이항 정리

초등 대수학에서 이항 정리(또는 이항 팽창)는 이항력의 대수적 팽창을 기술한다. 정리에 따르면 다항식(x + y)ⁿ을 axy^bc 형식의 항을 포함하는 합으로 확장할 수 있는데, 여기서 지수 b와 c는 b + c = n을 가진 음이 아닌 정수이고, 각 항의 계수 a는 n과 b에 따라 특정한 양의 정수다. 예: (n = 4)

${\displaystyle (x+y)^{4}}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+4xy^{4}.}$

axy의^bc 용어에서 계수 a는 이항계수$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{b}{}}$) ${\$ 또는$$ $({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{c}{})}$ ${\$두 개의 값이 동일함)로 알려져 있다. 다양한 n과 b에 대한 이러한 계수는 파스칼의 삼각형을 형성하도록 배열할 수 있다. 이러한 숫자는 조합에서도 발생하며, 여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$b ) ${\${\$tbinom {n}{b}}}$은(는) n-요소 집합에서 선택할 수 있는 b 요소의 다른 조합의 수를 제공한다$$. 따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{b}{}}$) ${\$은(는) "n 선택 b"로 발음되는 경우가$$ 많다.

역사

이항 정리의 특별한 경우는 적어도 기원전 4세기 그리스의 수학자 유클리드(Eucleid)가 지수 2에 대한 이항 정리의 특수한 경우를 언급했을 때부터 알려졌다.^[1][2] 큐브의 이항 정리가 AD 6세기 인도에서 알려졌다는 증거가 있다.^[1][2]

이항계수는 n개 중에서 교체 없이 k개 객체를 선택하는 방법의 수를 나타내는 조합량으로서 고대 인도 수학자들이 관심을 가졌다. 이 결합문제의 가장 일찍 알려진 언급은 인도의 작사가 핑갈라(Pingala, 기원전 200년)에 의한 찬다ḥāāāastra인데, 그 해결방법이 들어 있다.^{[3]: 230} AD 10세기 해설자 할라유다는 현재 파스칼의 삼각형이라고 알려진 것을 사용하여 이 방법을 설명한다.^[3] AD 6세기까지 인도의 수학자들은 아마도 $이것$을 n${\displaystyle \frac{!}{}}$( ${\displaystyle \frac{n}{}}$- ${\displaystyle \frac{k)!}{}}$ ${\displaystyle \frac{k!}{}}$ ${\$$\}\}\}\},$^[4] 그리고 이 규칙에 대한 명확한 진술은 12세기 문자 바스카라의 릴라바티에서 찾을 수 있다.^[4]

이항정리표와 이항계수표의 첫 공식은 알카라지의 "알바히르"에서 알-사마왈이 인용한 작품에서 찾을 수 있다.^[5][6][7] 알카라지(Al-Karaji)는 이항계수의^[8] 삼각형 패턴을 설명하고, 초기 형태의 수학적 유도를 이용하여 이항정리 및 파스칼의 삼각형 모두에 대한 수학적 증거를 제공하기도 했다.^[8] 페르시아의 시인이자 수학자인 오마르 카이얌은 비록 그의 수학적 작품들 중 많은 것이 소실되었지만, 아마도 더 높은 질서에 대한 공식에 익숙했을 것이다.^[2] 소학도의 이항적 팽창은 양희와^[9] 추시치의 13세기 수학 작품에서도 알려져 있다.^[2] 양휘는 이 방법을 지아셴의 11세기 초 문헌에 기인하고 있지만, 지금은 그 글들도 잃어버리고 있다.^{[3]: 142}

1544년 마이클 스티펠은 "이항계수"라는 용어를 도입하여 "파스칼의 삼각형$"$을 통해 $({\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle a}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$}의 관점에서$$ $({\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle n^{}}$- ${\$을 표현하는 방법을 보여주었다.^[10] Blaise Pascal은 그의 특성테 뒤스 삼각형 아릿메티크에서 eponymous 삼각형을 포괄적으로 연구했다.^[11] 그러나 숫자의 패턴은 이미 스텐펠, 니콜로프 폰타나 타르타글리아, 사이먼 스테빈 등 르네상스 후기 유럽의 수학자들에게 알려져 있었다.^[10]

아이작 뉴턴은 일반적으로 일반화된 이항 정리로 공로를 인정받으며, 모든 이성적 지수에 유효하다.^[10][12]

성명서

정리에 따르면, x + y의 어떤 비음력적인 힘도 형상의 합으로 확장할 수 있다.

