측정 가능한 함수

수학 및 특히 측정 가능한 이론에서 측정 가능한 함수는 공간의 구조를 보존하는 두 측정 가능한 공간의 기초 집합 사이의 함수다. 즉, 측정 가능한 집합의 사전 이미지는 측정할 수 있다. 이는 위상학적 공간들 사이의 연속적인 기능이 위상학적 구조를 보존한다는 정의와 직접적으로 유사하다: 모든 오픈 세트의 프리이미지가 열려 있다. 실제 분석에서 측정 가능한 함수는 르베그 적분 정의에 사용된다. 확률론에서 확률공간의 측정 가능한 함수는 랜덤 변수로 알려져 있다.

형식 정의

Let ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ and ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ be measurable spaces, meaning that ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are sets equipped with respective ${\displaystyle \sigma }$-algebras ${\displaystyle \Sigma }$ and ${\displaystyle \mathr$$m {T} .}$ A function ${\displaystyle f:X\to Y}$ is said to be measurable if for every ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ the pre-image of ${\displaystyle E}$ under ${\displaystyle f}$ is in ${\displaystyle \Sigma }$; that is, for all ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$

즉, $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{f}}$) ${\displaystyle \subseteq }$ \ \${\displaystyle }$\ , ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq$ $\Sigma$,} 여기서$$$\sigma {\displaystyle }$($f)$는 f에 의해 생성된 σ-algebra이다$.$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 측정 가능한 함수라면, 우리는 작성하겠다.

$\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebras$$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Sigma }$ $및$ T${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathrm {T}$에 대한 종속성을 강조하려면

용어사용변동

위의 정의에서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebras의$$ 선택은 때때로 암시적이며 상황에 따라 그대로 둔다. 예를 들어, $R{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb${$R$${\displaystyle \mathbb{}}$$} ,}$ C${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {C},}$ 또는$$ 기타 위상학적 공간인 경우, 보렐 대수(열린 세트를 모두 포함)는 일반적인 선택이다. 일부 저자들은 측정 가능한 함수를 보렐 대수학에 관해서만 오로지 실제 가치로 정의한다.^[1]

함수의 값이 무한 차원 벡터 공간에 있는 경우, 약한 측정 가능성과 Bochner 측정 가능성과 같은 측정 가능성의 다른 비등분 정의가 존재한다.

주목할 만한 등급의 측정 가능한 기능

• 무작위 변수는 정의상 확률공간에 정의된 측정 가능한 함수다.
• If ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ and ${\displaystyle (Y,T)}$ are Borel spaces, a measurable function ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ is also called a Borel function. 연속함수는 보렐함수지만 모든 보렐함수가 연속적인 것은 아니다. 그러나, 측정할 수 있는 함수는 거의 연속함수다; 루진의 정리를 보라. Borel 함수가 지도 $Y{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{\text{x}}}$X , ${\displaystyle$ Y$\xrightarrow {~\pi ~}X$의 섹션이 되는 경우$,$ Borel 섹션이라고 한다.
• A Lebesgue measurable function is a measurable function ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$ where ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is the ${\displaystyle \sigma }$-algebra of Lebesgue measurable sets, and ${\displaystyle {\mathcal{B}}_{}}$${\displaystyle {}_{\mathbb{C}}}$ ${\$${\$$mathb {C}}}}$은(는$$) 복합수 $C{\displaystyle \mathbb{}}$. {\$displaystyle \$mathb {$C}.}$Lebegue의$$ 측정 가능한 함수는 통합이 가능하기 때문에 수학 분석에 관심이 있다${\displaystyle .}$ 경우 f:X→ R,{\displaystyle f:X\to \mathbb{R},}f{\displaystyle f}은Lebesgue 측정 가능한 iff{f>α}){)∈ X:f())>α}{\displaystyle\와 같이{f>, \alpha)}=\{x\in X:f())>, \alpha)}}모든 α ∈ R.{\displaystyle \alpha\in \mathbb{R}.}측정할 수 있을 것 이것은 또한 어떤 것에 해당합니다.{f) { f< { f $},$ { \$deplaystyle \{f\geq$\ \ $\},\{f\leq \alpha$\}}}, 모든 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaysty$ \alpha}$또는$ 모든$$ 열린$$세트의 사전 이미지를 측정할 수 있다. 연속함수, 단조함수, 스텝함수, 세미콘틴함수, 리만-통합함수, 경계변동함수 등은 모두 르베게그 측정이 가능하다.^[2] $함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle C\mathbb{}}${\$displaystyle$ f$:X\to \mathb {C} }$은(는) 실제 부분과 가상 부분을 측정할 수 있다면 측정할 수 있다$$.

