반례

Counterexample

반례는 일반화의 예외이다.논리학에서 반례는 일반화를 반증하고 수학과 [1]철학 분야에서 엄격하게 그렇게 한다.예를 들어, "존 스미스는 게으른 학생이 아니다"라는 사실은 "학생은 게으르다"는 일반화의 반례이며, "모든 학생은 [2]게으르다"는 보편적 수치에 대한 반례이자 반증이다.

수학에서, "반례"라는 용어는 (약간의 오용에 의해) 정리의 완전한 가설의 필요성을 보여주는 예시를 언급하기 위해 사용된다.이것은 가장 자주 가설의 일부가 만족되지 않고 [citation needed]정리의 결론이 유지되지 않는 경우를 고려함으로써 이루어진다.

수학에서

수학에서, 반례는 종종 가능한 이론의 경계를 증명하기 위해 사용된다.어떤 추측이 거짓이라는 것을 증명하기 위해 반례를 사용함으로써, 수학 연구자들은 막다른 골목에서 내려가는 것을 피할 수 있고 입증 가능한 이론을 만들기 위해 추측을 수정하는 것을 배울 수 있다.수학의 발달은 주로 이론과 [3]반례를 찾는 것으로 이루어진다.

직사각형 예시

한 수학자가 기하학과 도형을 연구하고 있고 그에 대한 특정 이론을 증명하고 싶다고 가정해 봅시다.그녀는 "모든 직사각형은 정사각형이다"라고 추측하고 이 진술이 참인지 거짓인지 알고 싶어 한다.

이 경우, 그녀는 연역적 추론을 사용하여 진술의 진실성을 증명하거나, 거짓으로 의심될 경우 진술의 반례를 찾으려고 시도할 수 있다.후자의 경우, 반례는 길이가 5인 두 변과 길이가 7인 두 변을 가진 직사각형과 같이 정사각형이 아닌 직사각형입니다.그러나 정사각형이 아닌 직사각형을 발견했음에도 불구하고 그녀가 찾은 모든 직사각형은 네 변을 가지고 있었다.그리고 그녀는 "모든 직사각형은 네 변이 있다"는 새로운 추측을 한다.모든 사각형은 네 변을 가지지만 모든 사각형은 정사각형은 아니기 때문에 이것은 그녀의 원래 추측보다 논리적으로 약하다.

위의 예는 수학자가 반례례에 직면하여 어떻게 추측을 약화시킬 수 있는지를 간략하게 설명했지만, 반례는 또한 특정한 가정과 가설의 필요성을 증명하기 위해 사용될 수 있다.예를 들어, 잠시 후 위의 수학자가 "사각형이고 길이가 같은 네 변을 가진 모든 모양은 정사각형이다"라는 새로운 추측을 정했다고 가정합니다.이 추측에는 두 가지 부분이 있다: 모양은 '사각형'이어야 하고 '같은 길이의 네 변'을 가져야 한다.그리고 수학자는 그녀가 두 가지 가정을 제거하고 여전히 자신의 추측의 진실을 유지할 수 있는지 알고 싶어합니다.즉, 다음 두 가지 진술의 진실성을 확인해야 합니다.

  1. "사각형인 모든 모양은 정사각형입니다."
  2. "같은 길이의 네 변을 가진 모든 도형은 정사각형입니다."

(1)에 대한 반례는 이미 앞에서 제시되었으며 (2)에 대한 반례는 비제곱 마름모이다.따라서, 수학자는 이제 두 가지 가정이 실제로 필요했다는 것을 알게 되었다.

기타 수학적 예

다음 항목도 참조하십시오.토폴로지의 반례와 최소 반례

"모든 소수는 홀수"라는 문장의 반례는 숫자 2이다. 이는 소수이지만 [1]홀수가 아니기 때문이다.숫자 7과 숫자 10 중 어느 것도 반례가 되지 않는다. 둘 다 그 진술에 반박하기에 충분하지 않기 때문이다.이 예에서 2는 문장에 대한 유일한 반증 사례입니다.그것만으로도 문장과 모순되는 것이 충분합니다.마찬가지로 "모든 자연수는 소수 또는 합성"이라는 문장은 1이 소수도 아니고 합성도 아니기 때문에 반례로서 숫자 1을 가지고 있다.

오일러의 힘의 합은 반례에 의해 반증되었다.그것은th 다른 n의 거듭제곱을 합하기 위해 적어도 n의th 거듭제곱이 필요하다고 주장했다.이 추측은 1966년에 [4]n = 5와 관련된 반례를 통해 반증되었다. 다른 n = 5 반례와 일부 n = 4 [5]반례가 알려져 있다.

비첸하우젠의 반례는 2차 손실 함수와 상태 변수의 선형 진화 방정식이 선형인 최적의 제어 법칙을 의미한다는 것이 항상 참인 것은 아니라는 것을 보여준다.

다른 예로는 세이퍼트 추측의 반증, 폴랴 추측, 힐베르트의 14번째 문제에 대한 추측, 타이트의 추측, 그리고 가네아 추측이 있다.

철학에 있어서

철학에서, 반례는 보통 특정한 경우에 적용되지 않는다는 것을 보여줌으로써 특정한 철학적 위치가 잘못되었다고 주장하는데 사용된다.또는, 최초의 철학자는 반례가 더 이상 적용되지 않도록 그들의 주장을 수정할 수 있다; 이것은 수학자가 반례 때문에 추측을 수정하는 것과 유사하다.

예를 들어, 플라톤의 고르기아스, 칼리클레스에서, 어떤 사람들은 다른 사람들보다 낫다고 말하는 것이 무엇을 의미하는지 정의하려고 노력하면서, 강한 사람들이 더 낫다고 주장합니다.

그러나 소크라테스는 비록 대중이 더 나쁜 성격의 소시민일지라도, 숫자의 힘 때문에 일반 폭도들의 계급은 귀족들의 유산 계급보다 더 강하다고 대답한다.그래서 소크라테스는 칼리클레스가 아마도 예상하지 못했던 영역, 즉 개인보다는 사람들의 집단을 살펴봄으로써 칼리클레스의 주장에 대한 반례를 제안했다.

칼리클레스는 소크라테스의 반례에 이의를 제기할 수 있는데, 아마도 평범한 폭도들이 귀족들보다 더 낫거나, 많은 수의 폭도들조차도 여전히 강하지 않다고 주장할 것이다.그러나 칼리클레스가 반례를 받아들인다면, 그는 자신의 주장을 철회하거나 반례가 더 이상 적용되지 않도록 수정해야 한다.예를 들어, 그는 자신의 주장을 개인을 지칭하는 것으로 수정하고, 평민을 폭도들이 아닌 개인의 집합체로 생각하도록 요구할 수 있다.

공교롭게도 그는 자신의 주장을 "더 강한" 대신 "와이저"라고 말하도록 수정하고, 아무리 많은 수의 우위라도 사람들을 현명하게 만들 수 없다고 주장한다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ a b "Mathwords: Counterexample". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-28.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Counterexample". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-28.
  3. ^ "What Is Counterexample?". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-11-28.
  4. ^ Lander, Parkin (1966). "Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. Americal Mathematical Society. 72 (6): 1079. doi:10.1090/s0002-9904-1966-11654-3. ISSN 0273-0979. Retrieved 2 August 2018.
  5. ^ Elkies, Noam (October 1988). "On A4 + B4 + C4 = D4" (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835.

추가 정보

외부 링크

  • Wiki 인용문의 반례와 관련된 인용문