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq$ 0$}$은 정수이고$,{\displaystyle }$ 각 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$k )$${\$displaystyle${\$tbinom {n}{k}}}}}}$은 이항 계수로 알려진 양의 정수다.(지수가 0이면 해당 검정력 식이 1로 취해지고 이 승법 인수가 종종 생략된다. 따라서 흔히 오른손 쪽이${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{0}{}}$) ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$+${\displaystyle }$… ${\displaystyle {\binom {n}{0}x^{n}+\ldots }}$로 쓰여 있는 것을 볼 수 있다.$$ 이 공식을 이항식 또는 이항식이라고도 한다. 합계 표기법을 사용하면 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n \n \선택 k}x^{k}y^{n-k}}.}$

최종 식은 앞의 식에서 첫 번째 식에서 x와 y의 대칭으로 따르며, 이에 비해 공식에서 이항계수의 순서가 대칭적이라는 것을 따른다. 이항식의 단순한 변형은 1을 y로 대체하여 얻으므로 단일 변수만 관련된다. 이 형태에서 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \선택 0}x^{0}+{n 선택 \n 선택{1}x^{1}+{n 선택 \{n 선택 \}x^{2}+\cdots +{n 선택 \n 선택 {n-1}x^{n}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \n \선택 k}x^{k}.}$

또는 더 명시적으로^[13]

${\displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}}x^{3}+\cdots .}$

예

이항 정리의 처음 몇 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\x+y}^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}=x+y,\[8pt]^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+4xy^{3}+y^{4}},\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{정렬}}}$

일반적으로 n번째 행의 오른쪽에 있는 (x + y)ⁿ의 확장에 대해, (numbered to be the 상단 행이 0번째 행이 되도록):

• 용어에서 x의 지수는 n, n-1, ..., 2, 1, 0이다(마지막 용어는 암시적으로⁰ x = 1을 포함).
• 항에서 y의 지수는 0, 1, 2, ..., n-1, n(첫 번째 항은 암시적으로⁰ y = 1)이다.
• 파스칼 삼각형의 n번째 행을 구성하는 계수
• 같은 항을 결합하기 전에 확장에는 2개의ⁿ xy^ij 항이 있다(표시되지 않음).
• 유사 항을 조합한 후 n + 1 항이 있으며, 계수는 2로ⁿ 합친다.

마지막 두 점을 보여주는 예:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}\;\mathrm {terms} )\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1\;\mathrm {terms} )\end{aligned}}}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 3}$+ ${\displaystyle 3}$+ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$

y의 특정 양수 값이 있는 간단한 예:

${\displaystyle {\displaysty}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{정렬}}}$

특정 음수 값이 y인 간단한 예:

${\displaystyle {\signified}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}+3x^{2}-2^{3}\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{정렬}}}$

기하학적 설명

a와 b의 양의 값에 대해, n = 2를 갖는 이항 정리는 측면 a의 사각형, 측면 b의 사각형, 측면 a와 b를 포함한 두 개의 직사각형으로 자를 수 있다는 기하학적으로 명백한 사실이다. n = 3으로, 정리는 측면 a + b의 입방체를 측면 a의 입방체, 측면 b의 입방체, 3 a × a × × b의 직사각형 상자, 그리고 3 a × b × b의 직사각형 상자로 자를 수 있다고 명시한다.

누군가가 그 후에 이 사진에서 무한소 변화를 보여 주고 있극미한 변화 같이 a=){\displaystyle a=x}, b)Δ),{b=\Delta x\displaystyle,}해석 b 가져오거나 설정한 종류의 미적분학에서, 이 그림 또한[14]은 미분()n)′는 기하학적 증거)nxn− 1:{\displaystyle(x^{n})'=nx^{n-1}:}을 준다. 그 n차원 하이퍼큐브의 부피$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \Delta {}^{}}$x )${\displaystyle n^{}}$,$${\$displaystyle (x+\Delta$ x$)^{n}},$ 여기서$$ 선형 항의 계수(${\displaystyle \Delta }$ x ${\displaystyle \Delta$ x$\})$는 $n{\displaystyle }$ x${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle nx^{n-1},$ n 면의 각 면적은$$ n - 1:

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{n}{n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$

이를 차등지수를 통해 파생상품의 정의로 대체하고 한도를 취하는 것은 상위 순서 ${\displaystyle {조건}^{}}$인 $({\displaystyle \Delta }$ x${\displaystyle {}^{}}$) 2 ${\$ x$)^{2}}$ 이상이면$$ 무시할 수 있으며, 공식 $({\displaystyle x^{}}$ n${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) =${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle (x^{n}}){n-1}$이 해석되는$$ 것을 의미한다.