측정 가능한 함수의 속성

• 두 개의 복잡한 값 측정 가능한 함수의 합과 산출물은 측정할 수 있다.^[3] 0으로 나누지 않는 한, 몫도 마찬가지다.^[1]
• If ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ and ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ are measurable functions, then so is their composition ${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})$$\to (Z,\Sigma _{3}).$$}$^[1]
• If ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ and ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$ are measurable functions, their composition ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ need not be ${\displ$$aystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$-measurable unless ${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$ Indeed, two Lebesgue-measurable functions may be constructed in such a way as to make their composition non-Lebesgue-measurable.
• 실제 값 측정 가능한 함수의 시퀀스(비즈, 개수가 많음)의 우월성, 최소성, 한계상위 및 한계 하한도 모두 측정할 수 있다.^[1][4]
• ${\displaystyle \mathrm{측정}}$ 가능한 함수의 시퀀스 $f{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$→ Y ${\displaystyle f_{n}:$$X\to Y}$은(는) 측정할 수 있으며, 여기서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$은(는) 미터법 공간(보렐 대수)이다$$. $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 측정 불가능한 경우에는 일반적으로 사실이 아니다. 연속함수에 대한 해당 문장은 균일한 수렴과 같은 점적 수렴보다 강한 조건을 필요로 한다는 점에 유의한다.^[5][6]

측정할 수 없는 함수

응용 프로그램에서 접하는 실제 가치 함수는 측정할 수 있는 경향이 있지만, 측정할 수 없는 함수의 존재를 입증하는 것은 어렵지 않다. 그러한 증명들은 선택의 공리가 없는 제르멜로-프렌켈 세트 이론이 그러한 기능의 존재를 증명하지 못한다는 점에서 본질적인 방법으로 선택의 공리에 의존한다.

측정할 수 없는 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\subset X,}$${\displaystyle \mathrm{A<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; A\backslash subset\; X,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2dfb676b926f87c10788d964dcf7bf92032e5352"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:7.468ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="184">}}$ ${\displaystyle \notin }$, , ${\displaystyle$ A$\notin \Sigma ,}}$의 측정 공간(X$$${\displaystyle }$,$displaystyle \sigma$ )에서 측정할$$수 없는 지표 함수를 구성할$$ 수 있다$.{\displaystyle }$

여기서 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 일반적인 보렐 대수학으로 장착된다$$. 측정 가능한 집합${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1\}}$의 프리이미지가 측정$$ $불가능$한 A${\displaystyle .}${\$displaystyle A$이므로 이 기능은 측정할 수 없는 기능이다$.$$}$

As another example, any non-constant function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ is non-measurable with respect to the trivial ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$ since the preimage of any point in the range is some proper, nonempty subset of ${\$$displaystyle X,}$은(는) 사소한 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}.}$ ${\displaystyle \Sigma .}$의 요소가 아니다.

참고 항목

• Bochner 측정 가능한 기능
• Bochner 공간 – 수학적 개념
• Lp space – 유한차원 p노orm space 일반화 함수 공간 - 측정 가능한 함수의 벡터 공간: ${\displaystyle {Lp}^{}}$ p ${\$ L$^{p}}}$ 공간$$
• 측정 보존 동력학 시스템 – 에고다이얼 이론의 연구 주제
• 벡터 측정
• 약하게 측정할 수 있는 함수

메모들

외부 링크

• 수학 백과사전에서의 측정 가능한 기능
• 수학 백과사전 보렐 함수