콜모고로프 공간

분리 공리 위상학적으로
콜모고로프 분류
T0	(콜모고로프)
T1	(프레셰트)
T2	(하우스도르프)
T2½	(우리존)
완전2 T	(완전히 하우스도르프)
T3	(정규 하우스도르프)
T3½	(Tychonoff)
T4	(정상적인 하우스도르프)
T5	(일반적인) 하우스도르프)
T6	(일반적인) 하우스도르프)
역사

수학의 위상 및 관련 분기에서 위상학적 공간 X는 T 공간₀ 또는 콜모고로프 공간(안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)의 이름을 딴 공간)이다. 만약 X의 각 한 쌍에 대해 적어도 한 쌍이 다른 한 쌍을 포함하지 않는 이웃을 가지고 있다면 말이다.T₀ 공간에서는 모든 점을 위상학적으로 구별할 수 있다.

T조건이라₀ 불리는 이 조건은 분리 공리 중에서 가장 약한 것이다.수학에서 일반적으로 연구되는 거의 모든 위상학적 공간은 T 공간이다₀.특히, 모든₁ T 공간, 즉 각각의 구별되는 점 쌍에 대해 각각 다른 점을 포함하지 않는 근접한 공간을 갖는₀ 모든 공간은 T 공간은 T 공간은 T 공간이다.여기에는 모든 T₂(또는 하우스도르프) 공간, 즉 구별되는 지점이 인접한 모든 위상학적 공간이 포함된다.다른 방향에서 모든 정상 공간(T가₁ 아닐 수도 있음)은 T이다₀. 여기에는 어떤 계획의 기초적인 위상학적 공간이 포함된다.위상학적 공간은 위상학적으로 구분할 수 없는 점을 식별하여 T 공간을₀ 구성할 수 있다.

T₁ 공간이 아닌 T₀ 공간은 전문화 사전 순서가 비교가 되지 않는 부분 순서인 공간이다.그러한 공간은 컴퓨터 과학, 특히 변혁적 의미론에서 자연적으로 발생한다.

정의

T₀ 공간은 모든 구별되는 점 쌍을 위상학적으로 구별할 수 있는 위상학 공간이다.즉, 두 개의 다른 점 x와 y에 대해 이러한 점 중 하나를 포함하고 다른 점 중 하나를 포함하지 않는 오픈 세트가 있다.보다 정확하게 위상학적 공간 X는 다음과 같은$$ 경우에만 Kolmogorov 또는 $T{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \mathbf{T} _{0}$이다.^[1]

If ${\displaystyle a,b\in X}$, there exists an open set O such that either ${\displaystyle (a\in O)\wedge (b\notin O)}$ or ${\displaystyle (a\notin O)\wedge (b\in O)}$.

위상학적으로 구별할 수 있는 점은 자동으로 구별된다는 점에 유의하십시오.반면 싱글톤 세트 {x}과(와) {y}이(가) 분리되어 있으면 x와 y를 위상학적으로 구분할 수 있어야 한다.그것은

분리된 separated 위상학적으로 구별할 수 있는 ⇒ 구별되는 ⇒

위상학적으로 구별할 수 있는 특성은 일반적으로 구별되는 것보다 강하지만 분리되는 것보다 약하다.T₀ 공간에서는 위의 두 번째 화살표도 반전된다. 점은 구별할 수 있는 경우에만 구별된다.T₀ 공리는 이렇게 해서 나머지 분리 공리와 일치한다.

예제 및 카운터 예제

일반적으로 수학에서 연구되는 거의 모든 위상학적 공간은 T이다₀.특히 모든 하우스도르프(T₂) 공간과 T₁ 공간, 그리고 냉정한 공간은₀ T 공간이다.

T가₀ 아닌 공간

• 둘 이상의 요소와 사소한 토폴로지가 있는 집합.어떤 점도 구별할 수 없다.
• 오픈 세트가 R과 R 자체에 있는 오픈 세트의 데카르트 제품인 세트 R², 즉 일반적인 위상이 있는 R과 사소한 위상이 있는 R의 제품 위상, 포인트(a,b)와 (a,c)는 구별할 수 없다.
• 실제 라인 R에서 복잡한 평면 C까지 모든 측정 가능한 함수의 공간은 전체 실선에 걸쳐 f(x)의 통합된 Lebesgue가 유한하다.거의 모든 곳에서 동일한 두 가지 기능은 구별할 수 없다.아래도 참조하십시오.

