입방근

수학에서, 숫자 x의 세제곱근은 y = x가 되는³ 숫자 y이다. 0이 아닌 모든 실수는 정확히 하나의 실 세제곱근과 한 쌍의 복소공역 세제곱근을 가지고 있고, 0이 아닌 모든 복소수는 세 개의 복소수 입방근을 가지고 있다.$예$를 들어 $8$의 실제 세제곱근은$$2입니다. 왜냐하면 2$$= 8이기 때문입니다³.다른$$ 8의 세제곱근은 ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +}$ $({$ -$1$ + $i sq$rt {3}$$） $-{\displaystyle }$ - -${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ - $({$ - 1 - i - i$sq$ rt ${ }$$$}$$） $。{\displaystyle }$-27i의 세 입방근은

$({displaystyle 3i,\frac {3grt {3}} {2}} - {\frac {3grt {3} ) {2} - {\frac {3} {2} } - {\frac {3} {2} } } 。$

일부 문맥에서는 특히 큐브 루트가 실수인 경우 큐브 루트 중 하나(이 경우 실제)를 주 큐브 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$라고 부릅니다.\$displaystyle\sqrt[{$3}{~{~}}}는 큐브 함수의$$역함수입니다.n 실수만을 고려하지만 복소수를 고려하지는 않는 경우:${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{}}^{\text{exception 25:}}}$3) 3 $=$, (\$displaystyle \subrt$[ {3$} ]{$x$$}\$right) 0$이 아닌 수의 입방체에는 복소수 입방체근(복소수근)이 두 개 이상 있으며, 주입방체근은 입방체근이 아닐 수 있습니다.예를 들어 (${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle i{}^{3\mathrm{}}}$ ) ${\displaystyle 3}$ $8$ {{ $displaystyle$( -$$${\displaystyle 1}$+$$${\displaystyle i}$ $sq rt {$3} )^{$$}${\displaystyle }$$=$$1$ + i ${\displaystyle 3\text{exception 25:}}$ 8 3 $=$ 2. $neq$( \ $displaystyle$ -$1$ + $i sq$rt ${ 3$} { 8$$=$$2 )$$。$}$

형식적 정의

숫자 x의 세제곱근은 방정식을 만족시키는 숫자 y이다.

${\displaystyle y^{3}=x.\}$

특성.

실수

임의의 실수 x에 대해 y = x가 되는³ 실수 y가 하나 있습니다.입방체 함수는 증가하고 있으므로 두 개의 다른 입력에 대해 동일한 결과를 제공하지 않으며 모든 실수를 포함합니다.즉, 1대 1로 분사를 하는 것이다.그러면 일대일 역함수를 정의할 수 있습니다.실수의 경우 모든 실수의 고유한 입방근을 정의할 수 있습니다.이 정의를 사용할 경우 음수의 세제곱근은 음수가 됩니다.

x와 y가 복잡할 경우 3개의 해(x가 0이 아닌 경우)가 있으므로 x는 3개의 큐브 루트를 가집니다.실수는 복소공역쌍을 형성하는 1개의 실입방근과 2개의 실입방근을 가진다.예를 들어 1의 세제곱근은 다음과 같습니다.

${\displaystyle 1,\display-{\frac {1}{2}}+{\frac {2}}i,\display-{\frac {1}{2}}-{\frac {3}}{2}}i}$

이들 루트 중 마지막 두 가지는 실수 또는 복소수의 모든 루트 간의 관계를 이끌어냅니다.어떤 숫자가 특정 실수 또는 복소수의 1개의 큐브 루트일 경우, 다른 2개의 큐브 루트는 해당 큐브 루트에 1의 2개의 복소 큐브 루트 중 하나 또는 다른 하나를 곱함으로써 찾을 수 있습니다.

복소수

복소수의 경우 주 입방체 루트는 일반적으로 실수가 가장 큰 입방체 루트 또는 인수가 가장 작은 절대값을 갖는 입방체 루트로 정의됩니다.그것은 다음 공식에 의해 자연 로그의 주요 값과 관련이 있다.

