아리아바타

아랴바차
푸네 IUCAA의 아리아바타 여신상(출현에 대한 역사적 기록은 없지만).
태어난	476년 쿠수마푸라(파탈리푸트라), 굽타제국(현재의 인도 [1]파트나)
죽은	550 CE[2] 굽타 제국의 파탈리푸트라(현재의 인도 파트나)
학력
영향	수리아 싯단타
학술적인 일
시대	굽타 시대
주요 관심사	수학, 천문학
주목할 만한 작품	아랴바시야
주목할 만한 아이디어	월식 및 일식 설명, 지구의 자전, 달별 빛의 반사, 사인파 함수, 단변수 2차 방정식 해법, 소수점 4자리까지의 θ값, 지구의 지름, 항성년 길이 계산
영향받은	랄라, 바스카라 1세, 브라만굽타, 바라하미히라, 케랄라 학파, 이슬람 천문학 및 수학

아랴바타 (ISO: āyabhaaa) 또는 아랴바타^[3][4] 1세 (476–^[2][5]550 CE)는 인도의 수학자이자 천문학자이다.굽타 시대에 번성하여 아리아바티야(기원후 3600년 칼리 유가, 499년,^[6] 23세)와 아리아싯단타 등의 작품을 제작하였다.

아리아바타는 숫자가 자음-보웰 단음절로 표현되는 음소수 표기 체계를 만들었다.이후 브라흐마굽타와 같은 해설자들은 그의 작품을 가니타(수학), 칼라크리야(시간에 대한 계산), 골라파다(구면 천문학)로 나누었다.그의 순수 수학은 제곱근과 입방근의 결정, 그들의 특성과 측정, 그노몬의 그림자에 있는 산술 급수 문제, 2차 방정식, 선형 방정식, 그리고 불확정 방정식과 같은 주제들을 논한다.아리아바타는 파이의 값을 소수점 네 번째 자리까지 계산했고, 램버트가 같은 ^[7]것을 증명하기 약 1300년 전에 파이의 값이 비합리적인 숫자라는 것을 알았을 것이다.아리아바하타의 사인표와 삼각법에 대한 그의 연구는 이슬람 황금기에 매우 영향을 미쳤다; 그의 작품은 아랍어로 번역되었고 알-크와리즈와 ^[8][9]알-자르칼리에 영향을 주었다.그의 구면 천문학에서, 그는 평면 삼각법을 구면 기하학에 적용했고 일식과 월식에 대한 계산을 했다.그는 별들의 명백한 서쪽으로의 움직임이 지구가 자신의 축을 중심으로 회전하기 때문이라는 것을 발견했다.아리아바타는 또한 달과 다른 행성들의 광도는 반사된 ^[10]햇빛에 기인한다고 언급했다.

전기

이름.

"바타" 접미사를 가진 다른 이름들과 유추하여 그의 이름을 "아리아바타"라고 잘못 쓰는 경향이 있지만, 그의 이름은 정확히 아리아바타이다: 모든 천문학 문헌은 그에 대한 ^[1]브라흐맙타의 언급을 포함하여 그렇게 그의 이름을 ^[11]철자한다.게다가, 대부분의 경우 "아리아바타"^[11]도 미터기에 맞지 않을 것이다.

생년월일

아랴바타는 아랴바티야에서 그가 칼리 유가에 들어간 지 3600년 된 23세였다고 언급하고 있지만, 이것은 이 글이 그 당시에 작성되었다는 것을 의미하지는 않는다.이 언급된 해는 499 CE에 해당하며, 그가 ^[5]476년에 태어났다는 것을 암시합니다.아리아바타는 자신을 쿠수마푸라 또는 파탈리푸트라(현재의 비하르 ^[1]파트나) 출신이라고 불렀다.

기타 가설

바스카라 1세는 아랴바타를 "아사마카 국가에 속하는" 아사마카야라고 표현한다.부처님 시대에 아오마카족의 한 분파가 인도 ^[11][12]중부의 나르다강과 고다바리강 사이의 지역에 정착했다.

