순열 다항식

수학에서 순열 다항식($특정$ 링의 경우)은 반지의 원소를 순열하는 역할을 하는 다항식이며, 즉 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $x{\displaystyle (}$ ${\displaystyle g}$( x $){\displaystyle$x\$mapsto$ g($x)}$는 편향이다. 링이 유한한 필드인 경우 체비셰프 다항식과 밀접한 관련이 있는 딕슨 다항식(Dickson polyomial)이 예를 제시한다. 유한한 분야에 걸쳐서, 특히 그 분야의 요소들의 모든 순열은 다항 함수로 쓰일 수 있다.

유한 링 Z/nZ의 경우, 그러한 다항식도 연구되어 오류 검출 및 보정 알고리즘의 인터리버 요소에도 적용되었다.^[1][2]

유한 필드에 대한 단일 변수 순열 다항식

Let F_q = GF(q)는 특성 p의 유한 필드, 즉 일부 prime p에 대해^e q 요소를 갖는 필드가 된다. 계수가 F_q(f ial F[x]로_q 표기됨)인 다항식 f는 f에서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle c\mapsto f(c)}$에 의해 정의된 자체까지의_q 함수가 F의_q 순열인 경우$$ F의_q 순열 다항식이다.^[3]

F의_q 정밀성 때문에 이 정의는 다음과 같은 몇 가지 동등한 방법으로 표현할 수 있다.^[4]

• $c{\displaystyle }$ 함수 ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle c\mapsto f(c)}$이(가) on (굴절);
• $c{\displaystyle }$ 함수 ${\displaystyle \mapsto }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle c\mapsto f(c)}$은 일대일(수동)이다$$.
• f(x) = a는 각 a in F에_q 대해 F로_q 솔루션을 가지고 있다.
• f(x) = a는 각 a in F에 대해 F로_q 고유한 솔루션을 가지고 있다_q.

다항식이 순열 다항식이 되는 특성화:

(Hermite's ^[5][6]Criteria) f ] F_q[x]는 다음 두 조건이 유지되는 경우에만 F의_q 순열 다항식이다.

1. f는 정확히 하나의 루트를 F에_q 가지고 있다.
2. 1 ≤ t ≤ q - 2 및 ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \not\equiv }$ 0${\displaystyle }$(${\displaystyle 모드}$ p${\displaystyle }$) ${\$ 0$\!$${\pmod{p$ f(x)^t mod(x^q - x)의 감소폭은 q q - 2이다.

f(x)가 유한장 GF(q)에 대해 정의된 순열 다항식인 경우, GF(q)의 모든 ≠ 0, b, c에 대해 g(x+b) = f(x+b) + c이다. 순열 다항식 g(x)는 a, b, c가 선택되어 g(x)가 모닉이고, g(0) = 0이며, (특성 p가 다항식의 n을 나누지 않는 경우ⁿ⁻¹) x의 계수는 0이면 x의 계수는 정규화된다.

유한 분야에 걸쳐 정의된 순열 다항식들에 관한 많은 공개적인 질문들이 있다.^[7][8]

소도

Hermite의 기준은 계산적으로 집약적이며 이론적인 결론을 내릴 때 사용하기 어려울 수 있다. 그러나 딕슨은 그것을 모든 유한한 분야에 걸쳐 최대 5도 정도의 순열 다항식을 찾는 데 사용할 수 있었다. 이러한 결과는 다음과 같다.^[9][6]