T가₀₁ 아니라 T인 공간

• Spec(R)의 Zariski 위상, 정류 링 R의 주요 스펙트럼은 항상 T이지만₀ 일반적으로 T는₁ 아니다.폐쇄되지 않은 지점은 최대치가 아닌 주요 이상에 해당한다.그들은 계획의 이해에 중요하다.
• 최소 두 개의 요소가 있는 세트의 특정 점 위상은 T이지만₀ 특정 점이 닫히지 않기 때문에 T가₁ 아니다(그 폐쇄는 전체 공간이다).중요한 특별한 경우는 세트 {0,1}의 특정 포인트 토폴로지인 시에르피에스키 공간이다.
• 최소 두 개의 요소가 있는 집합에서 제외된 점 위상은 T이지만₀ T는₁ 아니다.유일하게 폐쇄된 지점은 제외된 지점이다.
• 부분적으로 순서가 정해진 집합의 알렉산드로프 위상은₀ T이지만 순서가 별개(평등한 동의)가 아니면 T가₁ 되지 않는다.모든₀ 유한 T 공간은 이런 타입이다.여기에는 특수 사례로서 특정 지점 및 제외 지점 위상도 포함된다.
• 완전히 정렬된 집합의 올바른 순서 토폴로지는 관련 예다.
• 모든 열린 집합이 0을 포함하기 때문에 겹치는 간격 위상은 특정 점 위상과 유사하다.
• 꽤 일반적으로 위상학적 공간 X는 X의 전문화 사전주문이 부분적인 순서인 경우에만₀ T가 될 것이다.단, 순서가 별개의 경우(즉, 평등에 동의하는 경우)에만 X가 T가₁ 된다.따라서 X의 전문화₀ 사전주문이 비구체적 부분주문인 경우에만 공간이 T가 아니라 T가₁ 될 것이다.

T₀ 공백으로 작동

전형적으로 연구되는 위상학적 공간의 예는 T이다₀.실제로, 많은 분야의 수학자들, 특히 분석들이 T가 아닌₀ 공간을 가로질러 자연스럽게 달리게 되면, 그들은 대개 아래 설명된 방법으로 그것들을 T공백으로₀ 대체한다.관련된 아이디어에 동기를 부여하려면 잘 알려진 예를 생각해 보십시오.공간 L²(R)은 전체 실선에 걸쳐 f(x)의 르베그 적분이 유한할 수 있도록 실선 R에서 복잡한 평면 C까지 모든 측정 가능한 함수의 공간을 의미한다.이 공간은 표준 f를 그 적분의 제곱근으로 정의함으로써 표준 벡터 공간이 되어야 한다.문제는 (세미)규범이 0인 영함수 이외의 함수가 있기 때문에 이것이 실제로 표준이 아니고 세미놈이라는 점이다.표준² 솔루션은 L(R)을 함수의 등가 등급 집합으로 정의하는 것이다.이것은 원래의 반원형 벡터 공간의 인지도 공간을 구성하며, 이 인지도는 규범화된 벡터 공간이다.그것은 반원형 공간으로부터 몇 가지 편리한 특성을 물려받는다. 아래를 참조하라.

일반적으로 정해진 X에서 고정 위상 T를 다룰 때 위상이 T이면 도움이₀ 된다.한편, X를 고정하지만 T를 일정한 경계 내에서 변화시킬 수 있을 때, T를₀ T로₀ 강제하는 것은 종종 중요한 특별한 경우이기 때문에 불편할 수 있다.따라서 위상학적 공간에 배치할 수 있는 다양한 조건의 T₀ 버전과 비 T₀ 버전을 모두 이해하는 것이 중요할 수 있다.

콜모고로프 지수

점의 위상학적 구별이 불가능한 것은 동등성 관계다.X가 어떤 위상학적 공간으로부터 시작되든, 이 동등성 관계 하에서의 몫 공간은 항상 T이다₀.이 지수의 공간을 X의 콜모고로프 지수로 부르는데, 우리는 KQ(X)를 나타낼 것이다. 물론 X가 T로₀ 시작된다면 KQ(X)와 X는 자연적으로 동형이다.분류학적으로 콜모고로프 공간은 위상학적 공간의 반사적 하위 범주로, 콜모고로프 몫은 반사체다.