아리아바타가 유래한 아마카(산스크리트어로 돌이라는 뜻)가 고대 케랄라의 ^[13]역사적인 수도였던 오늘날의 코둥갈루르라고 주장되어 왔다.이는 코움칼루르가 일찍이 코움칼루르(Ko-um-Kal-l-ur)로 알려졌다는 믿음에 바탕을 두고 있지만, 옛 기록에 따르면 이 도시는 사실 코움콜루르(Koumum-kol-ur)였다.마찬가지로, 아리아바티야에 대한 여러 논평이 케랄라에서 나왔다는 사실은 아리아바타가 아리아바타의 생활과 활동의 주요 장소였다는 것을 암시하는 데 사용되었지만, 많은 논평이 케랄라 밖에서 왔고, 아리아시드단타는 케랄라에서 ^[11]전혀 알려지지 않았다.K. 찬드라 하리는 천문학적 ^[14]증거에 근거하여 케랄라 가설을 주장했다.

아랴바타는 아랴바티야에서 여러 차례 "랑카"를 언급하지만, 그의 "랑카"^[15]는 그의 우자이야니와 같은 경도의 적도의 한 점을 나타내는 추상적인 표현이다.

교육

어느 시점에서는 쿠스마푸라에 진학하여 한동안 ^[16]거주한 것이 확실하다.힌두교와 불교 전통과 바스카라 1세(CE 629년)는 쿠수마푸라를 현대의 파트나 ^[11]파살리푸트라라고 합니다.아랴바타는 쿠수마푸라(쿠라파)의 기관장이었으며, 당시 나란다 대학은 파탈리푸트라 근처에 있었고 천문대가 있었기 때문에 아랴바타도 나란다 대학의 기관장이었을 것으로 추측된다.^[11]아리아바타는 비하르 ^[17]타레가나의 태양 사원에 전망대를 설치한 것으로도 알려져 있다.

작동하다

아랴바타는 수학과 천문학에 관한 여러 논문의 저자로, 그 중 일부는 소실되었다.

그의 주요 작품인 수학과 천문학의 요약인 아리아바티야는 인도 수리 문헌에 광범위하게 언급되었고 현대에까지 남아 있다.아리아바티야의 수학적 부분은 산술, 대수, 평면 삼각법, 구면 삼각법을 포함한다.또한 연속 분수, 2차 방정식, 검정력 급수 및 사인 표도 포함됩니다.

천문학적 계산에 관한 소실된 작품인 아리아시단타는 아리아바타의 동시대의 바라하미히라와 브라마굽타와 바스카라 1세를 포함한 이후의 수학자들과 해설자들의 저서를 통해 알려져 있다.이 작품은 더 오래된 Surya Siddhanta에 기반을 둔 것으로 보이며, 아리아바티야에서의 일출과는 달리 심야일 계산을 사용합니다.그것은 또한 몇몇 천문 기구들에 대한 설명을 포함하고 있다: 그노몬(산쿠얀트라), 그림자 기구(chhHayA얀트라), 각도 측정 장치, 반원형 원형 장치(다누르얀트라/차크라얀트라), 원통형 막대기 야스티얀트라, 우산형 장치, 차크라얀트라 불리는 차트라.페스, 활 모양과 원통형.^[12]

아랍어 번역에서 살아남았을지도 모르는 세 번째 텍스트는 Al ntf 또는 Al-nanf입니다.아리아바타의 번역본이라고 주장하지만 산스크리트어 이름은 알려지지 않았다.9세기 무렵으로 추정되며, 페르시아의 학자이자 인도의 연대기 작가인 아부 레이한 ^[12]알-브룬에 의해 언급되었다.

아리아바티야

아리아바타의 작품에 대한 직접적인 세부 사항은 아리아바티야에서만 알려져 있다.'아리아바티야'라는 이름은 후대의 해설가들에 의해 붙여졌다.아리아바타 자신도 이름을 짓지 않았을지도 모른다.그의 제자 바스카라 1세는 그것을 아슈마카탄트라(또는 아슈마카의 논문)라고 부른다.본문에는 108개의 구절이 있기 때문에 때때로 아리아샤타스아쉬타(Ariy-shatas-aShta, 문자 그대로 아리아바타의 108)라고도 불린다.그것은 한 줄 한 줄의 복잡한 체계를 기억하는 데 도움이 되는, 경전 문학에서 전형적인 매우 간결한 문체로 쓰여 있다.따라서 의미에 대한 설명은 해설자에 의한 것이다.본문은 108절과 13절의 서문으로 구성되어 있으며, 4개의 파다 또는 장으로 나누어져 있습니다.

