}\to$ Q$}$에 대한 더 나은 준주문 정의의 대안을 도입했다$.$ 여기서 [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {}^{}}$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $[\$$omega ^{\$$omega$ $\}\}\}\}\}\}\}$의 무한 부분 집합은 일반적인 제품 토폴로지가 주어진다$.$^[5]

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) 준순서가 되도록$$ 하고 Q ${\displaystyle Q}$을(를) 이산 위상과 함께$$ $내십시오{\displaystyle }$. A ${\displaystyle Q}$-array is a Borel function ${\displaystyle [A]^{\omega }\to Q}$ for some infinite subset ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle \omega }$. A ${\displaystyle Q}$-array ${\displaystyle f}$ is bad if ${\displaystyle f(X)\not \leq _$$모든$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle A}$$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ $[\$ X$\in [A]^{\omega$ $\}\};$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 그렇지 않으면 좋다$.$ 준주문 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은(는) 이러한 의미에서 나쁜 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ -array가$$ 없다면 더 나은 준주문이다.

주요 정리

보다 나은 준주문 이론의 많은 주요 결과는 심슨의 논문에서^[5] 다음과 같이 나타나는 최소 배드 배열 보조정리법의 결과들이다. 최소 불량배열 보조정리기가 그 결과로 처음 언급된 Laver의 논문도 참조하십시오.^[6] 이 기술은 내시윌리엄스의 1965년 논문 원본에 실렸다.

$({\displaystyle }$ Q${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q_{}}$) ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})$이 준순서라고 가정합시다.^{[clarification needed]} A partial ranking ${\displaystyle \leq '}$ of ${\displaystyle Q}$ is a well-founded partial ordering of ${\displaystyle Q}$ such that ${\displaystyle q\leq 'r\to q\leq _{Q}r}$. For bad ${\displaystyle Q}$-arrays (in the sense of Simpson) ${\displaystyle f\co$$[A]^{\omega }\to$ $Q}$ 및 g${\displaystyle }$: [$B$]${\displaystyle {}^{\Omega }}$ → ${\displaystyle g\$colon [$B]^{\omega }\to Q},$ 정의$:$

${\displaystyle g\leq ^{*}f{{*}f{\text{{}}{{}B\subseteq A{\text{}}g(X)\leq 'f(X){\text{}}}{}}}}}}{}}}}}}}}{{}}}}}}}}}의 경우$

${\displaystyle g<^{*}f{\text{{\text{}}{{}B\subseteq A{\text{}g(X){'f(X){\text{{}} 매 }X\in[B]^{\omega }}}}}}}}}$

는 나쁜 $Q{\displaystyle }$ $displaystyle$ $Q{\displaystyle }$$}$ -array$$ $g}$은(부분적인 순위 $\le {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ {\$displaystyle$Q} $-array$ f$<{*}g$와 같은$$ 나쁜 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$$}$이(부분적인 순위 ≤ $\$ {\$displaystystyleq$가 최소 불량이라고 말한다. $≤{\$ 및$$<and ${\$의 정의는 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$의 부분 순위 ${\displaystyle {\le }^{}}$ ranking ${\$에 따라 달라진다$.$ 관계<$<{\$은 관계 $≤{\$^{*}}}의 엄격한 부분이 아니다$.$

정리(최소 불량배열 보조정리). $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) 부분 순위가 장착된 준순서로 하고$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 불량 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ -array라고$$ 가정한다. 그 다음 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ $Q}$ -array$$ g ${\displaystyle$ $g\leq ^{*}f}$와 같은 최소한의 불량 $Q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $g}$이(가) 있다$.$

참고 항목

• 웰 준주문
• 순서가 좋은

참조