닫힌 집합

수학의 기하학, 토폴로지, 관련 학과에서, 닫힌 집합은 보어가 열린 집합인 집합이다.^[1][2] 위상학 공간에서 닫힌 집합은 모든 한계점을 포함하는 집합으로 정의할 수 있다. 전체 메트릭스 공간에서 닫힌 집합은 제한 작업 하에서 닫히는 집합이다. 이것은 닫힌 다지관과 혼동해서는 안 된다.

닫힌 집합의 등가 정의

By definition, a subset ${\displaystyle A}$ of a topological space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is called closed if its complement ${\displaystyle X\setminus A}$ is an open subset of ${\displaystyle (X,\tau )}$; that is, if ${\displaystyle X\setminus A\in \tau .}$ A set is closed $X{\displaystyle }$.$$${\displaystyle X}$의 닫힘과 동일한 경우에만$$ 마찬가지로$$ 집합이 모든 한계점을 포함하는 경우 및 경우에만 닫힌다. 그러나 또 다른 동등한 정의는 집합이 모든 경계점을 포함하는 경우에만 닫힌다는 것이다. Every subset ${\displaystyle A\subseteq X}$ is always contained in its (topological) closure in ${\displaystyle X,}$ which is denoted by ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A;}$ that is, if ${\displaystyle A\subseteq X}$ then ${\displaystyle A\subseteq \operatorname$${cl} _{X}A.}$ $게다가$ A = ${\displaystyle {cl}_{}}$ ${\displaystyle X{}_{}.}$ .$${\$displaystyle A=\operatorname {cl}A$인 경우에만$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분 집합이다$.$$}$

폐쇄형 세트의 대체 특성화는 시퀀스와 그물을 통해 이용할 수 있다. 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $부분집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A}$은(는) A ${\displaystyle A}$의 모든 그물 $한계$가 A${\displaystyle .}${\$displaystyle A.}$에 속하는 경우에만$$ $X{\displaystyle }$ {\$displaystystyle$ X$}$에서 닫힌다(예: 미터 공간).모든 그물 대신 우아한 순서가 있다. 이 특성화의 한 가지 가치는 위상학적 공간보다 일반적인 융합 공간의 맥락에서 정의로 사용될 수 있다는 것이다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$의 시퀀스 또는 네트 수렴 여부가 $X$에 존재하는 점에 따라$$ 달라지기 때문에$$ 이 특성화는 주변 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X$$}$에도 좌우된다는 점에$$ 주목하십시오$.$bset ${\displaystyle A\subseteq X}$ if ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$ (or equivalently, if ${\displaystyle x}$ belongs to the closure of ${\displaystyle A}$ in the topological subspace ${\displaystyle A\cup \{x\},}$ meaning ${\display$$스타일 x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}$$A$$$$}$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }${ x ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$^{[note 1]}에 의해 유도된 하위 공간 토폴로지를 부여받는다. $따라서{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$에서 A ${\displaystyle A}$을${\displaystyle (}$를) 닫는$$ 것은$$A , {\$displaystyle$ $A$}에$$가까운 X {\$displaystyle$ X$}$의 모든 포인트 집합이므로$$ 이 용어는 닫힌 하위 집합에 대한 일반 영어 설명을 허용한다.

부분 집합은 부분 집합에 가까운 모든 점을 포함하는 경우에만 닫힌다.

순융합의 관점에서 $점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in$ X$}$은(는) $x$로 $수렴$되는 A ${\displaystyle$ $A}$에 순(값)이 있는 경우에만$$ 부분 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 가깝고$$${\displaystyle ,}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X}$이 일부 다른 위상학적 공간인 경우$$$,$ {, {\$x{\displaystyle }$},$\displaystyle Y,}$ in which case ${\displaystyle Y}$ is called a topological super-space of ${\displaystyle X,}$ then there might exist some point in ${\displaystyle Y\setminus X}$ that is close to ${\displaystyle A}$ (although not an element of ${\displaystyle X}$), which is how it is possible for a subset ${\displaystyle A\subseteq X}$ to be closed in ${\displaystyle X}$ but to not be closed in the "larger" surrounding super-space ${\displaystyle Y.}$ If ${\displaystyle A\subseteq X}$ and if ${\displaystyle Y}$ is any topological super-space of ${\displaystyle X}$ then ${\displa$$ystyle A}$ is always a (potentially proper) subset of ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$ which denotes the closure of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle Y;}$ indeed, even if ${\displaystyle A}$ is a closed subset of ${\displaystyle X}$ (which happens if and only if ${\displaystyle A={\mathrm{cl}}_X}$${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$), it is nevertheless still possible for ${\displaystyle A}$ to be a proper subset of ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$ However, ${\displaystyle A}$ is a closed subset of ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displays$$Tyle A=X$$\$$cap \operatorname {cl} _{Y}A}$ $X$의 일부$$(또는 모든 경우에 동등하게) 위상학적$초공간{\displaystyle }$ Y {\$displaystyle Y}$에 대한 것${\displaystyle .}$

Closed sets can also be used to characterize continuous functions: a map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$ for every subset ${\displaystyle A\subseteq$$X$ 이 점은 일반 영어로 다시 쓰일 수 있음: $f{\displaystyle }${\$displaystyle f$$}$는 모든 부분 $집합$ A ${\displaystyle \subseteq }$ X${\displaystyle }$, ${\$$displaystyle$ A$\$$subseteq$ X$,}$${\displaystyle }$ ${\$$displaystyf f$$}$ 맵이$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle A)}$에 가까운 포인트에$$ 가까운 경우에만 연속됨$.$$}$ Similarly, ${\displaystyle f}$ is continuous at a fixed given point ${\displaystyle x\in X}$ if and only if whenever ${\displaystyle x}$ is close to a subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ then ${\displaystyle f(x)}$ is close to ${\displaystyle f(A).$$}$

닫힌 세트에 대한 자세한 정보

폐쇄형 집합의 개념은 위와 같이 미터법 공간, 구별 가능한 다지관, 균일한 공간, 게이지 공간과 같이 위상학적 구조를 운반하는 다른 공간에 대해서도 의미가 있는 개념인 오픈 집합의 관점에서 정의된다.