1. 기티카파다: (13절): 라가다의 베당가 조티샤(기원전 1세기 경)와 같은 이전의 문헌과는 다른 우주론을 제시하는 큰 시간 단위인 칼파, 만반트라, 유가.한 시로 된 사인( of人)의 표도 있다.마하유가 기간 동안 행성 공전 시간은 432만 년으로 알려져 있다.
2. Ganitapada(33절) : 계량(ketetra vyyvahara), 산수 및 기하급수, 그노몬/그림자(shanku-chhayA), 단순, 이차, 연립, 부정식(kuakaaka)을 포함한다.
3. Kalakriyapada(25절): 주어진 날의 다른 시간 단위와 행성의 위치를 결정하는 방법, 역간달(adhikamAsa), kShaya-tithis에 대한 계산 및 요일에 대한 이름이 있는 7일 주.
4. 골라파다 (50절):천구의 기하학적/트리고노미터적 측면, 황도, 천적도, 노드, 지구의 형상, 낮과 밤의 원인, 지평선에서의 황도대 별자리 상승 등또한 일부 버전은 마지막에 몇 가지 콜로폰을 추가해 작품의 장점을 극찬하는 등의 내용을 인용하고 있다.

아리아바티야는 수세기 동안 영향을 미쳤던 수학과 천문학의 많은 혁신을 운문으로 표현했다.원문의 극단적인 간결성은 그의 제자 바스카라 1세(Bhashya, c. 600 CE)와 그의 아리아바티야 바샤(1465 CE)에서 닐라칸타 소마야지에 의해 상세하게 설명되었다.

수학

플레이스 밸류 시스템 및 제로

3세기 바흐샬리 필사본에서 처음 볼 수 있었던 장소 가치 체계는 그의 작품에서 분명히 자리 잡고 있었다.그가 0에 대한 기호를 사용하지 않았지만, 프랑스의 수학자 조르주 이프라는 0에 대한 지식은 아리아바타의 자리-값 체계에서 0 ^[18]계수를 가진 10의 거듭제곱에 대한 자리 표시자로 암묵적으로 존재했다고 주장한다.

그러나 아리아바타는 브라흐미 숫자를 사용하지 않았다.베다 시대의 산스크리트 전통을 이어, 그는 숫자를 나타내기 위해 알파벳 문자를 사용했고, 니모닉 형태의 사인 ^[19]표와 같은 양을 표현했다.

π의 근사치

아리아바타는 pi(θ)에 대한 근사치를 연구하여 θ가 비합리적이라는 결론을 내렸을 수 있다.아리아바티얌(gaititapada 10)의 두 번째 부분에서 그는 다음과 같이 쓰고 있다.

카투라히카(caturadhika, atama, atama, agu, dvṣa, istatha, sahasram)
아유타바야비 캄바샤산노 바타파리샤하하.

"100에 4를 더하고 8을 곱한 다음 62,000을 더합니다.이를 통해 지름 2만 원의 둘레에 접근할 ^[20]수 있다.

이것은 직경이 20000인 원의 경우 원주가 62832가 된다는 것을 의미합니다.

즉,$$π { $displaystyle \pi$} = $\frac{{\displaystyle 62832}}{}$ $\frac{20000}{}${ $displaystyle 62832$ \$over$ 20000$}$ =$$$$${\displaystyle \mathrm{}}$3.${\displaystyle 1416}$ { $displaystyle$3.$1416}$이며, 소수점 이하 세 ^[21]자리까지 정확합니다.

아리아바타는 아산나(접근)라는 단어를 사용했을 것으로 추측되는데, 이는 근사치일 뿐만 아니라 값이 비합리적이라는 것을 의미한다.만약 이것이 사실이라면,^[22] 1761년에야 유럽에서 파이의 불합리성이 램버트에 의해 증명되었기 때문에 이것은 꽤 정교한 통찰이다.

Aryabhatiya가 아랍어로 번역된 후(c. 820 CE), 이 근사치는 Al-Khwarizmi의 ^[12]대수학 책에 언급되었다.

삼각법

Ganitapada 6에서, Aryabhata는 삼각형의 넓이를 다음과 같이 제공합니다.

트리부하샤 팔라하라 사마달라코 부자르다하사 바르가

즉, "삼각형의 경우, 반변과 수직인 결과가 ^[23]면적이다."

