유한장

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수학에서, 유한장(Finite field) 또는 갈로아장(Galois field)은 유한한 수의 원소를 포함하는 필드이다.모든 필드와 마찬가지로 유한필드는 곱셈, 덧셈, 뺄셈 및 나눗셈 연산이 정의되고 특정 기본 규칙을 만족시키는 집합입니다.유한 필드의 가장 일반적인 예는 p가 소수일 때 정수 mod p에 의해 제시됩니다.

유한 필드의 순서는 요소의 수이며, 이는 소수 또는 소수입니다.모든 소수 p 및 모든 양의 정수 k에 대해 ${\displaystyle {순서}^{}}$ p k$,\displaystyle$ p$^{k}$의 필드가 있으며, 이들 필드는 모두 동형입니다.

유한장은 수학과 컴퓨터 과학의 많은 영역에서 기초가 됩니다.수 이론, 대수 기하학, 갈로아 이론, 유한 기하학, 암호학, 부호화 이론을 포함합니다.

특성.

유한 필드는 필드인 유한 집합입니다. 이것은 곱셈, 덧셈, 뺄셈 및 나눗셈이 정의되고 필드 공리로 알려진 산술 규칙을 충족함을 의미합니다.

유한 필드의 요소 수를 순서 또는 때로는 크기라고 합니다.q가 소수 p^k(여기서 p는 소수, k는 양의 정수)인 경우에만 유한한 순서 q 필드가 존재합니다.순서^k p의 필드에서는 임의의 요소의 복사본을 p개 추가하면 항상 0이 됩니다.즉, 필드의 특성은 p입니다.

q^k = p이면 순서 q의 모든 필드가 동형입니다(아래의 ^[1]§ 존재 및 고유성 참조).또한 필드에는 동일한 순서로 두 개의 서로 다른 유한 서브필드를 포함할 수 없습니다.따라서 동일한 순서로 모든 유한 필드를 식별할 수 있으며, 이들은 명확하게 F$$ \$displaystyle \mathbb {F}$ _${q$ , F_q 또는 GF(q)로 $표기$됩니다. 여기서 문자 GF는 "갈로아 필드"^[2]를 나타냅니다.

유한한 순서 q에서 다항식^q X - X는 유한한 필드의 모든 q 요소를 루트로 갖는다.유한 필드의 0이 아닌 요소는 곱셈 그룹을 형성합니다.이 그룹은 순환적이기 때문에 0이 아닌 모든 요소는 필드의 원시 요소라고 불리는 단일 요소의 거듭제곱으로 표현될 수 있습니다.(일반적으로 특정 필드에 여러 개의 원시 요소가 있습니다.)

유한 필드의 가장 단순한 예는 소수 p의 필드입니다.각 소수 p에 대해 순서 p의 소수 $필드{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ F $\$는 정수 모듈로 p, Z/pZ로 구성될 수 있습니다.

순서 p의 소수 필드의 요소는 0, ..., p - 1 범위의 정수로 나타낼 수 있습니다.합, 차이 및 곱은 대응하는 정수 연산 결과의 p로 나눈 나머지다.원소의 곱셈 역수는 확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다(확장 유클리드 알고리즘 modular 모듈러 정수 참조).

F를 유한장이라고 하자.F의 임의의 요소 x와 임의의 정수 n에 대해 x의 n개 복사본의 합을 n x x로 나타냅니다.n ≤ 1 = 0인 최소 양의 n이 필드의 특성 p이다.이를 통해 k를 나타내는 정수를 선택함으로써 GF(p)의 요소 k의 곱셈$({\displaystyle k,}$ ${\displaystyle x)k}$ k${\displaystyle x}$ x$${ $displaystyle (k,x)\mapsto$ k$\cdot$x}를$$ F의 요소 x로 정의할 수 있습니다.이 곱셈에 의해 F는 GF(p)-벡터 공간이 됩니다.따라서 일부 정수 n에 대해 F의 요소 수는 p가ⁿ 됩니다.

아이덴티티

(때로는 신입생들의 꿈이라고도 함)은 특징적인 p 분야에서 사실이다.이것은 첫 번째와 마지막을 제외한 (x ^p+ y)의 확장의 각 이항 계수가 p의 배수이기 때문에 이항 정리를 따른다.

페르마의 작은 정리에 따르면, 만약 p가 소수이고 x가 GF(p)장에 있다면, x^p = x이다.이것은 평등함을 의미한다.

GF(p)를 초과하는 다항식의 경우.보다 일반적으로 GF(pⁿ)의 모든 원소는 다항식^pn x - x = 0을 만족한다.