"측면의 길이가 변함에 따라 n-162의 부피 변화율이 극소수인 것은 (n - 1)차원 면적의 n이다."

If one integrates this picture, which corresponds to applying the fundamental theorem of calculus, one obtains Cavalieri's quadrature formula, the integral ${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$ – see proof of Cavalieri's quadrature formula for details.^[14]

이항 계수

이항 팽창에 나타나는 계수를 이항 계수라고 한다. 일반적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\tbinom {n}{k},}$라고 쓰여 있으며$$ "n choice k"라고 발음한다.

포뮬라과

xy의^n−kk 계수는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$

요인 함수 n!의 관점에서 정의된다. 동등하게, 이 공식은 쓰일 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$

분자와 분모에 모두 k개의 인자가 있는 경우. 이 공식은 분수를 포함하지만, 이항계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$k ) ${\${\$tbinom{n}{k}}}}$는 사실상 정수다.

조합해석

이항 계수$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ )${\$ {$n}{k}}}$은(는) n-요소 집합에서 k 요소를 선택하는 방법의 수로 해석할 수 있다$$. 이것은 다음과 같은 이유로 이항과 관련이 있다: 만약 우리가 (x + y)ⁿ를 제품으로 쓴다면

${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),}$

그리고 나서, 분배법에 따르면, 제품의 각 이항 분포로부터 x 또는 y의 각 선택에 대한 확장에 하나의 용어가 있을 것이다. 예를 들어, 각 이항 분포에서 x를 선택하는 데 해당하는 x라는ⁿ 용어가 하나만 있을 것이다. 그러나 xyⁿ⁻²² 형식의 여러 용어는 y를 기여하기 위해 정확히 두 개의 이항체를 선택하는 각 방법마다 하나씩 있을 것이다. 따라서 유사 항을 조합한 후 xy의ⁿ⁻²² 계수는 n-요소 집합에서 정확히 2개의 원소를 선택하는 방법의 수와 같을 것이다.

교정쇄

콤비네이터얼 프루프

예

xy² 계수:

${\displaystyle {\ex}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)\\&=xxxxxxxy+xy+{xy}}}{xyy}}}{\underline {yxx}}+{\underline {yxx}}+y\\&=x^{3}+3x^{2}y+{{3xy^{2}{3xy^{2}}}+y^{3}}}\end{정렬}}}$

등가${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}}$이(가) 3개의 x,y 문자열과 정확히 2개의 ys가 있으므로$$, 즉,

$(\displaystyle xyy,\;yxy,\;yx,}$

{1, 2, 3}의 3개의 2개 하위 집합에 해당됨, 즉,

${\displaystyle \{2,3\}\;\{1,3\}\;\{1,2\}}$

여기서 각 부분 집합은 해당 문자열에서 y의 위치를 지정한다.

일반사례

확장(x + y)ⁿ은 ee₁₂ ... 형식의 두 제품의ⁿ 합을 산출한다. e_n 각 e가_i x 또는 y인 경우 재배열 요인은 각 제품이 0과 n 사이의 일부 k에서 xy와^n−kk 같다는 것을 보여준다. 주어진 k에 대해 다음 사항이 연속적으로 동등하게 입증된다.

• 증축된 xy의^n−kk 사본 수
• 정확히 k 위치에 y가 있는 n-문자 x,y 문자열의 수
• {1, 2, ..., n}의 k-16 하위 집합 수
• ${\displaystyle }$$({\displaystyle }$${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},$ 정의에$$ 따라 또는 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ k${\displaystyle }$) ${\$을(를$)$ $n{\displaystyle \frac{}{}}$! ${\displaystyle \frac{!}{}}$ (${\displaystyle \frac{n}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$k )로$$ 정의하는 경우 짧은 조합 인수에 의해 ${\tfrac$ {n!$}{{k!(n-k)!$$}}.}$

이것은 이항 정리를 증명한다.