아랴바타는 그의 작품에서 사인 개념을 문자 그대로 "반음표"를 의미하는 아르다-야라는 이름으로 논의했다.간단하게 말하면, 사람들은 그것을 쟈라고 부르기 시작했다.아랍 작가들이 그의 작품을 산스크리트어에서 아랍어로 번역했을 때, 그들은 그것을 지바라고 불렀다.그런데 아랍어에서는 모음이 생략되어 jb로 줄여서 씁니다.후대의 작가들은 그것을 "주머니" 또는 "옷의 접기"를 뜻하는 "jaib"로 대체했다. (아랍어로, 지바는 의미 없는 단어이다.)12세기 후반에 크레모나의 게라도가 아랍어에서 라틴어로 이 글들을 번역했을 때, 그는 아랍어 jaib를 "코브" 또는 "베이"를 뜻하는 라틴어 synus로 대체했다. 그래서 영어 ^[24]sine이 나왔다.

부정 방정식

고대부터 인도 수학자들의 큰 관심사는 도끼 + by = c의 형태를 가진 디오판틴 방정식에 대한 정수해를 찾는 것이었다. (이 문제는 고대 중국 수학에서도 연구되었으며, 그 해법은 보통 중국 나머지 정리라고 불린다.)다음은 바스카라의 아리아바티야 해설의 예입니다.

8로 나누면 5가 남고 9로 나누면 4가 남고 7로 나누면 1이 남는 숫자를 구하시오

즉, N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1을 찾습니다.N의 최소값은 85입니다.일반적으로, 이와 같은 디오판토스 방정식은 어렵기로 악명 높을 수 있다.그것들은 고대 베다어 문헌인 술바 수트라스에서 광범위하게 논의되었고, 더 오래된 부분은 기원전 800년으로 거슬러 올라간다.바스카라가 서기 621년에 고안한 아리아바타의 해결법은 쿠아카(ṭ ( ()법이라고 불린다.쿠사카(Kuṭaka)는 "파쇄" 또는 "잘게 쪼개짐"을 의미하며, 이 방법은 원래의 인자를 더 적은 수로 쓰는 재귀 알고리즘을 포함한다.이 알고리즘은 인도 수학에서 1차 디오판틴 방정식을 푸는 표준 방법이 되었고, 처음에는 대수학 전체 과목이 kuṭaka-gaitaita 또는 단순히 ^[25]kuṭaka로 불렸다.

대수학

Aryabhatiya에서 Aryabhata는 일련의 정사각형과 ^[26]큐브의 합계에 우아한 결과를 제공했습니다.

${\displaystyle 1^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1)\over 6}$

그리고.

${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$3 + ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$3 +${\displaystyle \cdots }$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle 2}$ +$$ +${\displaystyle {}^{}n}$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${ $displaystyle$ 1$^{3}$+ \ $cdots$+ $n } =$ ( $1$+ 2 + \$cdots$ + $n$)^2}$$（ 삼각수 제곱 참조)

천문학

아리아바타의 천문학 체계는 audAayaka 체계라고 불리며, 이 체계에서는 날이 uday, dawn at lanka 또는 equator로부터 계산된다.두 번째 모델(또는 아르다-r-AtrikA, 자정)을 제안한 천문학에 대한 그의 후기 저작들 중 일부는 사라졌지만, 부분적으로 브라마굽타의 칸다하디카에서 논의된 것을 재구성할 수 있다.몇몇 문헌에서, 그는 천체의 겉으로 보이는 움직임을 지구의 자전 탓으로 돌리는 것처럼 보인다.그는 행성의 궤도가 ^[27][28]원형이라기보다는 타원형이라고 믿었을지도 모른다.

태양계의 운동

아리아바타는 지구가 매일 축을 중심으로 회전하며, 별의 겉으로 보이는 움직임은 당시 지배적인 시각과 달리 지구가 ^[21]회전하면서 일어나는 상대적인 운동이라고 정확하게 주장했다.이는 아리아바티야의 첫 장에서 나타나며, 유가의 ^[29]지구의 회전수를 제시하고, 그의 골라 ^[30]장에서 더 명확히 한다.

앞으로 가는 배에서 움직이는 물체가 뒤로 가는 것을 보는 것과 같은 방식으로 적도에 있는 사람들은 움직이지 않는 별이 서쪽으로 균일하게 가는 것을 봅니다.행성들과 함께 별의 구가 상승하고 지는 원인은 우주풍에 의해 끊임없이 밀려 적도에서 정서쪽으로 회전하기 때문입니다.

