분할자의 선형계

분할자의 선형 체계는 아폴로니아 서클에서와 같이 곡선 계열의 고전적인 기하학적 개념을 대수화한다.

대수기하학에서, 분할자의 선형 시스템은 곡선 계열의 기하학적 개념의 대수적 일반화다; 선형 시스템의 치수는 그 계열의 매개변수 수에 해당한다.

이것들은 투영면에서 대수곡선의 선형계 형태로 먼저 발생하였다.그것은 점진적인 일반화를 통해 보다 일반적인 형태를 가정하여 일반적 계획이나 심지어 고리형 공간(X_X, O)^[1]에 대한 구분자 D의 선형 등가성을 말할 수 있었다.

치수 1, 2 또는 3의 선형 시스템을 각각 연필, 그물 또는 거미줄이라고 한다.

선형 시스템에 의해 결정되는 지도를 고다이라 지도라고 부르기도 한다.

정의

Given the fundamental idea of a rational function on a general variety $X$ , or in other words of a function $f$ in the function field of $X$ , $f\in k(X)$ , divisors $D,E\in {\text{Div}}(X)$ are linearly 등가 구분자:

[\displaystyle D=E+(f)\ }

여기서 $(f)$ ( $(f)$ ) $(f)$ 은 함수 $f$ $f$ 의 0과 극의 점을 의미한다 $(f)$ $f$

$X$ $X$ 에 $X$ 단수 포인트가 있는 경우 'divisor'는 본질적으로 모호하다는 점에 유의하십시오(카티어 디비저, Weil 디비저: divisor(algebraic geomethor) 참조).이 경우 정의는 일반적으로 (수직할 수 없는 절편이나 홀로모르픽 라인 번들을 사용하는 것) 더 주의 깊게 언급된다. 아래를 참조한다.

A complete linear system on $X$ is defined as the set of all effective divisors linearly equivalent to some given divisor $D\in {\text{Div}}(X)$ . It is denoted $D$ . Let ${\mathcal {L}}$ be the line bundle associated to $D$ $D$ . In the case that $X$ is a nonsingular projective variety elements of the set $D$ , which can be written as $E=(f)+D$ , are in natural bijection with $(\Gamma (X,{\mathcal {L$ $})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },}$ ^[2] by associating $E=(f)+D$ to $[(f)]$ (this is well defined since $(\lambda f)=\lambda (f)$ ) and is therefore a projective space.

선형 시스템 ${\mathfrak {d}}$ ${\$ 은(는) 완전한 선형 시스템의 투영 하위 공간이므로 so ${\mathfrak {d}}$ ( $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ , $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ L $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ )의 벡터 하위 공간 W에 해당한다 $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ ${\displaystyle \Gammatcal {L}.$ $}}$ 선형 시스템 ${\mathfrak {d}}$ ${\$ 의 치수는 $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ 투영 공간으로서의 차원이다 ${\mathfrak {d}}$ .따라서 $\dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1$ d = $\dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1$ $\dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1$ - 1 ${\displaystyle \dim {\mathfrak {d}=\dim W-1$

카르티에 칸막이 클래스는 선다발의 이형성 클래스이기 때문에, 선형 시스템도 칸막이를 전혀 참조하지 않고 선다발이나 변위 불가능한 칸막이를 이용하여 도입할 수 있다.이 용어로 $D$ ${\displaystyle D}($ 정확하게 말하면 카티어 디비저)는 선다발에 해당하며, 두 디비저의 선형 등가성은 해당 선다발이 이형이라는 것을 의미한다.

예

선형등가성

Consider the line bundle ${\mathcal {O}}(2)$ on $\mathbb {P} ^{3}$ whose sections $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ define quadric surfaces.For the associated divisor $D_{s}=Z(s)$ , it is linearly equivalent to any other divisor defined by the vanishing locus of some $t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ using the rational function ${\displaystyle \left(t/s\$ $오른쪽)}($ ^[2]제안 7.2항). $D$ 를 들어 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ + y $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ + $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ + $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ + w 2 ${\$ }+z^{2 $}+$ $w$ $^{$ 2 $}}:$ x {\ $displaystyle$ xy $xy$ 의 소멸 로커스와 연관된 $D$ $E$ 디비저 $E$ ${\displaystystyle E}$ 와 선형적으로 동일하다 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ .그 다음, 칸막이의 등가성이 있다.

