딕슨 다항식

수학에서 D_n(x,α)로 표기된 딕슨 다항식들은 L. E. 딕슨(1897)이 도입한 다항식 순서를 형성한다.그들은 Brewer 합계에 대한 연구에서 Brewer(1961)에 의해 재발견되었고, 드물기는 하지만 때때로 Brewer 다항식이라고 불렸다.

복잡한 숫자에 걸쳐 딕슨 다항식은 본질적으로 변수의 변화를 가진 체비셰프 다항식과 동등하며, 사실 딕슨 다항식을 체비셰프 다항식이라고 부르기도 한다.

딕슨 다항식은 일반적으로 유한한 분야에 걸쳐 연구되는데, 여기서 때때로 체비셰프 다항식과는 동등하지 않을 수도 있다.그들에게 관심을 갖는 주된 이유 중 하나는 고정 α의 경우 순열 다항식; 유한 장의 순열로 작용하는 다항식의 예를 많이 제시하기 때문이다.

정의

제1종

ID가 있는 정류 링 R의 정수 n > 0과 α에 대해(흔히 유한 필드_q F = GF(q)로 선택됨) R에 대한 딕슨 다항식(첫 번째 종류의)은 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\frac {n}{2}}\오른쪽\rfloor{n}{n-i}{\frac {n-i}{n-i}}}}{\binom {n-i}(-\lapa )^{i},{n-2},},},},},},},},}.}$

처음 몇 개의 딕슨 다항식들은

${\displaystyle {\reasoned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\알파 )&=x^{5}-5x^{3}\알파 +5x\알파 ^{2}\,\end{정렬}}}$

그것들은 또한 n ≥ 2에 대한 재발 관계에 의해 생성될 수 있다.

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\...}$

초기 조건 D₀(x,α) = 2 및 D(x₁,α) = x.

제2종

두 번째 종류인 E(x_n,α)의 딕슨 다항식들은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\frac {n}{2}}\오른쪽\rfloor }{\binom {n-i}}{i}(-\alpha )^{n-2}.}$

그들은 별로 연구되지 않았고, 1종류의 딕슨 다항식들과 비슷한 성질을 가지고 있다.제2종류의 딕슨 다항식(Dickson 다항식)의 처음 몇 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{정렬}}}$

그것들은 또한 n ≥ 2에 대한 재발 관계에 의해 생성될 수 있다.

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\...}$

초기 조건 E₀(x,α) = 1 및 E₁(x,α) = x.

특성.

D는_n 함수 방정식을 만족하는 고유한 단항 다항식이다.

${\displaystyle D_{n}\왼쪽(u+{\frac {\alpha }{u},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }}{u}\right)^{n}}}}}$

여기서 α ∈ F_q 및 u 0 ∈ F_q².^[2]

작곡 규칙도 ^[2]충족시켜주고

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}$

E는_n 또한 기능 방정식을^[2] 만족시킨다.

${\displaystyle E_{n}\좌(y+{\frac {\alpha }}{y},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\좌({\frac {\alpha }}}\i1}^{n+1}:{n-{y-}}}}}}}$

y ≠ 0, y² α, α_q, α, α_q²,

딕슨 다항식 y = D는_n 일반적인 미분 방정식의 해법이다.

${\displaystyle \left(x^{2}-4\ready \right)y"+xy'-n^{2}y=0\}$

그리고 딕슨 다항식 y = E는_n 미분 방정식의 해법이다.

${\displaystyle \left(x^{2}-4\buth \right)y"+3xy'-n(n+2)y=0\,.}$

그들의 일반적인 생성 기능은

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{정렬}}}$

다른 다항식 링크

위의 재발 관계에서 딕슨 다항식은 루카스 순서다.구체적으로 α = -1의 경우 제1종 딕슨 다항식은 피보나치 다항식이고, 제2종 딕슨 다항식은 루카스 다항식이다.

위의 구성 규칙에 따르면 α가 idempotent일 때, 제1종류의 딕슨 다항식의 구성은 역순이다.

• 매개변수 α = 0을 갖는 딕슨 다항식은 단항식을 제공한다.

${\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,}$

• 매개변수 α = 1을 갖는 딕슨 다항식은 다음 기준의^[1] 첫 번째 종류의 체비셰프 다항식 T_n(x) = cos(n arccos x)와 관련이 있다.

${\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,}$

• 딕슨 다항식 D_n(x,α)는 추가 idempotents가 있는 링 위에 정의될 수 있으므로, D_n(x,α)는 체비셰프 다항식과는 관련이 없는 경우가 많다.