$({displaystyle x^{1}{3}}=\exp \leftflac {1}{3}}\ln {x}\right).}$

x를 로 쓰면

${\displaystyle x=r\exp(i\theta),}$

여기서 r은 음이 아닌 실수이고 θ는 범위 내에 있습니다.

< $display$ - \ $pi$< \ $theta$\$leq$\$pi$

그러면 주 복소 세제곱근은

$({displaystyle {i\theta }{x}}=syslogrt[{3}}{r}}\exp \left\frac {i\theta }{3}}\오른쪽).}$

즉, 극좌표에서는 입방근을 정의하기 위해 반지름의 입방근을 취하여 극각을 3으로 나눕니다.이 정의에 따르면 음수의 주 세제곱근은 복소수이며, 예를 들어 θ-8은 -2가 아니라 1 + i33이 됩니다.

이 어려움은 또한 큐브 루트를 다중값 함수로 간주함으로써 해결할 수 있다: 만약 우리가 원래의 복소수 x를 세 가지 동등한 형태로 쓴다면, 즉,

$\displaystyle x=param {case\exp(i\theta)r\exp(i\theta +2i\pi),\[3px]r\exp(i\theta - 2i\pi)\end {case}}$

이 세 가지 형태의 주요 복소 입방근은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {displaystyle {cases} {\displayrt[{3}} {r}} \ exp \ left \ frac { i \ theta } { r} \ right } \ \ exp \ frac { i \ theta } { 3 } + \ frac 2 } } } }\end {case}}$

x = 0이 아닌 한, 이 세 개의 복소수는 x의 세 표현이 동일하더라도 구별됩니다.예를 들어, δ-8은 -2, 1 + i,3, 또는 1- i33으로 계산할 수 있습니다.

이는 모노드로미의 개념과 관련이 있습니다. 즉, 0 주위의 닫힌 경로를 따라 연속성을 갖는 경우, 턴 후 큐브 루트의 값은 ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$/ /${\displaystyle {}^{}{3}^{}}$으로 곱(또는 나눗셈)됩니다$.\displaystyle$ e$^{2i\pi /3}.$$}$

나침반 직선 시공 불가능

큐브 루트는 주어진 각도의 3분의 1인 각도를 구하는 문제(각도 3분할)와 주어진 모서리를 가진 큐브에 비해 부피가 두 배인 큐브의 모서리를 찾는 문제(큐브에 두 배)에서 발생한다.1837년 피에르 원첼은 이 두 가지 모두 나침반과 직선 구조로는 할 수 없다는 것을 증명했다.

수치법

뉴턴의 방법은 세제곱근 계산에 사용할 수 있는 반복법이다.실제 부동 소수점 숫자의 경우, 이 방법은 다음의 반복 알고리즘으로 축소되어 의 세제곱근의 근사치를 연속적으로 개선합니다.

$({displaystyle x_{n+1}=black {1}{3}}\left\frac {a}{x_{n}^2}}+2x_{n}\right).}$

이 방법은 단순히 다음과 같이 선택된 세 가지 인자의 평균을 구하는 것입니다.

${\displaystyle x_{n}\times {frac {a}{x_{n}^{2}}=a}$

각 반복마다.

Halley의 방법은 반복마다 더 많은 작업을 수행하지만 각 반복마다 더 빠르게 수렴하는 알고리즘을 통해 이를 개선합니다.

$({displaystyle x_{n+1}=x_{n}\leftfrac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^3}+a}\right).}$

이것은 입체적으로 수렴되기 때문에 두 번의 반복은 뉴턴의 방법을 세 번 반복하는 것만큼 많은 일을 한다.각각의 반복 뉴턴의 방법 비용은 두가지 multiplications, 덧셈과 1개,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/3a입니다, 그래서 3회 반복을 더하precomputation 7multiplications, 3개고, 3요구하 precomputed.갈래이다.