집합의 닫힘 여부는 집합이 내장된 공간에 따라 달라진다. However, the compact Hausdorff spaces are "absolutely closed", in the sense that, if you embed a compact Hausdorff space ${\displaystyle D}$ in an arbitrary Hausdorff space ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle D}$ will always be a closed subset of ${\displaystyle X}$; the "surrounding space" does not matter here. 스톤-체크 압축은 완전히 규칙적인 하우스도르프 공간을 콤팩트한 하우스도르프 공간으로 바꾸는 과정으로, 공간에 대한 특정 비컨버전트 그물의 인접 한계로 설명될 수 있다.

또한, 컴팩트한 공간의 모든 부분 집합은 컴팩트하고, 하우스도르프 공간의 모든 컴팩트한 하위 공간은 닫힌다.

폐쇄형 집합은 또한 압축성의 유용한 특성화를 제공한다. 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$은(는) 빈 교차점이 있는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 모든 비빈 폐쇄형 부분 집합이 빈 교차점이 있는 유한 하위 집합을 허용하는 경우에만 압축된다$$.

위상학적 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$은(는$)$ 분리, 비어 있지 않고 열린 하위 집합 A ${\$$displaystyle A$$}$ 및$$ X ${\$displaystyle X}의 $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$이(가$)$ 있는 경우 연결이 끊어지고$$, 조합이${\displaystyle }X$인$$경우 X {\$displaystyle$ $X$$}$이 완전히 분리된다.f 클로즈드 세트

닫힌 집합의 속성

닫힌 집합에는 자체적인 경계가 있다. 즉,닫힌세트를 '아웃사이드'하는 경우, 소량을 어떤 방향으로든 이동해도 세트 바깥에 머무를 수 있다. 제곱이 2.${\displaystyle 2.}$보다 작은 숫자의 집합에 대해, 예를 들어 합리적인 숫자의 메트릭 공간에서 경계가 빈 집합인 경우에도 이 점은 사실이다.

• 닫힌 집합의 모든 집합의 교차점이 닫힘(이는 무한히 많은 닫힌 집합의 교차점을 포함한다)
• 확실히 많은 닫힌 세트의 조합은 폐쇄되었다.
• 빈 세트가 닫혀 있다.
• 세트 전체가 마감되었다.

In fact, if given a set ${\displaystyle X}$ and a collection ${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$ of subsets of ${\displaystyle X}$ such that the elements of ${\displaystyle \mathbb {F} }$ have the properties listed above, then there exists a unique topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$$($${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$){\$displaystyle$$(X,\tau )}$의 닫힌 부분 집합이 $정확히$ F${\displaystyle }$. ${\$$displaystyle$ $\mathb {F} .}$의 집합 $A$의 닫힘도 교차로 속성으로 $정의$할 수 있으며, 이는$$$$ s로 정의된다$.$$특히{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X$$}$의 닫힘 부분 집합은$$ A.${\$displaystyle $A}$의 대괄호인 X ${\$$displaystyle$ X$}$의 닫힘 부분 집합은 이 모든 닫힌 대괄호의 교차점으로 구성할 수 있다$$.

다수의 닫힌 집합의 조합으로 구성할 수 있는 집합은 F_σ 집합으로 표시된다. 이 세트들은 닫을 필요가 없다.

닫힌 집합의 예

• 실수의 닫힌 간격${\displaystyle }$[ a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$[a$,b$]}이(가) 닫힌다. (대괄호 및 괄호 세트 표기법에 대한 설명은 구간(수학)을 참조하십시오.)
• The unit interval ${\displaystyle [0,1]}$ is closed in the metric space of real numbers, and the set ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ of rational numbers between ${\displaystyle 0}$ and ${\displaystyle 1}$ (inclusive) is closed in the space of rational numbers, but ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb{Q}}$${\displaystyle [0,1]\cap \mathb {Q} }$은(는) 실제 숫자로 닫히지 않는다$$.
• 일부 집합은 열림 또는 닫힘이 아니며, 예를 들어, 실제 숫자의$$ 반열림 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,1}$ ) ${\디스플레이 스타일$ [$0,1)]$이(가) 있다.
• 일부 세트는 개방형 및 폐쇄형으로, 클로닝형 세트라고 불린다.
• 레이${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [1,+\fty )}$이(가) 닫힌다$$.
• 칸토어 세트는 전체적으로 경계점들로 이루어져 있고 어느 곳에도 밀도가 없다는 점에서 특이한 폐쇄형 세트다.
• 싱글톤 포인트(따라서 유한 세트)는 하우스도르프 공간에서 닫힌다.
• 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 집합은$$ 실수에서 무한하고 무한하고 무한 확장된 폐쇄 집합이다.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$이(가) 위상학적 공간 사이의 함수인 경우, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서 닫힌 세트의 사전 이미지가 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$에서 닫힌$$ 경우에만 f ${\displaystyle$ f$}$이 연속이다$$.

참고 항목

• Clopen 세트 – 열린 부분과 닫힌 부분 집합
• 폐쇄지도
• 오픈 세트 – 위상학적 공간의 기본 부분 집합
• 인접성 – 지정된 점을 포함하는 열린 집합
• 지역(수학)
• 일반폐쇄세트

메모들

참조

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.