귀납적 증명

유도는 이항 정리의 또 다른 증거를 산출한다. n = 0일 때, x⁰ = ${\displaystyle 1}$과${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{0}{}}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ 이제$$ 동일성이 주어진 n에 대해 유지된다고 가정하고, n + 1에 대해 증명할 것이다. j, k ≥ 0의 경우, [f(x, y)]_j,k가 다항식 f(x, y)의 xy^jk 계수를 나타내도록 한다. 귀납 가설에서 (x + y)ⁿ는 x와 y의 다항식으로서, j + k = n, 그 이외의$$ 경우 [(x + y)]ⁿ_j,k가 (n ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$) ${\$이$({\displaystyle }$가) 된다. 아이덴티

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}}}$

(x + y)ⁿ⁺¹도 x와 y의 다항식임을 나타내며,

${\displaystyle [(x+y)^{n+1}_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1}}$

j + k = n + 1이면 (j - 1) + k = n과 j + (k - 1) = n. 이제 오른손은

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}-1}={\binom {n+1}{k},}$

파스칼의 신원에 의해 ^[15]말이야 반면 j + k ≠ n + 1이면 (j – 1) + k ≠ n과 j + (k – 1) ≠ n이므로 0 + 0 = 0을 얻는다. 그러므로

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}x^{n+1-k}y^{k}}}}}$

즉, n + 1을 n으로 대체하여 귀납 단계를 완료하는 귀납 가설이다.

일반화

뉴턴의 일반화된 이항 정리

1665년경 아이작 뉴턴은 이항 정리를 일반화하여 비음수 정수 이외의 실제 지수를 허용하였다.(동일한 일반화는 복잡한 지수에 대해서도 적용된다.) 이 일반화에서 유한 합은 무한 계열로 대체된다. 그러기 위해서는 임의의 상위지수를 갖는 이항계수에 의미를 부여할 필요가 있는데, 이항계수는 요인식을 갖는 일반적인 공식으로는 할 수 없다. 단, 임의의 숫자 r에 대해서는 정의 할 수 있다.

${\displaystyle {r \선택 k}={\frac {r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!}}}={\frac {(r)_{k}}{k!},}$

여기서 (${\displaystyle {}_{}\cdot }$ ) ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 포하머 기호로, 여기에서 하강 요인을 나타낸다. 이것은 r이 음이 아닌 정수일 때 일반적인 정의와 일치한다. 그렇다면 x와 y가 x > ^{[Note 1]}y를 가진 실수이고 r이 어떤 복잡한 수라면, 그 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\r(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\inflit }{r-k^{k}\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac(r-1){2!}}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aigned}}}}$

r이 음이 아닌 정수일 때 k > r에 대한 이항 계수는 0이므로 이 방정식은 통상적인 이항 정리까지 감소하며, 최대 r + 1의 비제로 항이 있다. r의 다른 값에 대해, 시리즈는 일반적으로 무한히 많은 0이 아닌 항을 가지고 있다.

예를 들어, r = 1/2은 제곱근에 대해 다음과 같은 열을 제공한다.

${\displaystyle {\sqrt{1+x}=1+{{1}{2}}x-{1}{{1}{8}x^{1}{1}{16}x^{1}{16}}}}{16}x^{5}}-{7}}}}{256x^5}-cdots}}}}$

r = -1을 취하면 일반화된 이항계열은 x < 1:에 유효한 기하계열 공식을 제공한다.

${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots }}}$

일반적으로 s = -r:

${\displaystyle {\frac {1}{{1-x}^{s}}}=\sum _{k=0}^{\inflt }{s+k-1 \c}x^{k}를 선택하십시오.}$

예를 들어 s = 1/2일 때

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$

추가 일반화

일반화된 이항 정리는 x와 y가 복잡한 숫자인 경우로 확장될 수 있다. 이 버전의 경우, x > y를 다시 가정하고 x를 중심으로 반경 x의 열린 디스크에 정의된 로그의 홀로모르픽 분기를 사용하여 x + y와 x의 힘을 정의해야 한다. 일반화된 이항 정리는 xy = yx, x가 변위불능인 한 Banach 대수의 원소 x와 y에도 유효하다.

이항 정리 버전은 Pochhammer 기호 유사 다항식 계열에 대해 유효하다: 주어진 실제 상수 c에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 0^{}}$) = ${\displaystyle 1}$을 정의하고, 1$$ ${\displaystyle x^{(0)}=1}$및

${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$

> ${\displaystyle n>0$의 경우$.$${}$ 그러면^[16]

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}}a^{{n-k)}b^{(k)}}}}$

사례 c = 0은 통상적인 이항 정리를 회복한다.

