키랄 포츠 모형

키랄 포츠 모형은 통계 역학에서 평면 격자의 스핀 모형입니다.Potts 모델과 마찬가지로 각 스핀은 n=0,...N-1 값스핀 n과 n'의 가장 가까운 이웃 쌍 각각에 볼츠만 중량 W(n-n')(볼츠만 계수)가 할당된다.모델은 키랄이며, 이는 W(n-n') w W(n'-n)를 의미합니다.무게가 양-박스터 방정식(별-삼각형 관계)을 만족하면, 적분할 수 있다.적분 가능한 카이랄 포츠 모형의 경우 가중치는 높은 속 곡선인 카이랄 포츠 ^[1][2]곡선에 의해 모수화됩니다.가중치가 1보다 작거나 같은 속 곡선으로 매개 변수화되어 삼각함수(θ=0) 또는 세타함수(θ=1)로 표현되는 다른 해결 가능 모델과 ^[3][4]달리, 이 모델은 아직 잘 개발되지 않은 높은 속 세타함수를 포함한다.따라서, 이러한 어려운 문제는 진전될 수 없다고 생각되었다.그러나 1990년대 이후 많은 돌파구가 마련되었다.키랄 포츠 모델은 통합 가능하기 때문에 발명된 것이 아니라 실험 데이터를 설명하기 위해 도입된 후에 통합 가능한 사례가 발견되었다는 점을 다시 한번 강조해야 한다.매우 심오한 방법으로 물리학은 수학보다 훨씬 앞서 있다.역사와 그 발전상을 간략히 소개하겠습니다.

1980년대에 David Huse와 Stellan Ostlund에 의해 독립적으로 도입된 키랄 시계 모델은 키랄 포츠 모델과 대조적으로 정확하게 해결 가능하지 않습니다.

모델

이 모델은 이전에 알려진 모든 모델의 클래스에서 벗어나 150년 동안 우리와 함께해온 대수기하학의 가장 난해한 문제 중 일부와 관련된 수많은 미해결 문제들을 제기합니다.키랄 포츠 모델은 비례-불비례 상 ^[5]전이를 이해하는 데 사용됩니다.N = 3과 4의 경우, 통합 가능한 사례는 1986년 스토니브룩에서 발견되어 다음 ^[1][6]해에 발표되었다.

자기 이중 케이스

무게의 푸리에 변환이 무게와 동일한 경우 모델을 자가 이중이라고 합니다.1982년 파테예프와 자몰로드치코프에 ^[7]의해 특별한 (제1종) 사례가 해결되었다.Alcaraz와 ^[8]Santos의 작업에 대한 특정 제한을 제거함으로써 통합 가능한 키랄 포츠 모델의 보다 일반적인 자가 이중 사례가 발견되었습니다.^[1]무게는 제품^[9][10] 형태로 제공되며, 무게의 매개 변수는 1보다 큰 속성의 페르마 곡선에 있는 것으로 나타납니다.

일반적인 경우

캔버라에서는 모든 k(온도 변수)에 대한 일반 솔루션이 발견되었습니다.^[2]무게는 제품 형태로도 주어졌으며, Fortran이 별-삼각형 관계를 만족하는지 테스트했습니다.그 증거는 ^[11]나중에 출판되었다.

결과.

Order 파라미터

시리즈로부터^[5][12] 순서 파라미터는 단순한 형태를 갖는 것으로 추측된다^[13].

$\displaystyle \displayle ^{n}\rangle = (1-k'^{2})^{\displays },\display \displays \disples = n(N-n)/2N^{2}}$

이 추측을 증명하는 데 오랜 시간이 걸렸다. 왜냐하면 더 높은 속 곡선으로 인해 일반적인 코너 전달 행렬 기법을 사용할 수 없었기 때문이다.이 추측은 2005년^[14][15] Baxter가 함수 방정식과 짐보 ^[16]등의 "빠른 속도 선" 기법을 사용하여 최종적으로 입증했다. 양-박스터 적분 모델 분야에서 일반적으로 사용되는 두 가지 유형의 다소 가벼운 분석 조건을 가정한다.가장 최근에 일련의 논문에서^{[17][18][19][20][21][22][23]} 순서 매개변수를 얻는 대수적(Ising-like) 방법이 제공되어 대수 구조에 대한 더 많은 통찰력을 제공한다.

6-vertex 모델과의 연결

1990년에 바자노프와 스트로가노프는^[24] 양-박스터 방정식을 만족시키는 2 × N L 연산자가 존재한다는 것을 보여준다.

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\alpha }(x)L_{i_{2}\beta}^{j_{2}\beta }(y)R_{j_{1}j_{2}}{k_{k_{2}}(x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha}^{k_{2}\beta}(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha,\beta,\gamma \leq N-1}.$

여기서 2 × 2 R 연산자는 6-vertex R 행렬이다(정점 모델 참조).4개의 키랄 포츠 무게 S의 곱은 두 개의 L-operator를 다음과 같이 얽어매는 것으로 나타났다.

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{L\hat{}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha_{2}\beta _{2}}^{\alpha_{3}\beta _{3}}=S_{\alpha_{1}\beta _{1}}^{\alpha_{2}\beta _{2}}{L\hat{}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<, i_{나는}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{나는},\beta _{나는}\leq N-1..}$

이것은 가장 중요한 돌파구, 즉 키랄 포츠 모델의 전달 행렬에 대한 함수 관계를 ^[25]발견하도록 영감을 주었다.

자유 에너지 및 계면 장력

이러한 함수 관계를 사용하여 백스터는 키랄 포츠 ^[26]모델의 전달 행렬의 고유값을 계산할 수 있었고, 참조 12에서도 추측된 특정 열 α=1-2/N에 대한 임계 지수를 얻었다.계면 장력은 또한 μ=1/2+1/^[27][28]N 지수인 그에 의해 계산된다.

수학과의 관계

매듭 이론

통합 가능한 키랄 포트의 무게는 다음과 같이 제품 형태로 제공됩니다.

$W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q} {\Big}}^{\!n}\disples_{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\obe ^{j} \over y_{p}-x_{q}\obe ^{j}\line {\big} {p}}=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}{\big}}^{!n}\!\mu _{j=1}^n}{\mega x_{p}\!-x_{q}\obe ^{j}\over y_{q}\!-\y_p}\mega ^{j}\big},$

여기서 δ^N=1 그리고 우리는 다음을 만족하는 세 가지 변수(x_p,y_p,μ_p)를 가진 각 신속 변수 p와 관련짓는다.

${\displaystyle x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\display k'{p}^{N}=1-ky_p}^{p}^{n}^{p},\quad}_p},$

는 것을 쉽게 알 수 있다

${\displaystyle W_{pp}(a-b)=1,\quad {오버라인 {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}}$

리데미스터의 움직임과 비슷해요또한 역방향 관계를 만족시키는 가중치,

${\displaystyle W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}_{pq}(a-d){\overline {W}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta_a,a'}.}$

이것은 Reidemister의 움직임 II에 해당합니다.별-삼각 관계

${\displaystyle _{d=1}^{N},{\overline {W}}_{pr}(a-d),W_{pq}(d-c), {\overline {W}_{rq}(d-b)=R_{pqr}, {\overline {W}_{pq}(a-b), {W}_{pr}(b-c),W_{rq}(a-c)}$

리데미스터 3단계와 맞먹습니다이것들은 아래 그림에 나와 있습니다.^[29]

「 」를 참조해 주세요.

• Z N 모델

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