유한 필드의 모든 유한 필드 확장은 분리 가능하고 단순합니다.즉, E가 유한장이고 F가 E의 하위장일 경우, E는 최소 다항식이 분리 가능한 단일 원소에 인접하여 F로부터 구한다.전문용어로 표현하자면 유한한 분야가 완벽합니다.

필드의 다른 모든 공리를 만족시키지만 곱셈이 가환적일 필요는 없는 보다 일반적인 대수 구조는 나눗셈 고리(또는 때때로 스큐 필드)라고 불립니다.웨더번의 작은 정리에 따르면, 어떤 유한 나눗셈 고리도 가환이며, 따라서 유한장입니다.

존재와 고유성

qⁿ = p를 소수, F를 다항식의 분할장이라고 하자.

프라이머리 필드 GF(p)에 걸쳐 있습니다.이것은 F가 q개의 뚜렷한 근을 갖는 가장 낮은 차수의 유한장임을 의미한다. (P의 형식적 도함수는 Pµ = -1이며, 이는 일반적으로 분할장이 원본의 분리 가능한 확장임을 의미한다.)위의 항등식은 P의 두 근의 합과 곱이 P의 근의 곱일 뿐만 아니라 P의 근의 곱셈 역수라는 것을 보여준다.즉, P의 근은 분할장의 최소값으로 F와 같은 순서장 q를 형성한다.

필드 분할의 동형성까지의 고유성은 순서q의 모든 필드가 동형성이라는 것을 의미합니다.또한 필드 F가 순서 필드 q^k = p를 부분 필드로 하는 경우, 그 요소는 X - X의^q q 루트이며, F는 순서 q의 다른 하위 필드를 포함할 수 없다.

요약하자면, 1893년 E. H.^[1] 무어에 의해 최초로 증명된 분류정리는 다음과 같습니다.

유한장의 순서는 소수이다. 모든 소수 q에는 순서 q의 필드가 있으며 모두 동형입니다. 이러한 필드에서는 모든 요소가 다음을 만족합니다.

$${\displaystyle x^{q}=x,}$$

그리고 다항식은 X^q − X 로서 인수하다.

$${\displaystyle X^{q}-X=\prod_{a\in F}(X-a)}$$

따라서 m이 n의 약수인 경우에만 GF(pⁿ)에 대한 부분 필드가 GF(p^m)와 동형인 것으로 간주됩니다. 이 경우, 이 부분 필드는 고유합니다.실제로 다항식^pm X - X는 m이 n의 제수인 경우에만 X - X를 나눕니다^pn.

명시적 구성

비프라임 필드

p p prime 및 n > 1의 prime 파워 qⁿ = p가 주어지면, 필드 GF(q)는 다음과 같은 방법으로 명시적으로 구성될 수 있다.먼저 GF(p)[X]의 n차에서 환원 불가능한 다항식 P를 선택한다(이러한 환원 불가능한 다항식은 항상 존재한다).그러면 지수의 링이 울립니다.

P에 의해 생성된 이상에 의한 다항식 고리 GF(p)[X]의 차수 q이다.

보다 명확하게, GF(q)의 원소는 엄격히 n보다 작은 GF(p)에 대한 다항식이다.덧셈과 뺄셈은 GF(p)에 대한 다항식이다.두 원소의 곱은 GF(p)[X]에서 곱의 P에 의한 유클리드 나눗셈의 나머지다.0이 아닌 원소의 곱셈 역수는 확장 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있다. 확장 유클리드 알고리즘 § 단순 대수적 필드 확장을 참조한다.

GF(4)의 구성을 제외하고, 동형 결과를 생성하는 P에는 몇 가지 가능한 선택지가 있다.유클리드 나눗셈을 단순화하기 위해, 일반적으로 P에 대해 형태의 다항식을 선택한다.

필요한 유클리드 분할을 매우 효율적으로 만듭니다.그러나 일부 필드(일반적으로 특성 2)에서는 X + aX + b 형식의ⁿ 환원 불가능한 다항식이 존재하지 않을 수 있다.특성 2에서 다항식ⁿ X + X + 1이 환원 가능한 경우 다항식을 환원할 수 없는 k가 가장 작은 X + X^k + 1을 선택하는ⁿ 것이 좋습니다.이 모든 삼원소가 환원 가능한 경우, 1보다 큰 항과 짝수인 다항식은 1을 ^[3]루트로 하는 특성 2에서 절대 환원할 수 없기 때문에 "펜타노미얼" Xⁿ + X^ab + X^c + 1을 선택합니다.

이러한 다항식의 가능한 선택은 콘웨이 다항식으로 주어진다.필드 표현과 하위 필드 표현 간의 특정 호환성을 보장합니다.