보다 일반적으로 다항식의 순서$$${\displaystyle }${${\displaystyle {pn}_{}{}_{\}n}^{}}$ = ${$ {\$displaystyle$\{$p_{n}\}_{n=0}^{\inflt }}}}$는 다음과 같은 경우 이항식이라고 한다.

• ${\displaystyle }$$deg{\displaystyle }$${\displaystyle }$p ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \p_{n}=n}$ 모든 n ${\displaystyle n}$에 대해$,$
• ${\displaystyle p_{}{0\mathrm{}}_{}}$ ( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{0}(0)=1$}$$및
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$ for all ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle n}$.

An operator ${\displaystyle Q}$ on the space of polynomials is said to be the basis operator of the sequence ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ if ${\displaystyle Qp_{0}=0}$ and ${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ for all ${\displaystyle n\$$Geqslant 1$ 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle {pn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_n^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) 기본 연산자가 델타 연산자인 경우에만 이항법이다$$.^[17] 한{\displaystyle}사용자에 의해 교대 근무를 위해 E는{\displaystyle E^{}},은 델타 지역 사업자 다항식의 위의"Pochhammer"가족에 해당하는 나는}c을에 E− c{\displaystyle I-E^{-c}−은 후방 차분;0{\displaystyle c>0}, c는 보통 파생)0{\dis 있다.연주한다$tyle c=0}$및 < ${\displaystyle c<0}$에 대한 전진 차이 $E{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle c{}^{}}$- I ${\displaystyle$ E$^{-c}-I$

다항정리

이항 정리는 세 개 이상의 용어를 가진 합계의 힘을 포함하도록 일반화할 수 있다. 일반 버전은

${\displaystyle(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$

여기서 합계는 모든 k의_i 합이 n이 되도록 k에서₁ k까지의_m 비 음수 정수 지수들의 모든 시퀀스를 이어받는다(확장 시 각 항에 대해, 지수는 n까지 더해야 한다). 계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{nk{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{1\mathrm{}}_{}}{}}$,${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{}_{}\cdots ,}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k_{}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{}_{}}{}}$) ${\$은 다항계수라고 하며, 공식으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}}={\frac {n!}}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

조합적으로, 다항 계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{n\mathrm{}}_{}}{}}$ k 1,${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{}_{}\cdots }{}}$, k ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{m_{}}{}}$) ${\${1$},\cdots,k_{m$}}}}}은(는) n-요소를 크기 k₁, ..., k의_m 분리 하위 집합으로 분할하는 여러 가지 방법을 카운트한다$$.

다이항정리

좀 더 차원으로 작업할 때는 이항식 제품을 다루는 것이 유용할 때가 많다. 이항 정리에 의해 이것은 다음과 같다.

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$

이것은 다음과 같이 여러 지수 표기법으로 보다 간결하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle (x+y)^{\no \}=\sum _{\nu \leq \req \sum }{\binom {\\nu }}}x^{}}}}{\nu }$

라이프니즈 장군 규칙

일반적인 라이프니즈 규칙은 두 가지 기능의 제품 중 n번째 파생상품을 이항 정리와 유사한 형태로 제공한다.^[18]

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{k-k}}}(x)g^{(k)}(x).}$

여기서 위첨자(n)는 함수의 n번째 파생상품을 나타낸다. f(x) = e^ax, g(x) = e를^bx 설정한 다음 결과 양쪽에서 e의^{(a + b)x} 공통인자를 취소하면 일반적인 이항 정리가 회복된다.^[19]

적용들

다중 각도 ID

복잡한 숫자의 경우 이항 정리는 사인과 코사인(cosine)에 대해 다각 공식을 산출하는 데 모이브르의 공식과 결합될 수 있다. 드 모이브르의 공식에 따르면

${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}}$

이항 정리를 이용하여 오른쪽의 표현을 확장한 다음, 실제와 가상의 부분을 취하여 cos(nx)와 sin(nx)에 대한 공식을 산출할 수 있다. 예를 들어, 다음부터

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\오른쪽)^{2}=\cos ^{2}x2i\cos x\sin ^{2}x,}$

드 모이브르의 공식은 우리에게

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\sin {\text{and}\cosin \sin=2\cos x\sin x,}$

일반적인 이중각의 정체성이지 마찬가지로, 다음부터

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\오른쪽)^{3}=\coses ^{3}xx\sin x-3\cos x-sin ^{2}x-i\sin ^{3x,},}$

드 모이브르의 공식 산출량

${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\coses {\text{and}}\cos \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$

대체적으로.