정규화된q 순열 다항식 F	q
${\displaystyle x}$	임의의 $[\displaystyle q}$
${\displaystyle x^{2}}$	$0\displaystyle q\equiv 0\!{\pmod{2}}:}$
${\displaystyle x^{3}}$	$\displaystyle q\not \equiv 1\!{\pmod{3}}$
${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{3}-ax}($$$이 아닌$$ ${\displaystyle a})$	$0\displaystyle q\equiv 0\!{\pmod{3}}$
${\displaystyle x^{4}\pm 3x}$	${\displaystyle q=7}$
${\displaystyle x^{4}+a_{1$$}x^{2}+a_{2}x}($F의q 유일한 루트가 0인 경우)	$0\displaystyle q\equiv 0\!{\pmod{2}}:}$
${\displaystyle x^{5}}$	$\displaystyle q\not \equiv 1\!{\pmod{5}}$
${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{5}-ax}($${\displaystyle }$ 번째 전원이 아닌$$ ${\displaystyle a})$	$0\displaystyle q\equiv 0\!{\pmod{5}}$
${\displaystyle x^{5}+ax\, (a^{2}=2)}$	${\displaystyle q=9}$
${\displaystyle x^{5}\pm 2x^{2}}$	${\displaystyle q=7}$
${\displaystyle x^{5}+ax^{3$$}}\pm x^{2}+3a^{2}x}($$$이 아닌$$ ${\displaystyle a})$	${\displaystyle q=7}$
${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 5^{}}$ -${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ a ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ x$^{5}+ax^{3}+5^{1}a^{2}x}$ $$( ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle }$)	$\displaystyle q\equiv \pm 2\!{\pmod{5}}$
${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ 3 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ x$^{5}+ax^{3}+3a^{2}x}$ $$($$이 아닌$$ ${\displaystyle a})$	${\displaystyle q=13}$
${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{5}-2ax^{3}+a^{2}x}$ $$($$이 아닌$$ ${\displaystyle a})$	$0\displaystyle q\equiv 0\!{\pmod{5}}$

정규화된 형식의 모든 단일 순열 다항식 6도 목록은 Salue & Wanless(2013)에서 확인할 수 있다.^[10]

순열 다항식의 일부 클래스

위의 예 외에도, 다음 목록은 전체적이지는 않지만 유한한 분야에 걸친 순열 다항식의 알려진 주요 클래스를 거의 모두 포함하고 있다.^[11]

• x는ⁿ n과 q - 1이 동일 시간인 경우에만 GF(q)를 허용한다(^[12]논리적으로 (n, q - 1) = 1)
• a가 GF(q)와 n ≥ 1에 있는 경우, Dickson 다항식(첫 번째 종류의) D_n(x,a)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D_{n}(x,a)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n-j}{n-j}{\binom {n-j}}}{j}}}(-a)^{j}x-2}}.}$

이것들은 재귀에서도 얻을 수 있다.

${\displaystyle D_{n}(x,a)=xD_{n-1}(x,a)-aD_{n-2}(x,a),}$

${\displaystyle \mathrm{초기}}$ 조건 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}x}$, a ${\displaystyle )}$= 2 ${\displaystyle D_{0}(x,a)=2}$ 및 $D$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}x,}$ a )${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{1}(x,a)=x$ 처음 몇 개의 Dickson 다항식:

${\displaystyle D_{2}(x,a)=x^{2}-2a}$

${\displaystyle D_{3}(x,a)=x^{3}-3ax}$

${\displaystyle D_{4}(x,a)=x^{4}-4ax^{2}+2a^{2}}$

${\displaystyle D_{5}(x,a)=x^{5}-5ax^{3}+5a^{2}x.}$

≠ 0과 n > 1이면 D_n(x, a)는 (n, q - 1) = 1이면 GF(q²)를 허용한다.^[13] a = 0이면 D_n(x, 0) = x이고ⁿ 이전 결과는 그대로 유지된다.

• GF(q^r)가 r의 GF(q)의 연장인 경우, 선형화된 다항식

${\displaystyle L(x)=\Sigma _{s=0}^{r-1}\알파 _{s}x^{q^{s},}$

GF(q^r)에서 α를_s 가지는 것은 GF(q)를 통한 GF(q^r)의 선형 연산자다. 선형화된 다항식 L(x)은 GF(q^r)에서 L(x)의 유일한 루트가 0인 경우에만 GF(q^r)를 허용한다.^[12] 이 조건은 다음과^[14] 같이 대수적으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\rm {{det}\left(\i-j}^{q^{j}\right)\neq 0\cHB(i,j=0,1,\ldots,r-1)}}}$

GF(q^r)에 대한 순열 다항식인 선형화된 다항식은 합성 modulo $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {q{}^{}}^{}}$ -${\displaystyle {{}^{}}^{}q}$ -$$x {\$displaystyle x^{q^{r$}-x$\}$의 조작에 따라 그룹을 형성하는데, 이는 베티-마티외 그룹으로 알려져 있는 일반 선형 그룹 GL(r, F_q)에 이형이다.^[14]