다음 섹션에서는 위에서 개략적으로 설명한 일반적인 시공방법이 소규모 유한필드에 대해 어떻게 기능하는지에 대해 설명합니다.

4가지 요소가 있는 필드

가장 작은 비프라임 필드는 GF(4) $또는{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ F(${\displaystyle {}_{}}$라고 하는 4개의 요소를 $가진{\displaystyle \mathrm{}}$ 필드입니다$.\displaystyle$\${\displaystyle \mathrm{mathbb}}$ ${F}$ ${\displaystyle \mathrm{\_}}$${4}$ ${\displaystyle \mathrm{이<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash mathbb\; \{F\}\; \_\{4\}.\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2e60469aa744d02503eddc8d6a0c48ec2accdee3"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:3.121ex;\; height:2.509ex;">}}$ 필드는${\displaystyle }$${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ 2 $1$${\displaystyle }$+${\displaystyle }$α ${\displaystyle ,}$$$\$display$ $style$ 0 $, 1$,${\displaystyle }$\$alpha$ , 1 + \\alpha$$$= {\$stylepha$}$ 로$$ $구성$됩니다.$\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$$1 \$cdot \alpha$${\displaystyle =}$ \$alpha$ ,$$}${\displaystyle }$$x$${\displaystyle }$ + $x =$, $x{\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x+x=0,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/29405c9f91a87926316e49df9b08578eaf9fc407"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.408ex;\; height:2.509ex;">}}$ 0$$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 、}$ $x{\displaystyle }$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$、 \ $displaystyle$x\$cdot$ 0${\displaystyle }$$=$${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x\backslash cdot\; 0=0\backslash cdot\; x=0,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/eca457ea29a0d7131357fd4b33f6833252c852a4"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:16.349ex;\; height:2.509ex;">}}$ , \ $cdot$ x =$0$,$$、 \ $display style$ x$、$ \$opern$전체 작업 표는 아래를 참조하십시오.

이는 이전 섹션의 결과로부터 다음과 같이 추론할 수 있다.

GF(2)를 넘으면 2차 다항식이 하나밖에 없다.

따라서 GF(4)의 경우, 이전 섹션의 구성은 이 다항식을 포함해야 한다.

α는 GF(4)에서 이 다항식의 근을 나타낸다.이는 을 암시한다.

α 및 1 + α는 GF(2)에 없는 GF(4)의 원소이다.GF(4)의 연산 표는 이 결과이며, 다음과 같습니다.

추가 x+y	곱셈 xyy	나눗셈 x/y
y x 0 1 α 1 + α 0 0 1 α 1 + α 1 1 0 1 + α α α α 1 + α 0 1 1 + α 1 + α α 1 0	y x 0 1 α 1 + α 0 0 0 0 0 1 0 1 α 1 + α α 0 α 1 + α 1 1 + α 0 1 + α 1 α	y x 1 α 1 + α 0 0 0 0 1 1 1 + α α α α 1 1 + α 1 + α 1 + α α 1

특성 2의 모든 장과 마찬가지로 감산은 덧셈과 같기 때문에 감산표가 주어지지 않는다.세 번째 표에서는 x를 y로 나누기 위해 왼쪽 열에 x의 값을 읽고 맨 위에 y의 값을 읽어야 합니다(모든 링의 z에 대해 0 µz = 0이므로 0으로 나누기 정의되지 않은 상태를 유지해야 합니다).

지도

는 프로베니우스 자기동형이라고 불리는 비사소한 필드 자기동형입니다. 이 자기동형은 위에서 언급한 환원 불가능한 $다항식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {X2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}X}$ +${\displaystyle 1}$의 두 번째 루트 1 + α로 α를 보냅니다$.\$ $display style$ X$^{2}+X+$$1$$}$

홀수 소수 p의 GF(p²)

GF(p²)의 경우 위의 유한장 일반구조를 적용하기 위해서는 차수 2의 환원 불가능한 다항식을 구해야 한다.p = 2의 경우, 이는 이전 섹션에서 수행되었습니다.p가 홀수 소수일 경우, GF(p)에 r이 있는 X - r 형식의 환원² 불가능한 다항식이 항상 존재한다.

보다 정확하게는 r이 2차 비잔류 모듈로 p일 경우에만 다항식² X - r은 GF(p)에 대해 환원할 수 없다(이것은 거의 2차 비잔류 정의이다).에는.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw- 있다.Parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}p − 1/22차 non-residues의 나머지 p.예를 들어, 2는 p = 3, 5, 11, 13, ...에 대한 2차 비균형이고 3은 p = 5, 7, 17, ...에 대한 2차 비균형입니다.p 3 3 mod 4, 즉 p = 3, 7, 11, 19, ...일 경우, 2차 비직접으로 -1 p p - 1을 선택할 수 있으며, 이를 통해 매우 간단한 환원 불가능한 다항식² X + 1을 얻을 수 있다.