순열 다항식 및 딕슨 다항식

순열 다항식(주어진 유한장용)은 유한장 원소의 순열 역할을 하는 다항식이다.

딕슨 다항식 D_n(x, α) (α가 고정된 x의 함수로 간주됨)는 n이 q² - 1에 동일할 경우에만 q 요소를 갖는 필드의 순열 다항식이다.^[3]

Fried(1970)는 무한히 많은 주요 분야를 위한 순열 다항식인 일체형 다항식이 딕슨 다항식과 선형 다항식의 구성(합리적 계수를 갖는)이라는 것을 증명했다.사실 슈르는 이런 추측을 하지 않았지만 이 주장은 슈르의 추측으로 알려지게 되었다.프리드의 논문에는 수많은 오류가 포함되어 있었기 때문에, 턴발트(1995년)에 의해 정정된 설명이 제시되었고, 그 후 뮐러(1997년)는 슐러 때문에 논쟁의 선에 따라 더 간단한 증거를 제시하였다.

또한, 뮐러(1997년) 없는 것이 유한 체 Fq의 학위와 동시에q.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output .sfrac보다 덜 q에coprime은 넘는 순열 다항식.딕슨 다항식, 직선 다항식의.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/4해야 할 작문.

일반화

유한한 분야에 걸쳐 두 종류의 딕슨 다항식들은 (k + 1)번째 종류의 딕슨 다항식이라고 하는 일반화된 딕슨 다항식 배열의 초기 구성원으로 생각할 수 있다.^[4]구체적으로는 일부 프라임 p와 정수^e n ≠ 0과 0 ≤ k < p에 대해 α ≠ 0 ∈ F의_q 경우, D_n,k(x,α)로 표시된 F에_q 대한 (k + 1)번째 종류의 n번째 딕슨 다항식은 다음과 같이^[5] 정의된다.

${\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}$

그리고

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D_n,0(x,α) = D_n(x,α) 및 D_n,1(x,α) = E_n(x,α)는 이 정의가 딕슨의 원래 다항식을 통일하고 일반화한다는 것을 보여준다.

딕슨 다항식의 중요한 특성도 다음과 같이 일반화된다.^[6]

• 반복 관계:n ≥ 2의 경우,

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\...}$

초기 조건 D_0,k(x,α) = 2 - k 및 D_1,k(x,α) = x.

• 함수 방정식:

${\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

여기서 y ≠ 0, y α².

• 생성 함수:

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\inflt }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}}.}$

메모들

참조

• Brewer, B. W. (1961), "On certain character sums", Transactions of the American Mathematical Society, 99 (2): 241–245, doi:10.2307/1993392, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993392, MR 0120202, Zbl 0103.03205
• Dickson, L. E. (1897). "The analytic representation of substitutions on a power of a prime number of letters with a discussion of the linear group I,II". Ann. of Math. The Annals of Mathematics. 11 (1/6): 65–120, 161–183. doi:10.2307/1967217. ISSN 0003-486X. JFM 28.0135.03. JSTOR 1967217.
• Fried, Michael (1970). "On a conjecture of Schur". Michigan Math. J. 17: 41–55. doi:10.1307/mmj/1029000374. ISSN 0026-2285. MR 0257033. Zbl 0169.37702.
• Lidl, R.; Mullen, G. L.; Turnwald, G. (1993). Dickson polynomials. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol. 65. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 978-0-582-09119-1. MR 1237403. Zbl 0823.11070.
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983). Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 20 (1st ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13519-0. Zbl 0866.11069.
• Mullen, Gary L. (2001) [1994], "Dickson polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Müller, Peter (1997). "A Weil-bound free proof of Schur's conjecture". Finite Fields and Their Applications. 3: 25–32. doi:10.1006/ffta.1996.0170. Zbl 0904.11040.
• Rassias, Thermistocles M.; Srivastava, H.M.; Yanushauskas, A. (1991). Topics in Polynomials of One and Several Variables and Their Applications: A Legacy of P.L.Chebyshev. World Scientific. pp. 371–395. ISBN 978-981-02-0614-7.
• Turnwald, Gerhard (1995). "On Schur's conjecture". J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 58 (3): 312–357. doi:10.1017/S1446788700038349. MR 1329867. Zbl 0834.11052.
• Young, Paul Thomas (2002). "On modified Dickson polynomials" (PDF). Fibonacci Quarterly. 40 (1): 33–40.