중심(집단 이론)

중앙의₄ 요소, {e, a²}을(를) 대칭으로 대칭으로 배열한 D에 대한 Cayley 테이블(각각 다른 모든 요소와 함께 통근)

∘	e	b	a	a의²	a의³	AB	a²b	a³b
e	e	b	a	a의²	a의³	AB	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	AB	a의³	a의²	a
a	a	AB	a의²	a의³	e	a²b	a³b	b
a의²	a의²	a²b	a의³	e	a	a³b	b	AB
a의³	a의³	a³b	e	a	a의²	b	AB	a²b
AB	AB	a	b	a³b	a²b	e	a의³	a의²
a²b	a²b	a의²	AB	b	a³b	a	e	a의³
a³b	a³b	a의³	a²b	AB	b	a의²	a	e

추상대수학에서 집단의 중심 $G$ 는 $G$ 의 모든 원소와 함께 통근하는 원소의 집합이다.그것은 중심이라는 뜻의 독일 Zentrum에서 $Z(G$ )로 표기된다.세트빌더 표기법에서는

Z(G) =

{

z

∈

G

\forall g

G,

zg

=

gz}.

중심은 정규 부분군인 $Z(G)$ ⊲ $G$ . 부분군으로서 항상 특성이 있지만 반드시 완전한 특성은 아니다.지수군인 $G$ / Z $(G)$ 는 내적 자동형 집단인 $Inn(G$ )에 대해 이형성이 있다 $.$ null

그룹 $G$ 는 $Z(G)$ = $G일$ 경우에만 아벨리안이다. 다른 극단에서는 $Z(G)$ 가 사소한 경우 집단은 중심성이 없다고 한다. 즉, 신원 요소만으로 구성된다.null

중앙의 원소를 중앙이라고 부르기도 한다.null

부분군으로서

G의 중심은 항상 $G$ 의 부분군이다.특히:

$Z(G)$ 는 $G$ 의 모든 요소와 통신하기 때문에 $G$ 의 ID 요소를 포함한다. 예를 $들어$ = $g$ = g = $ge$ , 여기서 $e$ 는 ID이다.
$x$ 와 $y$ 가 $Z(G)$ 에 있으면 $xy$ 도 xy와 연관된다: ( $xy) g$ = $x (yg)$ = x $(gy) =$ ( $xg) y =$ ( $gx$ $)$ $y$ = $g ($ $xy)$ 는 $각$ g y G에 대해 닫힌다;
$x$ 가 $Z(G)$ 에 있으면 g의 $모든$ $g$ 에 대해 $x$ 가⁻¹⁻¹ $g$ : ( $gx$ = $xg) \Rightarrow$ ( $xgx -1 -1$ = $xxgx -1 -1) \Rightarrow$ ( $xg -1$ = gx $)$ 로⁻¹ 통근한다.

또한 $G$ 의 중심은 항상 $G$ 의 정상 부분군이다. $Z(G)$ 의 모든 요소가 통근하기 때문에 결합 시 닫힌다.null

결합 클래스 및 중앙집중제

정의상 중심은 각 원소의 결합 등급이 원소 그 자체인 요소 집합이다. 즉, $Cl(g)$ = { $g}.$ null

중심은 또한 $G$ 의 각 원소의 모든 중심자의 교차점이다. 중심자는 부분군이기 때문에, 이것은 다시 중심부가 부분군임을 보여준다.null

결합

$지도$ $f :$ $G$ → Aut $(G)$ 를 f $(g)$ = $ϕ$ 에_g 의해 정의된 $G$ 의 자동형 집단까지 고려한다. 여기서 $ϕ$ 은_g 에 의해 정의된 $G$ 의 자동형성이다.

f (g)(h) = ϕ g (h) = ghg -1

.

함수 $f$ 는 집단 동형상이며, 그 알맹이는 $정확히$ G의 중심이며, 그 이미지는 $Inn(G$ )을 나타내는 $G$ 의 내적 자동형상 집단이라고 한다 $.$ 우리가 얻은 첫 번째 이형성 정리로는

G /Z(G) ≃ Inn(G)

.

이 지도의 코커넬은 외부 자동화의 그룹 $Out(G)$ 이며, 이것들은 정확한 순서를 형성한다.

1

⟶

Z(G)

⟶

G

⟶

Aut(G)

⟶

Out(G)

⟶

1

⟶.