2차 비제곱 r을 선택했으므로, 복소수 i가 -1의 상징 제곱근인 것과 마찬가지로 α = r의 성질을 갖는² 기호인 r의 상징 제곱근이라고 하자.그러면 GF(p²)의 요소는 모두 선형식입니다.

GF(p)에 a와 b를 포함시킵니다.GF(p²)에 대한 연산은 다음과 같이 정의된다(Latin 문자로 표현되는 GF(p) 요소 간의 연산은 GF(p)에 의한 연산이 된다).

GF(8) 및 GF(27)

다항식

는 GF(2) 및 GF(3)에서 환원 불가, 즉 환원 불가 모듈로 2 및 3이다(이를 나타내려면 GF(2) 또는 GF(3)에 뿌리가 없음을 나타내는 것으로 충분하다).따라서 GF(8) 및 GF(27)의 요소는 식에 의해 표현될 수 있다. 여기서 a, b, c는 각각 GF(2) 또는 GF(3)의 $요소$이고$$α(\$displaystyle \alpha)$는 다음과 같은 기호이다.

따라서 GF(8) 및 GF(27)의 덧셈, 덧셈 역 및 곱셈은 다음과 같이 정의할 수 있다. 다음 공식에서 GF(2) 또는 GF(3)의 요소 간 연산은 각각 GF(2) 또는 GF(3)의 연산이 된다.

GF(16)

다항식

GF(2)에서 환원 불가, 즉 환원 불가 모듈로 2이다.따라서 GF(16)의 요소는 식에 의해 표현될 수 있다. 여기서 a, b, c, d는 0 또는 1(GF(2)의 원소)이고 α는 다음과 같은 기호이다.(즉, α는 주어진 환원 불가능한 다항식의 근으로 정의된다.)GF(2)의 특성이 2이므로 각 원소는 GF(16)에서 그 첨가역이다.GF(16)의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의할 수 있다. 다음 공식에서 GF(2)의 요소 간 연산은 GF(2)의 연산이다.

필드 GF(16)에는 8개의 기본 요소(GF(16)의 모든 0이 아닌 요소를 정수 거듭제곱으로 갖는 요소)가 있습니다.${\displaystyle {이\mathrm{}}^{}}$ 요소들은${\displaystyle {}^{}\mathrm{X4}}$+ ${\displaystyle \mathrm{X}}$ +$1$의 4개의 루트({$displaystyle$ X$^{4}+X+1})$와 그 곱셈 역수입니다.특히 α는 원시원소이며, 원시원소는 ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ m$({$^{$m})$으로 m이 작고 15(즉, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)와 공존한다.

곱셈 구조

GF(q)에서 0이 아닌 원소들의 집합은 q – 1의 곱셈 아래의 아벨 군이다. 라그랑주 정리에 따르면, GF(q)에서 0이 아닌 모든 x에 대해 x = 1이 되는^k q – 1의 제수가 존재한다.모든^k 분야에서 x = 1의 해는 최대 k개이므로 k에 대해 q – 1이 가능한 최소값이다.유한 아벨 군의 구조 정리는 이 곱셈군이 순환적이라는 것을 암시한다. 즉, 0이 아닌 모든 원소는 단일 원소의 거듭제곱이다.요약:

이러한 요소 a를 원시 요소라고 합니다.q = 2, 3이 아니면 원시 요소는 고유하지 않습니다.원시 원소의 수는 θ(q - 1)이며, 여기서 θ는 오일러의 전체 함수이다.

위의 결과는 GF(q)의 모든 x에 대해 x = x라는 것을^q 의미합니다.q가 소수인 특정한 경우는 페르마의 작은 정리이다.

이산 로그

가 GF(q)의 원시 요소일 경우 F의 0이 아닌 요소 x에 대해 다음과 같이 0 µn µq - 2의 고유한 정수 n이 존재합니다.

이 정수 n을 기저 a에 대한 x의 이산 로그라고 합니다.

예를 들어 제곱에 의한 지수를 사용하여 a를 매우 빠르게 계산할 수 있지만ⁿ, 역연산을 계산하는 효율적인 알고리즘인 이산 로그는 알려져 있지 않습니다.이는 다양한 암호화 프로토콜에서 사용되었습니다. 자세한 내용은 이산 로그를 참조하십시오.