• s가 q - 1을 나눌 때 g(x)가 다항 링 F_q[x]에 있고 g(x^s)가 GF(q)에서 nonzero 루트가 없고 r > 1이 q - 1에 상대적으로 prime(복사)인 경우 x^r(g(x^s)^{(q - 1)/s}는 GF(q)를 허용한다.^[6]
• GF(q)에 대한 순열 다항식의 다른 몇 가지 특정 클래스만 특징지어졌다. 예를 들어, 이 중 두 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle x^{(q+m-1)/m}+ax}$

여기서 m은 q - 1을 나눈다.

${\displaystyle x^{r}(x^{d}-a)^{{(p^{n}-1)/d}}$

여기서ⁿ d는 p - 1을 나눈다.

예외 다항식

GF(q)에 대한 예외적인 다항식은 F_q[x]의 다항식이며, 무한히 많은 m에^m 대한 GF(q)의 순열 다항식이다.^[15]

최대 q의^1/4 GF(q)에 대한 순열 다항식은 GF(q)에 비해 예외적이다.^[16]

GF(q)의 모든 순열은 예외적인 다항식으로 유도된다.^[16]

정수 계수를 가진 다항식(즉, ℤ[x]에서)이 GF(p)에 대한 순열 다항식이라면, 그것은 선형 다항식 및 딕슨 다항식의 구성이다.^[17] (아래 슈르의 추측 참조).

기하학적 예

유한 형상 좌표 설명에서 특정 점 세트의 유한 형상 좌표 설명은 더 높은 수준의 순열 다항식의 예를 제공할 수 있다. 특히 q의 검정력이 2인 유한 투영 평면에서 타원을 형성하는 점들은 유한장 GF(q)에 대한 특별한 형식의 순열 다항식인 o-polynomial에 의해 좌표 사이의 관계가 부여되도록 조정될 수 있다.

계산 복잡성

유한한 분야에 걸쳐 주어진 다항식이 순열 다항식인지 여부를 검정하는 문제는 다항식 시간 내에 해결할 수 있다.^[18]

유한 필드에 대한 여러 변수의 순열 다항식

A polynomial ${\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ is a permutation polynomial in n variables over ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ if the equation ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\alpha }$ has exactly ${\displaystyle q^{n-1}}$$$각 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$F q$${\$displaystyle \mathb {$F}$$$_{$q$}^{$$n}}$의$${\$displaystyle \alpha \in \mathb {F} _{$$q$$\}\}\}\}\}$^[19]에 대한 솔루션$$ {\$displaystystystyledesolutes$.

유한 링에 대한 2차 순열 다항식(QPP)

유한 링 Z/nZ의 경우 2차 순열 다항식을 구성할 수 있다. 실제로 일부 소수 p에 대해 n을 p로² 나눌 수 있는 경우에만 가능하다. 그 건축은 놀랍도록 간단하지만, 그럼에도 불구하고 그것은 어떤 좋은 성질을 가진 순열을 생산할 수 있다. 그렇기 때문에 3GPP 롱텀에볼루션 이동통신 표준의 터보 코드의 인터리버 컴포넌트에 사용되어 왔다(3GPP 기술 사양 36.212, 버전 8.8.0의 14페이지 참조).

간단한 예

링 Z/4Z에 대해$$ $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle g(x)=2x^{2}+x}$를 고려하십시오. 일람: $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{3};}$ g${\displaystyle }$( 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2;}$ ${\displaystyle \text{g}}$( ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$g ($0)=0;~g$(1$)=3;~g(2)=2;~g(3)=1},$ 그래서 다항식은 순열을 정의한다$.$

0 ) ${\${pmatrix

다른 링 Z/8Z에 대해$$ 동일한 $다항식{\displaystyle }$ g${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) = 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle g(x)=2x^{2}+x}$를 고려하십시오. One sees: ${\displaystyle g(0)=0;~g(1)=3;~g(2)=2;~g(3)=5;~g(4)=4;~g(5)=7;~g(6)=6;~g(7)=1;}$, so the polynomial defines the permutation

3 4 1) ${\$&7$\0&3&5&$5&4$&4$&4&4&4&$7&7&#1\end${pmatrix

링스 Z/pZ^k

링 Z/pZ에^k 대해$$ $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(x)=ax^{2}+bx+c}$를 고려하십시오.