위상학적 공간 X와 Y는 콜모고로프 인용 부위가 동형일 때 등가 Kolmogorov이다.위상 공간의 많은 성질은 이 동등성에 의해 보존된다. 즉, X와 Y가 Kolmogorov 등가라면, X는 Y인 경우에만 그러한 속성을 갖는다.반면에 위상학적 공간의 다른 대부분의 속성은 T-ness를₀ 암시한다. 즉, X가 그러한 속성을 가지고 있다면 X는 T-ness여야₀ 한다.이 엄지의 법칙의 예외는 불분명한 공간이 되는 것과 같은 몇 가지 속성뿐이다.더 좋은 것은 위상학적 공간에 정의된 많은 구조물들이 X와 KQ(X) 사이에 전달될 수 있다는 점이다.그 결과 일정한 구조나 성질을 가진 비T₀ 위상학적 공간이 있다면 보통 콜모고로프 지수를 취함으로써 동일한 구조와 성질을 가진 T 공간을₀ 형성할 수 있다.

L²(R)의 예는 이러한 특징을 나타낸다.위상의 관점에서 보면, 우리가 시작한 반원형 벡터 공간은 많은 추가적인 구조를 가지고 있다. 예를 들어, 그것은 벡터 공간이고, 반원형을 가지고 있는데, 이것들은 위상과 호환되는 가성계와 균일한 구조를 정의한다.또한 이러한 구조에는 몇 가지 특성이 있다. 예를 들어, 세미놈은 평행사변형의 정체성을 만족시키고 균일한 구조가 완성된다.거의 모든 곳에서 동일한 L²(R)의 어떤 두 기능도 이 위상과 구별할 수 없기 때문에 공간은 T가₀ 아니다.우리가 콜모고로프 지수인 실제 L²(R)를 형성하면 이러한 구조와 성질이 보존된다.따라서 L²(R)도 평행사변형(Paralogram) 아이덴티티를 만족하는 완전한 정합 벡터 공간이다.하지만 우리는 실제로₀ 조금 더 많은 것을 얻는다. 왜냐하면 지금은 공간이 T이기 때문이다.세미놈은 기본 위상이 T인₀ 경우에만 표준이기 때문에, L²(R)은 실제로 평행그램 정체성을 만족하는 완전한 표준 벡터 공간이며, 다른 경우에는 힐버트 공간이라고 알려져 있다.그리고 그것은 수학자들(그리고 양자역학에서 물리학자들)이 일반적으로 연구하고 싶어하는 힐버트 공간이다.일반적으로 표기법² L(R)은 표기법이 시사하는 정사각형 통합함수의 벡터 공간이 아니라 정사각형 통합함수의 등가 등급인 Kolmogorov 지수(Kolmogorov index)를 나타낸다.

T₀ 제거 중

비록 규범이 역사적으로 먼저 정의되었지만, 사람들은 규범의 일종의 비T₀ 버전인 세미노름의 정의도 생각해냈다.일반적으로 위상학적 공간의 특성과 구조 둘 다의₀ 비 T 버전을 정의할 수 있다.첫째, 하우스도르프처럼 위상적 공간의 특성을 고려하라.Kolmogorov의 지수 KQ(X)가 Hausdorff인 경우에만 그 특성을 만족시키기 위해 공간 X를 정의함으로써 위상 공간의 또 다른 속성을 정의할 수 있다.이것은 비록 덜 유명하긴 하지만 분별 있는 재산이다. 이 경우 그러한 공간 X를 사전 규칙이라고 부른다.(사전정기에 대한 보다 직접적인 정의가 있는 것으로 밝혀지기도 한다.)이제 메트릭과 같은 위상학적 공간에 배치할 수 있는 구조를 고려해 보십시오.X에 있는 구조의 예를 단순히 KQ(X)에 대한 메트릭스가 되도록 함으로써 위상학적 공간에 새로운 구조를 정의할 수 있다.이것은 X에 대한 감각적인 구조다; 그것은 가성계다. (Again, 가성계에 대한 더 직접적인 정의가 있다.)

이런 식으로, 재산이나 구조물에 대한 요건에서 T-ness를₀ 제거하는 자연스러운 방법이 있다.일반적으로 T인₀ 공간을 공부하는 것이 더 쉽지만, T가₀ 아닌 구조물이 더 많은 그림을 얻을 수 있도록 하는 것도 더 쉬울 수 있다.T₀ 요건은 콜모고로프 지수의 개념을 이용하여 임의로 추가 또는 제거할 수 있다.

참고 항목

• 술취한 공간

참조

• Lynn Arthur Steen과 J. Arthur Seebach Jr. Counterrexamps in Topology.1978년 뉴욕 스프링거-베를라크.1995년 뉴욕 도버 출판사에서 재인쇄. ISBN0-486-68735-X(Dover Edition).