GF(q)의 0이 아닌 원소가 이산 로그로 표현될 때, 곱셈과 나눗셈은 더하고 빼기 q – 1로 감소하기 때문에 쉽다.그러나 덧셈은 a + a의ⁿ 이산^m 로그 계산에 해당합니다.아이덴티티

를 사용하면 n = 0, ..., q - 2에 대해 Zech의 로그라고 불리는 a + 1의 이산ⁿ 로그 표를 구성하여 이 문제를 해결할 수 있습니다(제로의 이산 로그를 -discrete로 정의하는 것이 편리합니다).

Zech의 로그는 중간 크기의 필드에 대한 선형 대수와 같은 대규모 계산에서 유용합니다. 즉, 필드의 순서와 같은 크기의 표를 미리 계산해야 하기 때문에 자연 알고리즘을 비효율적으로 만들기에 충분하지만 너무 크지는 않습니다.

통합의 뿌리

유한 필드의 0이 아닌 모든 요소는 GF(q)의 0이 아닌 모든 요소에 대해 x = 1인 것처럼^q−1 단일성의 루트입니다.

n이 양의 정수일 경우, n번째 기본 통일근은 방정식ⁿ x = 1의 해이며, 이는 임의의 양의 정수 m < n에 대한 방정식^m x = 1의 해답이 아니다. 만약 a가 필드 F의 n번째 기본 통일근인 경우, F는 모든 n개의 통일근인² 1, a, a, ..., a를ⁿ⁻¹ 포함한다.

필드 GF(q)에는 n이 q - 1의 제수일 경우에만 n번째 기본 유니티 루트가 포함됩니다.n이 q - 1의 제수일 경우 GF(q)의 기본 n번째 유니티 루트의 수는 δ(n)(Uler의 전체 함수)입니다.GF(q)에서의 유니티의 n번째 루트 수는 gcd(n, q - 1)입니다.

특성 p의 필드에서는 모든 (np)번째 루트 유니티도 n번째 루트 유니티이다.따라서 특징적인 p의 장에는 원시적인 (np)번째 통합의 뿌리가 존재하지 않는다.

한편, n이 p와 공역하면, n번째 사이클로토믹 다항식은 X - 1의 약수이며, ${\displaystyle {판별식}^{}}$n {\displaystyleⁿ $n^{n}$은 0이 아닌 모듈로 p이다.따라서 GF(p) 위의 n번째 사이클로토믹 다항식 인자는 모두 동일한 정도, 예를 들어 d를 갖는 뚜렷한 환원 불가능한 다항식으로, GF(p^d)는 단일성의 n번째 원시 근원을 포함하는 특성 p의 가장 작은 필드이다.

예: GF(64)

필드 GF(64)에는 작은 필드가 공유되지 않는 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다. 즉, 두 개의 서브필드가 있어 어느 쪽에도 포함되지 않으며, 모든 생성기(GF(2)에 대해 최소 다항식이 6인 원소)가 원시 요소인 것은 아니며, 원시 요소들이 모두 갈로아 그룹 하에서 공역하는 것은 아닙니다.

이 필드의 순서는⁶ 2, 6의 제수는 1, 2, 3, 6, GF(64)의 서브필드는 GF(2), GF(2²)= GF(4), GF³(2)= GF(8) 및 GF(64)입니다.2와 3은 공역이기 때문에 GF(64)에서의 GF(4)와 GF(8)의 교점은 프라임 필드 GF(2)이다.

따라서 GF(4)와 GF(8)의 결합에는 10개의 요소가 있다.GF(64)의 나머지 54개 요소는 다른 서브필드가 이들을 포함하지 않는다는 의미에서 GF(64)를 생성합니다.따라서 이들은 GF(2)보다 6도 높은 환원 불가능한 다항식의 근이다.이는 GF(2)를 초과하여 정확히 9 = 54/6 차수의 환원 불가능한 모노 다항식이 있다는 것을 의미한다.이는 GF(2)보다 X - X를 인수분해⁶⁴ 검증할 수 있습니다.

GF(64)의 요소는 일부 n 나누기 63에 대한 단일성의 원시 n번째 루트이다.유니티의 제3근과 제7근은 각각 GF(4)와 GF(8)에 속하므로 54개의 제너레이터는 {9, 21, 63}의 일부 n에 대해 유니티의 원시 n근이다.오일러의 전체 함수는 6개의 원시적인 9번째 단합근, 12개의 원시적인 21번째 단합근, 36개의 원시적인 63번째 단합근이 있음을 보여준다.이 숫자들을 더하면 54개의 원소를 다시 찾을 수 있다.

