힐베르트의 14번째 문제

수학에서 힐버트의 14번째 문제, 즉 1900년에 제안된 힐버트의 14번째 문제들은 특정한 알헤브라가 미세하게 생성되는지를 묻는다.

설정은 다음과 같다.k가 필드라고 가정하고, K를 n 변수의 합리적 함수 영역의 하위 필드라고 가정한다.

k(x₁, ..., x_n )에 대한 k(x, ..., x )

이제 교차로로 정의된 k-알지브라 R을 고려하십시오.

${\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\dots,x_{n}]\ .}$

Hilbert는 그러한 모든 알헤브라는 k를 통해 미세하게 생성된다고 추측했다.

특수한 경우에 힐베르트의 추측을 확인하고 특정한 종류의 반지(특히 그 추측이 1954년 자리스키에 의해 n = 1과 n = 2에 대해 무조건적으로 증명되었다)를 확인한 후 1959년 나가타 마사요시는 힐베르트의 추측에 대한 백범례를 발견했다.나가타의 백범절은 선형 대수군의 작용을 위해 적절하게 구성된 불변성의 고리다.

역사

그 문제는 원래 대수 불변 이론에서 비롯되었다.여기서 링 R은 다항 링 k[x₁, ..., x_n] (또는 보다 일반적으로, 필드에 대해 정의된 정밀하게 생성된 대수에서 대수적으로 작용하는 필드 k에 걸쳐 선형 대수 그룹의 다항식 불변성의 (적절하게 정의되는) 링으로 주어진다.이 상황에서 필드 K는 대수군의 주어진 작용에 따라 불변하는 변수 x의_i 합리적인 함수(다항식의 양)의 분야로, 링 R은 작용에 따라 불변하는 다항식의 링이다.19세기의 고전적인 예로는 특수 선형집단₂ SL(k)의 자연적 작용이 있는 두 변수에서 이항형태의 불변성에 대한 광범위한 연구(특히 케이리, 실베스터, 클레브슈, 폴 고단, 힐버트 등)가 있었다.힐버트 자신은 일부 고전적인 반단순 리 그룹(특히 복잡한 숫자에 대한 일반 선형 그룹)에 대한 복잡한 숫자의 분야와 다항 링에 대한 특정 선형 작용, 즉 리 그룹의 유한 차원 표현에서 오는 작용의 경우에 불변 링의 유한 발생을 증명했다.이 정밀도 결과는 후에 헤르만 바일(Hermann Weyl)에 의해 모든 반단순 거짓말 그룹의 등급으로 확대되었다.힐베르트의 증명에서 주요한 요소는 불변기에 의해 생성된 다항 링 내부의 이상에 적용되는 힐베르트의 기본 정리다.

자리스키의 제형

Zariski가 힐베르트의 14번째 문제를 공식화한 것은 필드 k에 대한 준아핀 대수학 X의 경우 X의 정규 함수의 링이 k에 걸쳐 정밀하게 생성되는지 여부를 묻는 것이다.

Zariski의 공식은 X 정상의 경우 원래 문제와 동등한 것으로 나타났다^[1].(또한 참조: 자리스키의 정밀도 정리)

에펜디예프 F.F. (Fuad Efendi)는 n-ary 형태의 불변성 r의 대칭 알고리즘 생성 기준을 제공했다.^[2]

나가타의 백범본

나가타(1958) 하프텍스트 오류: 대상 없음: CITREFNAgata1958 (도움말)은 힐베르트의 문제에 다음과 같은 백례를 주었다.필드 k는 prime field에 걸쳐 대수적으로 독립적인 i=1, 2, 3에 대해 a_1i, ...,a_16i 48개 원소를 포함하는 필드다.링 R은 32개의 변수에 있는 다항식 링 k[x₁,...,x₁₆,t₁,t₁₆]이다.벡터 공간 V는 i=1, 2, 3에 대한 세 벡터(a_1i, ...,a_16i) 각각에 직교하는 모든¹⁶ 벡터(b₁,...,b₁₆)로 구성된 k에 걸친 13차원 벡터 공간이다.벡터 스페이스 V는 덧셈을 하고 있는 13차원 역학 비만능 대수군이며, 그 원소는 모든 원소 t를_j 고정하고_j x + bt를_jjj 취함으로써 R에 작용한다.그렇다면 그룹 V의 작용에 따른 R 불변성 원소의 링은 정밀하게 생성된 k-algebra가 아니다.

여러 저자가 나가타의 예에서 집단의 크기와 벡터 공간을 줄였다.예를 들어, 토타로(2008)는 어떤 분야에서든 불변제 링이 정밀하게 생성되지 않은 k에¹⁸ 첨가제 그룹 3장의 총 G의³
_a 작용이 있다는 것을 보여주었다.

참고 항목

• 국소 nilpotent 파생

참조

참고 문헌 목록

• Nagata, Masayoshi (1960), "On the fourteenth problem of Hilbert", Proc. Internat. Congress Math. 1958, Cambridge University Press, pp. 459–462, MR 0116056, archived from the original on 2011-07-17
• Nagata, Masayoshi (1965), Lectures on the fourteenth problem of Hilbert (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 31, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0215828
• Totaro, Burt (2008), "Hilbert's 14th problem over finite fields and a conjecture on the cone of curves", Compositio Mathematica, 144 (5): 1176–1198, arXiv:0808.0695, doi:10.1112/S0010437X08003667, ISSN 0010-437X, MR 2457523
• O. Zariski, 해석 알제리코-지오메트리크 du quatorzieme publice de Hilbert, Bulletin des Sciences 78 (1954), 페이지 155–168.

각주