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{val}}^{k/2}{n \cos 선택 ^{n-k}x\sin ^{k}x}$

그리고

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{홀수}-1}^{k-1){(k-1)/2}{n \cos 선택 ^{n-k}x\sin ^{k}x.}}$

e용 시리즈

숫자 e는 종종 공식에 의해 정의된다.

${\displaystyle e=\lim _{n\to \inflt }\왼쪽(1+{\frac{1}{n}\오른쪽)^{n}}$

이 이항 정리를 이 표현에 적용하면 e에 대한 일반적인 무한 계열이 산출된다. 특히:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}\오른쪽)^{n}=1+{n \compac {1}{n1}:{n}+{n \compac {1}{n^{2}}:}}+{n \cdots 선택 3}{\frac {1}{n^{3}}}}}+{n \cdots 선택 n}{{\frac {1}{n1}{n}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

이 합계의 k번째 기간은

${\displaystyle {n \선택 k}{\frac {1}{n^{k}}={\frac {1}{k!}}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{nn^{k}}}}$

n → ∞으로서 오른쪽의 이성적 표현은 1에 접근하므로, 따라서,

${\displaystyle \lim _{n\to \flt }{n \frac {1}{n^{k}}={\frac {1}{k!}}.}$

이는 e를 시리즈로 쓸 수 있음을 나타낸다.

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{k!}}}={\frac{1}{0!}}}{\frac{1}{1!}}}{\frac{1}{2!}}}{\frac{1}{3!}}}+\cdots .}$

실제로 이항 팽창의 각 용어는 n의 증가함수이기 때문에, 이 무한 계열의 합이 e와 같다는 것은 시리즈에 대한 단오톤 수렴 정리에서 따른다.

확률

이항 정리는 음의 이항 분포의 확률 질량 함수와 밀접한 관련이 있다. 성공 ${\displaystyle \mathrm{확률}}$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle [0}$ , 1$] {\displaystyle$ $\{X_{t}\}_{t$$\in$$S}}$에서 독립 베르누이 재판$({\displaystyle }$카운트 가능)의 (${\displaystyle {}_{}}$) 수집이 모두 이루어지지$$ 않을 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{S }}=\s }=\sum _{n=0}^{S \clect n}(-p)^{n}}}}}}}$

이 수량에 대한 유용한 상한은 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {S.}^{}}$ ${\displaystyle$ e$^{-p$S$}}$이다.

추상대수학에서

이항 정리는 xy = yx인 경우 링의 두 원소 x와 y 또는 심지어 연기에 더 일반적으로 유효하다. 예를 들어, 두 개의 n × n 행렬을 유지하며, 단, 행렬이 통근할 경우, 이는 행렬의 힘을 계산하는 데 유용하다.^[21]

이항 정리는 다항식 순서 {1, x, x², x³, x, ...라고 말해도 알 수 있다.{}은(는) 이항형이다.

대중문화에서

• 이항적 정리는 코믹 오페라 <펜잔스의 해적>에 나오는 소장의 노래에 언급되어 있다.
• 모리아티 교수는 셜록 홈즈가 이항 정리에 관한 논문을 쓴 것으로 묘사하고 있다.
• 포르투갈 시인 페르난도 페소아는 캄포스라는 이형명을 사용해 "뉴턴의 비노미알은 밀로 비너스처럼 아름답다"고 썼다. 사실은 그것을 알아차리는 사람이 거의 없다는 거야."^[22]
• 2014년 영화 '모방의 게임'에서 앨런 튜링은 블렛클리 공원에서 Denniston 사령관과의 첫 만남에서 아이작 뉴턴의 이항 정리 작업을 언급한다.

참고 항목

• 이항 근사치
• 이항 분포
• 이항 역 정리
• 스털링의 근사치
• 태너리의 정리

메모들

참조

추가 읽기

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian J. History Sci. 1 (1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison Wesley. pp. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 17649857.

외부 링크

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Newton binomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Stephen Wolfram의 이항정리, 그리고 2007년 Wolfram 데모프로젝트인 Bruce Colletti와 Jeff Bryant의 "이항정리(Step-by-Step)".

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 이항 정리에 대한 귀납적 증명 자료가 통합되어 있다.