Halley 방법을 반복할 때마다 곱셈 3개, 덧셈 3개, ^[1]나눗셈 1개가 필요하므로 두 번의 반복에는 곱셈 6개, 덧셈 6개, 나눗셈 2개가 소요됩니다.따라서, Halley의 방법은 한 개의 분할이 세 개의 추가 값보다 더 비쌀 경우 더 빨라질 가능성이 있습니다.

어떤 방법을 사용하든 x의₀ 초기 근사치가 낮으면 알고리즘 성능이 매우 저하될 수 있으며, 초기 근사치가 좋다는 것은 다소 암울한 기술입니다.일부 구현은 부동 소수점 숫자의 지수 비트를 조작합니다. 즉, 지수를 ^[1]3으로 나누어 초기 근사치에 도달합니다.

또한 n번째 루트법에 기초한 일반화된 연속분율도 유용합니다.

x가 a의 세제곱근에 대한 첫 번째 근사치이고 y = a - x인³ 경우:

${\displaystyle {syslogrt[{3} {x^{3}+y}}=x+{\displayac {y}{3x^{2}+{2x+{\displayac {4y}{9x^2}+{\displayac {2x5y}{x}{x}}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{x}}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{csyslog}{x}{x}{x}$

${\displaystyle =x+{\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\displayac {2\cdot 4y^2}-{9(2x^3}+y)-{\displayac {5\cdot 7}{15(2x^3+y}+y}-{cdot}\cdot}{8}{cdot}}$

두 번째 방정식은 첫 번째 분수의 각 쌍을 단일 분수로 결합하여 수렴 속도를 두 배로 높입니다.

3차 및 4차 방정식 해법에서의 등장

3차 다항식인 입방정식은 입방근과 제곱근의 관점에서 항상 3개의 해로 풀 수 있다(세 가지 해 모두에 대해 제곱근의 관점에서만 더 단순한 식이 존재하지만, 적어도 하나가 유리수일 경우).솔루션 중 두 개가 복소수일 경우 세 개의 솔루션 식 모두 실수의 세제곱근을 포함하며 세 개의 솔루션이 모두 실수일 경우 복소수의 복소수 입방근으로 표시할 수 있습니다.

4차 방정식은 입방근과 제곱근으로도 풀 수 있다.

역사

입방근의 계산은 기원전 ^[2]1800년부터 바빌로니아의 수학자로 거슬러 올라갈 수 있다.기원전 4세기에 플라톤은 큐브를 두 배로 늘리는 문제를 제기했는데, 이것은 주어진 큐브의 부피의 두 배인 큐브의 모서리 나침반과 직선 구조를 필요로 했다; 이것은 현재 불가능한 것으로 알려진 2파운드의 길이를 필요로 했다.

입방근을 추출하는 방법은 기원전 2세기경에 편찬되고 서기 ^[3]3세기에 류후이가 논평한 중국의 수학 텍스트인 수학 예술 9장에 나온다.그리스 수학자 알렉산드리아의 영웅은 1세기에 세제곱근을 계산하는 방법을 고안했다.그의 공식은 에우토키오스에 의해 아르키메데스에 대한 ^[4]해설에서 다시 언급되었다.499년 인도 수학과 인도 천문학의 고전 시대의 수학자이자 천문학자 아리아바타는 아리아바티야에서 많은 자릿수를 가진 숫자의 세제곱근을 찾는 방법을 제공했습니다(^[5]2.5절).

「 」를 참조해 주세요.

• 제곱근 계산 방법
• 다항식 항목 목록
• N번째 루트
• 제곱근
• 내포근
• 단결의 근원
• n번째 루트 알고리즘의 이행

레퍼런스

외부 링크

• 입방체 루트 계산기는 임의의 숫자를 가장 단순한 소수 형식으로 축소합니다.
• Cube Root 계산, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998.C 소스 코드를 포함합니다.
• Weisstein, Eric W. "Cube Root". MathWorld.