아리아바타는 태양과 달이 각각 에피사이클에 의해 운반되는 태양계의 지구중심 모델을 묘사했다.그들은 차례로 지구 주위를 돈다.Paitamahasiddhannta (c. CE 425)에서도 볼 수 있는 이 모형에서 행성의 움직임은 각각 작은 만다(느린)와 큰 ī그라(빠른)의 두 개의 에피사이클에 의해 지배된다.^[31] 지구로부터의 거리에 따른 행성들의 순서는 달, 수성, 금성, 태양, 화성, 목성, 토성, ^[12]별자리라고 합니다."

행성들의 위치와 주기는 균일하게 움직이는 점들을 기준으로 계산되었다.수성과 금성의 경우, 그들은 태양과 같은 평균 속도로 지구 주위를 돈다.화성, 목성, 토성의 경우, 그들은 황도대를 통해 각 행성의 움직임을 나타내며 특정 속도로 지구 주위를 돈다.대부분의 천문학 역사학자들은 이 두 개의 자전거 모델이 프톨레마이오스 이전의 그리스 ^[32]천문학의 요소들을 반영한다고 생각한다.아리아바타 모델의 또 다른 요소인 태양과 관련된 기본적인 행성 기간인 ī그로카는 일부 역사학자들에 의해 태양 중심 ^[33]모형의 징후로 보입니다.

일식

일식과 월식은 아리아바타에 의해 과학적으로 설명되었다.그는 달과 행성들이 반사된 햇빛에 의해 빛난다고 말한다.라후와 케투에 의해 일식이 일어나는 일반적인 우주론 대신, 그는 일식을 지구에 드리워지고 떨어지는 그림자의 관점에서 설명한다.따라서, 달이 지구의 그림자에 들어갈 때 월식이 일어난다.그는 지구 그림자의 크기와 범위(gola.38~48 대)를 상세히 논한 다음 일식 동안 일식 부분의 계산과 크기를 제공한다.이후 인도 천문학자들은 그 계산을 개선했지만, 아리아바타의 방법이 핵심을 제공했다.그의 계산 패러다임은 매우 정확해서 18세기 과학자 기욤 르 젠틸은 1765년 8월 30일 월식의 지속 시간에 대한 인도의 계산이 41초 짧은 반면, 그의 차트(토바이어스 메이어, 1752년)는 ^[12]68초 길다는 것을 발견했다.

항성 주기

현대 영어의 시간 단위로 고려된 아리아바타는 항성 자전(고정별을 기준으로 한 지구의 자전)을 23시간 56분 4.1초로 ^[34]계산했습니다. 현대 값은 23:56:4.091입니다.마찬가지로 365일, 6시간, 12분, 30초(365.25858일)^[35]의 항성년 길이는 1년(365.25636일)^[36] 동안 3분 20초의 오차입니다.

태양중심설

앞서 언급했듯이, 아리아바타는 지구가 자신의 축을 중심으로 회전하는 천문학적 모형을 지지했다.그의 모형은 또한 태양의 평균 속도 측면에서 하늘에 있는 행성들의 속도를 보정했다.따라서, 비록 이것은 ^[40]반박되었지만, 아리아바타의 계산은 행성들이 ^[37][38][39]태양 주위를 도는 태양 중심 모델에 기초했다고 주장되어 왔다.또한 아리아바타 시스템의 측면은 인도의 천문학자들이 비록 증거는 ^[42]적지만,^[41] 태양중심적인 초기 프톨레마이오스 이전의 그리스어로부터 파생되었을 수도 있다는 주장이 제기되었다.일반적으로 (태양의 위치에 따라) 시노드 변칙이 물리적으로 태양중심 궤도를 의미하지는 않으며(바빌로니아 후기 천문학 문헌에도 그러한 보정이 있음), 아리아바타 시스템이 명시적으로 태양중심 ^[43]궤도를 의미하지는 않는다는 것이 공통된 의견이다.

레거시

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아리아바타의 작품은 인도의 천문학 전통에 큰 영향을 미쳤고 번역을 통해 몇몇 이웃 문화에 영향을 끼쳤다.이슬람 황금기 (c. 820 CE)의 아랍어 번역은 특히 영향력이 있었다.그의 결과 중 일부는 알-크와리즈미에 의해 인용되었고 10세기에 알-비루니는 아리아바타의 추종자들이 지구가 축을 중심으로 회전한다고 믿었다고 말했다.