$D=E+\왼쪽({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+z^{2}+w^{2}+w^{2)}}{xy}}\오른쪽)$

곡선상의 선형 시스템

One of the important complete linear systems on an algebraic curve $C$ of genus $g$ is given by the complete linear system associated with the canonical divisor $K$ , denoted $K =\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ $|K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ . 선형 시스템의 모든 유효 $\omega _{C}$ 는 $\omega _{C}$ C $\omega _{C}$ {\ $displaystyle \omega_{C}$ 의 일부 섹션의 0에서 나오기 때문에 이 정의는 Hartshorne의^[2] 제안 II.7.7에서 따른다 $\omega _{C}$

과급곡선

선형 시스템의 한 가지 적용은 대수곡선의 분류에 사용된다.과대망상 곡선은 $C$ ${\$ $displaystyle 2}$ 형태론 $C$ $2$ $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ : C $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ → $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ ${\$ f $:$ 그 경우 C\to \mathbb{P}^{1}}.[2]gx2{\displaystyle g=2}곡선은 모두:Riemann–Roch 정리한 다음}KC{\displaystyle K_{C}의 정도를 나타낸다hyperelliptic고 있다 2g− 2=2{2g-2=2\displaystyle}과 h0(KC)x2{\displaystyle h^{0}(K_{C})=2}에 학위 2{\displays 있다.tyl $e 2}$ 맵 $2$ $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ 1 = $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ ( $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ ( $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ , $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ C $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ ) $\mathb {P$ ^{ $1}=\mathb {P}(H^{0}(C,\omega _{C})}$ .

g_r^d

A $g_{r}^{d}$ is a linear system ${\mathfrak {d}}$ on a curve $C$ which is of degree $d$ and dimension $r$ . For example, hyperelliptic curves have a $g_{2}^{1}$ since $|K_{C}|$ $K_{C}$ 이(가) 1을 $|K_{C}|$ 정의한다.실제로 과대망상곡선은 제안 5.3에서 나온 고유한 $g_{2}^{1}$ ^[2] g $g_{2}^{1}$ $g_{2}^{1}$ ${\$ 스타일 $g_{2}^{$ 1}:{1}을 $($ 를) 가지고 있다.또 다른 가까운 예제 집합은 삼각 곡선이라고 하는 $g_{1}^{3}$ g $g_{1}^{3}$ $g_{1}^{3}$ ${\$ 을(를) 가진 곡선이다.실제로 모든 곡선은 $d\geq (1/2)g+1$ / $d\geq (1/2)g+1$ ) g $d\geq (1/2)g+1$ + $d\geq (1/2)g+1$ $d\geq(1/2)g+1$ 에 $g_{1}^{d}$ $g_{1}^{d}$ g $g_{1}^{d}$ $g_{1}^{d}$ ${\$ 을(를) 가진다 $d\geq (1/2)g+1$ ^[3]

$\mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{n}$ ${\$ 의 하이퍼스페이스 선형 시스템

Consider the line bundle ${\mathcal {O}}(d)$ over $\mathbb {P} ^{n}$ . If we take global sections $V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))$ , then we can take its projectivization $\mathbb {P} (V)$ .이것은 $\mathbb {P} ^{N}$ N $\mathbb {P} ^{N}$ {\ $displaystyle \mathb{P}$ ^{ $N}$ 에 ${\mathbb {P}}^{N}$ 대해 이형이다.

N={\binom {n+d}{n1

그런 다음 $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ P k $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ → $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ N ${\$ 을 사용하여 치수 $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ $k$ ${\displaysty k}$ 의 선형 시스템을 구성할 수 있다 $k$

원뿔의 선형계

기타 예

카이리-바차라크 정리는 큐빅 연필의 속성으로서, 베이스 로커스는 "8" 특성을 만족한다고 기술하고 있다. 즉, 포인트 중 8을 포함하는 큐빅은 반드시 9를 포함한다.