GF(2)에 대한 사이클로토믹 다항식을 인수분해하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

• 통일의 여섯 번째 원시적인 9번째 뿌리는 의 뿌리이다.
  $${\displaystyle X^{6}+X^{3}+1,}$$

  
  갈루아 그룹의 작용에 의해 모두 결합됩니다.
• 12개의 원시적인 21번째 통합의 뿌리는
  $$({displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{2}+X+1) (X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{2}+1)}).$$

  
  이들은 갈로아 그룹의 작용으로 두 개의 궤도를 형성합니다.두 인자는 서로 역수이므로, 루트와 루트의 (승수) 역수는 같은 궤도에 속하지 않습니다.
• GF(64)의 36가지 원시 요소는 의 근원이다.
  $$({displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{3}+X+1) (X^{6}+X^{5}+1) (X^{6}+X^{5}+X^{2}+1^{6})$$

  
  그들은 갈루아 그룹의 작용으로 각각 6개의 원소로 이루어진 6개의 궤도로 나뉘었다.

이것은 GF(64)를 구축하는 최선의 선택이 GF(2)[X] / (X⁶ + X + 1)로 정의하는 것임을 나타냅니다.사실, 이 생성자는 원시 원소이고, 이 다항식은 가장 쉬운 유클리드 나눗셈을 생성하는 환원 불가능한 다항식입니다.

프로베니우스 자기동형과 갈로아 이론

이 절에서 p는 소수이고 qⁿ = p는 p의 거듭제곱입니다.

GF(q)에서, 항등식(x + y)^p = x^p + y는^p 다음과 같은 의미를 갖는다.

는 GF(p) 선형 내형성과 GF(q) 필드 자기동형성으로 서브필드 GF(p)의 모든 요소를 고정합니다.이것은 페르디난드 게오르크 프로베니우스의 이름을 따서 프로베니우스 자기동형이라고 불린다.

with의^k 구성을 k회 the로 나타내면 다음과 같이 된다.

「」가ⁿ 아이덴티티인 것은, 전 항에서 나타내고 있습니다.0 < k < n 의 경우, 자기동형 is^k 는 항등식이 아닙니다.그렇지 않으면 다항식이 됩니다.p근보다 많을 것입니다^k.

GF(q)의 다른 GF(p)-자기동형은 없습니다.즉, GF(pⁿ)는 정확히 n개의 GF(p)-자동동형을 가진다.

갈로아 이론에서, 이것은 GFⁿ(p)가 순환 갈로아 군을 가진 GF(p)의 갈로아 확장임을 의미한다.

프로베니우스 맵이 투영적이라는 사실은 모든 유한장이 완벽하다는 것을 암시한다.

다항식 인수분해

F가 유한장일 경우, F에 계수가 있는 비정수 모노 다항식은 F에 계수가 있는 두 비정수 모노 다항식의 곱이 아니라면 F에 대해 환원할 수 없다.

필드 위의 모든 다항식 고리는 고유한 인수분해 영역이기 때문에 유한 필드 위의 모든 다항식은 고유한 방식으로 (인자의 순서까지) 환원 불가능한 다항식의 곱으로 인수분해될 수 있다.

다항식 불가분성을 테스트하고 유한 필드에 걸쳐 다항식을 인수분해하기 위한 효율적인 알고리즘이 있습니다.이는 정수 또는 유리수에 대한 다항식을 인수분해하는 핵심 단계입니다.적어도 이러한 이유로, 모든 컴퓨터 대수 시스템은 유한 필드 또는 적어도 유한 소수 필드에 걸쳐 다항식을 인수분해하는 함수를 가진다.

주어진 차수의 환원 불가능한 다항식

다항식

순서 q에 걸쳐 선형 인자로 인자를 변환합니다. 보다 정확하게는 이 다항식은 순서 q에 걸쳐 1차원의 모든 모노 다항식의 곱입니다.

이것은 만약 qⁿ = p라면^q, X - X는 GF(p)에 대한 모든 단일 환원 불가 다항식의 곱이며, 그 차수는 n을 나눈다는 것을 의미한다.실제로 P가 X - X의^q GF(p)보다 환원 불가능한 인자인 경우, 그 분할장이 GF(pⁿ)에 포함되므로 그 정도는 n으로 나누어진다.GF(p)정도 dn을 나누를 넘어서면 P씨는 더 이상 줄일 수 없는 모닉 다항식는가의 문제 및 P의 모든 뿌리 GF(pn)에 소속되어 있고 그리고 Xq − X의 뿌리, 따라서 PXq −을 나누는 정도 d의 GF(pn)에 포함된 분야 확장을 정의합니다 X띠 Xq − X지 않았으므로 어떤 다중 요인, 그것은 이에 따라 제품의 모든 근간을 이루모닉 polynomia.ls지모자 나누기.