예

아벨 그룹 $G$ 의 중심은 $G$ 의 전부다.
하이젠베르크 그룹의 중심인 $H$ 는 다음과 같은 형태의 행렬의 집합이다. ${\pmatrix}1&0&z\0&1&0\\0&1\end{pmatrix}$
비아벨적 단순 집단의 중심은 사소한 것이다.
이음집단의 중심인 $D$ 는_n $홀수$ n ≥ $3$ 에게는 사소한 것이다. $n$ ≥ $4$ 의 경우에도 중심은 폴리곤의 180° 회전과 함께 아이덴티티 요소로 구성된다.
$Q 8 =$ ${$ 1 $, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ 쿼터니온 그룹의 중심은 ${$ 1 $, -1$ }이다 $.$
대칭군 $S$ 의_n 중심은 $n$ ≥ $3$ 에 대해 사소한 것이다.
교대 그룹의 중심인 $A$ 는_n $n$ ≥ $4$ 에게는 사소한 것이다.
필드 $F$ , $GL n (F$ ) 위에 있는 일반 선형 그룹의 중심은 스칼라 행렬, ${sI n i$ F $\ {0}$ 의 모음입니다 $.$
직교 그룹의 중심인 $O n (F)$ 는 ${I n, -I n}$ 이다.
특수 직교 그룹의 중심인 $SO(n)$ 는 $n$ = $2일$ 때 전체 그룹이고, 그렇지 않으면 n이 짝수일 때 ${I n, -I n},$ n이 홀수일 때 사소한 그룹이다.
유니터리 그룹 $){\displaystyle U(n)}$ 의 중심은 $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ { $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ I $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ n n $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ [ $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ [ [ 0 $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ 2 $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ ${\$ [ $0, pi )\}$ 이다 $U(n)$ $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$
The center of the special unitary group, $\operatorname {SU} (n)$ is ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$ .
0이 아닌 쿼터니온의 승수집단의 중심은 0이 아닌 실수의 승수집합이다.
클래스 방정식을 사용하면 어떤 비삼위적 유한 p-그룹의 중심이 비삼위적이라는 것을 증명할 수 있다.
지수군 $G /Z(G)$ 가 주기적인 경우 $G$ 는 아벨리안( $따라서$ G = $Z(G)$ 이므로 $G /Z(G)$ 는 사소한 것이다.
메가믹스 그룹의 중심은 순서 2의 순환집단이며, 킬로믹스 그룹의 중심은 사소한 것이다.

상위 센터

집단의 중심에 의한 인지도는 상위 중앙 시리즈라고 불리는 일련의 집단을 산출한다.

(G 0 = G) ⟶ (G 1 = G 0 /Z(G 0)) ⟶ (G 2 1 = G/Z(G 1)) ⟶

지도 $G$ → $G$ 의_i 커널은 $G$ 의 ith 중심^{[citation needed]}(제2의 중심, 제3의 중심 등)으로 $Z i (G$ )로 표기되어 있다 $.$ ^{[citation needed]}구체적으로는 ( $i$ + $1$ )-중심 중심은 iH 중심 요소까지 모든 요소와 함께 통근하는 용어다.이 정의에 따라 그룹의 0번째 중심을 ID 하위 그룹으로 정의할 수 있다.이것은 트랜스피니트 유도에 의해 트랜스피니트 서수들을 계속 할 수 있다; 모든 상위 중심들의 결합을 하이퍼센터라고 부른다.^{[note 1]}null

부분군의 오름차순 체인

1 \leq Z(G)\leq Z 2 (G)\leq \leq \dots

$만약 i$ G가 중심이 없는 경우에만 i(동일하게, $Z i (G)$ = $Z i+1 (G))$ 에서 안정화된다.null

예

중심 없는 그룹의 경우 모든 상위 중심은 0이며, 이는 안정화의 경우 $Z 0 (G)$ = Z $(G 1)$ 이다.
그룬의 보조정리법에 따르면, 그 중심에 의한 완벽한 집단의 몫은 중심성이 없기 때문에, 모든 상위 집단은 중심과 동일하다. $이것$ 은¹ Z $(G)$ = Z $(G 2$ )에서 안정화된 경우다 $.$

참고 항목

메모들

^ 이 유니언은 UCS가 유한 단계에서 안정화되지 않는 경우 트랜스피니트 항을 포함한다.

참조

Fraleigh, John B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (7 ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

외부 링크

"Centre of a group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] 이 유니언은 UCS가 유한 단계에서 안정화되지 않는 경우 트랜스피니트 항을 포함한다.

[note 1]

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