쌍생 기하학의 선형 시스템

일반적으로 선형 시스템은 이탈리아 대수 기하학 학교에서 실행한 대로 혼성 기하학의 기본 도구가 되었다.기술적 요구는 상당히 엄격해졌고, 이후 발전은 많은 문제들을 명확히 했다.관련 차원(리만-로치 문제)의 연산은 호몰로지 대수 측면에서 더 잘 표현될 수 있다.단수점을 가진 품종에 대한 작업효과는 Weil divisors(코디멘션 1 하위분리에 의해 생성되는 자유 아벨리안 그룹에서)와 변위불능 sheaves에서 나오는 Cartier divisors의 차이를 보여주는 것이다.

이탈리아 학교는 대수학 표면의 기하학을 3개의 공간에 있는 표면으로 잘라낸 선형 시스템으로 줄이는 것을 좋아했다; Zariski는 고정된 기저점을 가진 선형 시스템을 포함하는 방법들을 통합하기 위해 그의 유명한 책 Algebatic Surfaces를 썼다.대수학적 기하학에서 '구'와 '신'의 관점이 대립하는 최종 쟁점 중 하나인 앙리 푸앵카레의 대수학적 곡선 계열의 특징적인 선형 시스템을 놓고 논란이 일었다.

베이스 로커스

변종에서 분점 선형 시스템의 기저 위치란 선형 시스템의 모든 분점에 대한 점의 '공통'의 하위 변동을 가리킨다.기하학적으로 이것은 품종의 공통 교차점에 해당한다.선형 시스템에는 기본 위치가 있을 수도 있고 없을 수도 있다. 예를 들어, $x=a$ x = ${\displaystyle$ x= $a}$ 의 연필에는 공통 교차점이 없지만 $x=a$ 복잡한 투영 평면에서 두 개의 (비감소) 원뿔이 주어진 경우, 이들은 네 개의 점(다중성으로 계산)으로 교차하며 따라서 그들이 정의하는 연필에는 이러한 점이 기본 위치로서 있다.

더 정확히 말하자면, $|D|$ $displaystyle D}$ 이 $|D|$ (가) 일부 품종 $X$ {\ $displaystyle$ X $}$ 에 대한 완전 선형 시스템이라고 가정하자 $X$ 교차점을 고려해 보십시오.

\operatorname {Bl}(D ):=\빅캡 _{D_{\text{eff}\in D }\operatorname {Supped}D_{\text{eff}\}\}}}

여기서 $\operatorname {Supp}$ ${\displaystyle \operatorname {Supply}은($ 는) 디비저의 지원을 나타내며 $\operatorname {Supp}$ , 교차점은 선형 시스템에서 모든 $D_{\text{eff}}$ 유효 디비저 D $D_{\text{eff}}$ ${\$ 를 차지한다.이것은 $|D|$ $displaystyle$ D $}$ 의 기본 위치( $|D|$ 적어도 세트: $\operatorname {Bl}$ $\operatorname {Bl}$ 의 구조 피복이 어떻게 되어야 $\operatorname {Bl}$ 하는지에 대해 좀 더 미묘한 체계-이론적 고려사항이 있을 수 있다).

베이스 로커스의 개념의 한 가지 적용은 카르티에 디비저 클래스의 네프니스(즉, 완전한 선형 시스템)이다. $|D|$ $displaystyle D$ }이 $|D|$ (가) $X$ 한 X{\ $displaystyle$ X $X$ $및$ C{\ $displaystyle$ C}에서 $C$ 그러한 클래스라고 가정해 보십시오 $X$ $|D|$ C $displaystyle D$ 의 기본 위치에 C {\ $displaystystyle C$ }이(가) 포함되어 $C$ 있지 ${\tilde {D}}$ D ${\tilde {D}}$ ~ ${\tilde {D}}$ { $dis$ 일부 디비서가 존재한다. $C$ $C$ 이 $C$ 가) 포함되어 있지 않은 클래스에서 ${\tilde {D}}$ 재생 $스타일 {\tilde{D}}$ 이(가) 올바르게 교차한다.교차로 이론에서 나온 기본적인 사실들은 $|D|\cdot C\geq 0$ 가 D $|D|\cdot C\geq 0$ c C $|D|\cdot C\geq 0$ 0 $|D|\cdot C\geq 0$ {\ $displaystyle D \cdot$ C\ $geq$ 0 $}$ 을(를) 가져야 한다는 것을 말해준다 $|D|\cdot C\geq 0$ 결론은 칸막이 클래스의 네피스를 확인하려면 클래스의 베이스 위치에 포함된 곡선으로 교차로 번호를 계산하면 충분하다는 것이다.그래서 대략적으로 말하면, 기초의 위치를 '작을수록' 클래스가 nef일 가능성이 더 높다.