사인(jya), 코사인(kojya), 베르사인(utkrama-jya), 역사인(otkrama-jya)에 대한 그의 정의는 삼각법의 탄생에 영향을 미쳤다.그는 또한 사인 및 베르사인(1 - cos x) 표를 0° ~ 90°의 3.75° 간격으로 소수점 4자리까지 정확하게 지정한 최초의 사람입니다.

사실, 현대식 이름 "sine"과 "cosine"은 아리아바타가 소개한 "jya"와 "kojya"의 오역입니다.앞서 말한 것처럼 아랍어로 지바와 코지바로 번역된 뒤 아랍어 기하학 텍스트를 라틴어로 번역하는 과정에서 크레모나의 제라드에게 오해를 받았다.그는 지바가 "옷에 접힘"을 뜻하는 아랍어 jaib, L. synus (1150년경)^[44]라고 추정했다.

아리아바타의 천문학적 계산법도 매우 영향력이 있었다.삼각표와 함께, 그것들은 이슬람 세계에서 널리 쓰이게 되었고 많은 아랍 천문표를 계산하는데 사용되었다.특히 아랍계 스페인 과학자 알자르칼리(11세기)의 작품 속 천문표는 톨레도 표(12세기)로 라틴어로 번역돼 수세기 동안 유럽에서 사용된 가장 정확한 후기로 남아 있다.

아리아바타와 그의 추종자들에 의해 고안된 달력 계산은 인도에서 판창암(힌두교 달력)을 고치는 실용적인 목적으로 계속 사용되어 왔다.이슬람 세계에서는 오마르 카이얌을 ^[45]포함한 천문학자들이 서기 1073년에 도입한 잘랄리 달력의 기초를 형성했는데, 이 달력의 버전은 오늘날 이란과 아프가니스탄에서 사용되고 있는 국가 달력이다.잘라리 달력의 날짜는 아리아바타 달력과 이전의 싯단타 달력과 같이 실제 태양 통과에 기초한다.이런 유형의 달력에는 날짜를 계산하기 위한 사용 후기가 필요합니다.날짜를 계산하기가 어려웠지만 잘라리력에서는 그레고리력보다 계절 ^{[citation needed]}오차가 적었습니다.

아리아바타 지식 대학(AKU)의 Patna는 비하르 정부에 의해 설립되어 기술, 의료, 경영 및 관련 전문 교육과 관련된 교육 인프라의 개발과 관리를 담당하고 있습니다.이 대학은 2008년 비하르 주립 대학법의 적용을 받는다.

인도 최초의 위성인 아리아바타와 달의 분화구인 아리아바타는 모두 그를 기리기 위해 명명되었다. 아리아바타 위성은 또한 인도의 2루피 지폐 뒷면에 특징지어졌다.천문학, 천체물리학 및 대기과학 연구를 수행하는 연구소는 인도 Nainital 근처에 있는 Aryabhatta 관측과학 연구소(ARIES)입니다.2009년 ^[47][48]ISRO 과학자들이 성층권에서 발견한 박테리아 바실루스 아리아바타처럼 학교 간 아리아바타 수학대회도 ^[46]그의 이름을 따왔다.

「 」를 참조해 주세요.

• 아랴바수
• 아랴바샤 사인표
• 인도 수학
• 천문학자 ar 아리아바타
• 인도의 수학자 목록

레퍼런스

인용된 작품

• Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.
• Clark, Walter Eugene (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press; reprint: Kessinger Publishing (2006). ISBN 978-1-4254-8599-3.
• 슈클라, 크리파 샹카르아리아바타: 인도 수학자와 천문학자.뉴델리:1976년 인도 국립 과학 아카데미
• Thurston, H. (1994). Early Astronomy. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94107-X.

외부 링크

• 1930년 인터넷 아카이브에서 다양한 형식으로 번역된 The Aryabhatiya의 영어 번역.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Aryabhata", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Achar, Narahari (2007). "Āryabhaṭa I". In Thomas Hockey; et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers. New York: Springer. p. 63. ISBN 978-0-387-31022-0. (PDF 버전)
• "아리아바타와 디오판투스의 아들", 힌두스탄타임스 스토리텔링 사이언스 칼럼, 2004년 11월
• Surya Siddhanta 번역본