이 속성은 GF(p)에 대한 각 다항식 차수의 환원 불가능한 인자의 곱을 계산하는 데 사용됩니다. 고유도 인수 분해를 참조하십시오.

유한 필드에 걸쳐 주어진 차수의 환원 불가능한 다항식 수

GF(q)에 대한 n차수의 N(q, n) 단수 불가축 다항식은 다음과 같이 주어진다^[4].

여기서 μ는 뫼비우스 함수입니다.이 공식은 X - X의 위^q 속성의 거의 직접적인 결과이다.

상기 식에 따르면 GF(q)에 대한 n차수의 환원불능(반드시 단수가 아님) 다항식의 수는 (q - 1)N(q, n)이다.

N(q, n)에 대한 (약간 간단한) 하한은

매 q 및 매 n에 대해 GF(q)에 대해 적어도 하나의 환원 불가능한 n의 다항식이 있다고 쉽게 추론할 수 있다.이 하한은 q = n = 2에 대해 선명합니다.

적용들

암호학에서, 유한 필드 또는 타원 곡선의 이산 로그 문제의 어려움은 Diffie와 같이 널리 사용되는 프로토콜의 기초이다.헬만 프로토콜.예를 들어, 2014년에 위키피디아에 대한 안전한 인터넷 연결에는 타원 곡선 Diffie-가 포함되었습니다.Hellman Protocol(ECDHE)이 큰 유한 ^[5]필드에 걸쳐 있습니다.부호화 이론에서, 많은 코드들은 유한한 필드 위에 벡터 공간의 부분공간으로 구성된다.

유한 필드는 Reed-Solomon 오류 수정 코드 또는 BCH 코드와 같은 많은 오류 수정 코드에 사용됩니다.컴퓨터 데이터는 2진수로 저장되기 때문에 유한 필드는 거의 항상 2의 특성을 가집니다.예를 들어 데이터의 바이트는 ${\displaystyle G}$ F${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}{8\mathrm{}}^{}}$) \ displaystyle $GF$( $2$^ { $8$} $)$의 $요소$로 해석할 수 있습니다.한 가지 예외는 PDF417 ${\displaystyle \mathrm{바코드}}$로${\displaystyle \mathrm{G}}$ F${\displaystyle }$($929$ ) \ $displaystyle GF$( 929$$) 。CPU에는 일반적으로 2의 유한한 특성 필드에 도움이 되는 특수한 명령이 있습니다.

정수에 대한 많은 문제들이 하나 또는 여러 개의 소수들을 줄임으로써 해결될 수 있기 때문에 유한장은 수 이론에서 널리 사용된다.예를 들어, 유리수 영역에 걸친 다항식 인수분해 및 선형 대수의 가장 빠른 알고리즘은 하나 또는 여러 개의 소수에서 감소 모듈로 진행되며, 그 후 중국 나머지 정리, 헨젤 리프팅 또는 LLL 알고리즘을 사용하여 해를 재구성한다.

비슷하게, 수 이론의 많은 이론적인 문제들은 일부 또는 모든 소수들의 축소모듈을 고려함으로써 해결될 수 있다.예를 들어 Hasse 원칙을 참조하십시오.대수기하학의 많은 최근의 발전은 이러한 모듈식 방법의 힘을 확장할 필요성에 의해 동기부여되었다.와일즈의 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 유한장을 포함한 많은 수학적 도구와 관련된 깊은 결과의 한 예이다.

Weil 추측은 유한장에 걸친 대수적 다양성에 대한 점의 수와 관련이 있으며, 이 이론은 지수 및 문자 합계 추정치를 포함한 많은 응용 분야를 가지고 있다.

유한 필드는 조합론에서 널리 적용되며, 두 가지 잘 알려진 예는 팔레 그래프의 정의와 아다마르 행렬에 대한 관련 구성이다.산술 조합학에서 유한장^[6] 및 유한장^[7][8] 모델은 산술 급수에 대한 Szemerédi의 정리처럼 광범위하게 사용된다.

내선번호

대수적 폐색

유한장 F는 대수적으로 닫히지 않는다: 다항식

f(α) = F의 모든 α에 대해 1이므로, 는 F에 근원이 없습니다.