In the modern formulation of algebraic geometry, a complete linear system $D$ of (Cartier) divisors on a variety $X$ is viewed as a line bundle ${\mathcal {O}}(D)$ on $X$ . From this viewpoint, the base locus ${$ $\displaystyle \operatorname {Bl}(D$ )은 $\operatorname {Bl} (|D|)$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}(D)$ 의 모든 섹션에 대한 공통 0 집합이며 ${\mathcal {O}}(D)$ 간단한 결과는 기본 로쿠스가 비어 있는 경우에만 번들이 전체적으로 생성된다는 것이다.

베이스 로커스의 개념은 비완전 선형 시스템에도 여전히 타당하다. 즉, 그것의 베이스 로커스는 여전히 시스템 내 모든 유효 디비저의 지지대의 교차점이다.

예

Consider the Lefschetz pencil $p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}$ given by two generic sections $f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$ , so ${\mathfrak {X}}$ given by the scheme

${\displaystyle {\mathfrak{X}={\text{Proj}}\왼쪽({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots,x_{n}]}{{(sf+tg)}}}}}\오른쪽)$

This has an associated linear system of divisors since each polynomial, $s_{0}f+t_{0}g$ for a fixed $[s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}$ is a divisor in $\mathbb {P} ^{n}$ . Then, the base locus of this system of divisors는 $f$ , $g$ $f,g$ 의 소멸된 위치에 의해 주어지는 계책이다 $f,g$

${\displaystyle{\textfrak{X}}={\text{Proj}}\왼쪽({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots,x_{n}}}}{(f,g)}}}}}}}}$

선형 시스템에 의해 결정된 지도

대수적 다양성의 각 선형 시스템은 다음과 같이 기본 위치의 보완으로부터 시스템의 차원 투영 공간에 이르는 형태론을 결정한다.(어떤 의미에서, 그 반대도 사실이다. 아래 단원을 참조하라)

L을 대수적 품종 $V\subset \Gamma (X,L)$ 와 $V\subset \Gamma (X,L)$ $V\subset \Gamma (X,L)$ ⊂ $V\subset \Gamma (X,L)$ ( $V\subset \Gamma (X,L)$ , L $V\subset \Gamma (X,L)$ ) $V\subset \Gamma (X,L)$ {\ $displaystyle$ V\ $subset \감마(X$ ,L $)}$ 유한차원 $V\subset \Gamma (X,L)$ 벡터 서브스페이스의 선다발이 되게 하라.명료성을 위해 우선 V가 베이포인트 $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ 일 때, $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ 자연지도 V $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ O X $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ → L ${\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal{O}_{X}\to$ L}은 $($ 여기, k = 베이스 필드)를 고려한다 $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ .Or equivalently, $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}$ is surjective.따라서 사소한 벡터 번들에 $V_{X}=V\times X$ V X $V_{X}=V\times X$ = $V_{X}=V\times X$ $V_{X}=V\times X$ X $V_{X}=V\times X$ 를 쓰고 상대적인 Proj에게 추론을 전달하면 다음과 같은 폐쇄적인 몰입이 일어난다.

i:X\hookrightarrow \mathb {P}(V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathb {P}(V_{X}^{*}})=\mathb {P}(V^{*})\times X

여기서 오른쪽의 $\simeq$ $\simeq$ $\simeq$ 은(는) 선다발로 비틀어진 투영 번들의 침입이다.i를 투영한 다음 지도에 결과가 표시된다.^[4]

\displaystyle f:X\to \mathb {P}(V^{*})}

When the base locus of V is not empty, the above discussion still goes through with ${\mathcal {O}}_{X}$ in the direct sum replaced by an ideal sheaf defining the base locus and X replaced by the blow-up ${\widetilde {X}}$ of it along the (scheme-theoretic) base locus B.Precisely, as above, there is a surjection $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$ where ${\mathcal {I}}$ ${\mathcal {I}}$ B의 이상적인 껍질이며, 그 때문에

i}{\widetilde {X}\hookrightarrow \mathb {P}(V^{*})\time X.