${\displaystyle {}_{}}$q \ $displaystyle$$$\ $mathbb${ $F } _ { q$} $の$ closure $f{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbb{}}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\$ an $fix$ fix q \ displaystyle \$mathbb${$$F }$_$ {$q$}${\displaystyle q_{}}$: F${\displaystyle {\stackrel{}{}q}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbb{}}}_{}}$q ${\displaystyle q_{}}$ q$$q q q $q q$q q${\$ {\ $、 q${\ $、$ $q${\ 、 {\ {\ {\ 、 {\ {\$、$ fro {\ 、$line$ $line fro$ 、 fro^q fro fro fro fro fro {\ {\ {\ {\ fro fro {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ q {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\${\displaystyle q_{}}$의$$n번째 $반복$으로 고정된 F$$의$하위{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbb{}}}_{}}$ $필드({$$displaystyle$ \$varphi$$$_$$${$$q})$는 다항식^qn x - x의 0 집합이며, ${\displaystyle {}_{}}$q [$x ]$의 도함수({displaystyle $\mathbb {F})$는 1이다.따라서 이 서브필드에는 q개의 요소가 있습니다ⁿ.$따라서$ F${\displaystyle {\stackrel{}{}q}_{}}$의 F$q$$$\ $mathbb${ $F$$} _$$${ $q$$$} _ {$q$$$}$$$style$ F {\ {\ ${\ {\$ {\ {\ F ${\$ $f$ {\ $therefore$ therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore $therefore$ therefore therefore of of of therefore therefore of of of of of of of of of of therefore therefore of of f f of of of f ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ n of of of $n{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ of of of n of n$$ n n n of of of of of_${q}}$는 $이{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ $(\$입니다.

${\displaystyle {}_{}}$q \$displaystyle \mathbb {F}$ _${q}$의 절대 갈루아 그룹은 불특정 군이다. 여느 무한 갈로아 군과 마찬가지로 Gal${\displaystyle (}$ ( F${\displaystyle {\stackrel{}{}q}_{}}$q / ${\displaystyle {}_{}}$q$$) { $displaystyle \operatorname {Gal}(\overline {\mathbb {F}}/\mathbb {F} _{q})$은 크룰 토폴로지를 가질 수 있으며, 동형은 단지 위상군의 동형이다.${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ Gal의${\displaystyle }$${\displaystyle q_{}}$ ${$ $displaystyle$\$varphi$_ {$$${\displaystyle {q^{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}z\mathbf{}}$ Z /${\displaystyle {\stackrel{}{}n}_{{}^{}}}$ （${\displaystyle {{}^{}}_{}}$\ $displaystyle \operatorname { Gal$ } （ \ $overline$\$mathbbb { F } }$ } _ { {$q$} / \ $mathbbb$ { F $}$ $）$의 이미지${\displaystyle 1z\stackrel{}{\mathbf{}}}$ Z$^$ $displaystyle$1 $in${$mathbbf${ $Z }$。그 결과$$ \ $displaystyle$\ $varphi$_ {$q$ }의$$ 무한 차수를 가지며 Gal ${\displaystyle (}$ （ ${\displaystyle F_{}}$ / F$q ）$ \ displaystyle \$operatorname${ Gal } { Gal （ \ $f$） （ \$line ）$ ）의$조밀$한 서브그룹을 생성합니다.$요소{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle ^}$ $^$ {\$style$ 1$\in${\$widehat$$}$ ^ {\displaystyle 1\in {\$mathbf$ {Z$$$$$}}$ ${\displaystyle ^}$ .$$\$subsetneq${\$widehat {\$mathbf ${Z}}}$ } {\$$$${\ ${\ that$ that that of of of$of$of he of of of of of $of$ of of of of of of of of of $of{\displaystyle \mathbf{}}$ of of${\displaystyle \stackrel{}{}}$of${\displaystyle }$of of of of $he$${\displaystyle {}_{}}$q $)({displaystyle \operatorname {Gal}(\overline {mathbb {F}}}_{q}/\mathbb {F}_{q$

준대칭 폐색

유한 필드는 대수적으로 닫히지 않지만 준대수적으로 닫힙니다. 즉, 유한 필드 위의 모든 동종 다항식은 변수의 수가 그 정도보다 클 경우 필드에 성분이 있는 비삼차적인 0을 가집니다.이것은 체벌리에 의해 증명된 Artin과 Dickson의 추측이었다.

웨더번의 소정리

분할 링은 필드의 일반화입니다.분할 링은 가환으로 간주되지 않습니다.비변환 유한 분할 링은 없습니다.웨더번의 작은 정리는 모든 유한 분할 고리가 가환이며, 따라서 유한장이라는 것이다.이 결과는 우리가 연관성 공리를 대안성으로 완화하더라도 유지된다. 즉, 모든 유한한 대체 분할 고리는 Artin-Zorn ^[9]정리에 의해 유한한 필드이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 준 유한장
• 하나의 요소가 있는 필드
• 유한장 연산
• 유한환
• 유한군
• 초등 아벨 군
• 해밍 공간

메모들

레퍼런스

외부 링크

• 울프램의 유한장 연구.