$X-B\simeq$ - $X-B\simeq$ $X-B\simeq$ $X-B\simeq$ ${\widetilde {X}}$ ~ ${\$ 의 열린 $X-B\simeq$ 하위 집합이므로 지도에 다음 결과가 표시됨 ${\widetilde {X}}$

\displaystyle f:X-B\to \mathb {P}(V^{*})}

마지막으로, V의 기초를 선택할 때, 위의 논의는 더욱 현실적이 된다(그리고 그것이 Hartshorne, 대수학 기하학에서 사용되는 스타일이다).

투영 공간에 대한 지도에 의해 결정되는 선형 시스템

대수적 다양성에서 투사적 공간에 이르는 각각의 형태론은 그 다양성에 대한 기준점 없는 선형 시스템을 결정한다. 그 때문에, 기저점 없는 선형 시스템과 투사적 공간에 대한 지도가 서로 교환하여 사용되는 경우가 많다.

밀폐된 $f:Y\hookrightarrow X$ 도 f $f:Y\hookrightarrow X$ : $f:Y\hookrightarrow X$ ↪ $f:Y\hookrightarrow X$ ${\displaystyle$ f $:$ Y\hookrightarrow X}대수적 다양성의 힘을 모을 수 있는 킥의 선형 시스템 d{\displaystyle{\mathfrak{d}}}에서 X{X\displaystyle}에 Y{Y\displaystyle}, 정의된 f− 1(d)){f− 1(D)D∈ d}{\displaystyle f^{)}({\mathfrak{d}})=\ᆲ(D)D\in{\mathfrak{d}}년}}[2](pa.ge158).

투영 품종 O(1)

A projective variety $X$ embedded in $\mathbb {P} ^{r}$ has a natural linear system determining a map to projective space from ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O$ $}}}{{\mathbb{P} ^{r}}{\mathcal {O}_{\mathb {P} ^{r}(1$ ) ${\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)$ .그러면 점 x $x\in X$ X ${\displaystyle x\in$ X $}$ 이 $x\in X$ (가) 해당 점 $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ [ $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ : $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ : $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ r $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ ${\$ ^{ $r$

참고 항목

참조

^ 그로텐디크, 알렉산드르, 디우도네, 진.EGA IV, 21.3
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Hartshorne, R. 'Algebraic Geometry', 제안 II.7.2, 151페이지, 제안 II.7.7, 제안 157페이지, 158페이지, 연습 IV.1.7, 제안 IV.5.3, 제안 342페이지
^ Kleiman, Steven L.; Laksov, Dan (1974). "Another proof of the existence of special divisors". Acta Mathematica. 132: 163–176. doi:10.1007/BF02392112. ISSN 0001-5962.
^ Fulton, § 4.4.

P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 137. ISBN 0-471-05059-8.
하트숀, R.대수 기하학, Springer-Verlag, 1977; 수정 6번째 인쇄, 1993.ISBN 0-387-90244-9.
라자스펠트, R, 스프링거-베를라크, 2004년 대수학 기하학 I에서의 긍정.ISBN 3-540-22533-1

[1] 그로텐디크, 알렉산드르, 디우도네, 진.EGA IV, 21.3

[:0-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Hartshorne, R. 'Algebraic Geometry', 제안 II.7.2, 151페이지, 제안 II.7.7, 제안 157페이지, 158페이지, 연습 IV.1.7, 제안 IV.5.3, 제안 342페이지

[3] Kleiman, Steven L.; Laksov, Dan (1974). "Another proof of the existence of special divisors". Acta Mathematica. 132: 163–176. doi:10.1007/BF02392112. ISSN 0001-5962.

[4] Fulton, § 4.4.

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