보조정리: k=1 (즉, Z/pZ)에 대해 그러한 다항식은 0이 아닌 경우 a=0과 b의 경우에만 순열을 정의한다. 그래서 다항식은 이차적이 아니라 선형이다.

Lemma: k>1, p>2 (Z/pZ^k)의 경우, 이러한 다항식은 ${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle (mod}$ p${\displaystyle }$)$${\$displaystyle a\equiv 0{\pmod{p}}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle \not\equiv }$ 0${\displaystyle (mod}$ p${\displaystyle }$) ${\$ 0${\pmod}}}}$인 경우에만 순열을 정의한다$.$

링스 Z/nZ

$n{\displaystyle }$= p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ p ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2_{}}_{}^{}{{}_{}}_{}^{}}$.${\displaystyle }$. . . . ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\$1}^{1$}p_{1$}p_${$$2}}...$$p_{l}^{k_{l$ 여기서 p는_t 소수다.

Limma:어떤 다항식 g()))0+∑ 0<나는 M은 나는 x 나는{\displaystyle g())=a_{0}+\sum _{0<, i\leq M}a_{나는}x^{나는}});나는 M을 명확히 설명, pt≤)그 반지 Z/nZ을 위한 순열 만일 모든 다항식 gpt())0, pt+∑ 0<>를 정의합니다 나는{\displaystyle g_{p_{t}}())=a_{0,p_{t}}≤.+\sum_{0$<i\leq M}a_{i,p_{t}}x^{i}}$ defines the permutations for all rings ${\displaystyle Z/p_{t}^{k_{t}}Z}$, where ${\displaystyle a_{j,p_{t}}}$ are remainders of ${\displaystyle a_{j}}$ modulo ${\displaystyle p_{t}^{k_{t}}}$.

골수로서 다음과 같은 간단한 구조를 사용하여 많은 2차 순열 다항식을 구성할 수 있다. $n{\displaystyle }$= p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ p ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2_{}}_{}^{}{{}_{}}_{}^{}}$.${\displaystyle }$. . . . ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\$1}^{1$}p_{1$}p_${$$2}}...$p_₁${l}^{k_{l$ k >1로 가정한다.

, a=0모드 p1{\displaystyle a=0{\bmod{p}}_{1}}지만,≠ 0모드 p1k1{\displaystylea\neq 0{\bmod{p}}_{1}^{k_{1}}};나는 k a=0모드 p나는{\displaystyle a=0{\bmod{p}}_{나는}^{k_{나는}}를 취하다}, 나입니다.;1을 x2+b){\displaystyle ax^{2}+bx}를 생각해 보자.그리고 추정하는${\displaystyle }$b ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {mod}_{}}$ p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystyle$ $b\neq$ 0${\bmod{p}$$_{i}}$ 모든$$ i = 1 ... l. ($예$를 들어 ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$= p $1$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ k $2$ .${\displaystyle }$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$$.$p_{l}^{k_{l}}$ 및$$ $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b=1$} $$$.$ 그런 다음 그러한 다항식은 순열을 정의한다.

이를 보기 위해 우리는_i 모든 p, i > 1에 대해 이 2차 다항식 모듈로 p의_i 감소가 실제로 선형 다항식이며 따라서 사소한 이유로 순열한다는 것을 관찰한다. 첫 번째 소수에서는 앞에서 설명한 보조정리기를 사용하여 순열을 정의하는지 확인해야 한다.

예를 들어 Z/12Z 및 다항식 $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}x}$ ${\displaystyle 6x^{2}+x}$을(를) 고려하십시오$.$ 순열을 정의한다.

3 6 4 8 )${\$&5$&6&7&#8&#8$&#0&7&#$0&$7&#7&#$0&$7&$2&9&4$&11$&1$&8$&#8$

유한 링보다 높은 수준의 다항식

A polynomial g(x) for the ring Z/p^kZ is a permutation polynomial if and only if it permutes the finite field Z/pZ and ${\displaystyle g'(x)\neq 0{\bmod {p}}}$ for all x in Z/p^kZ, where g′(x) is the formal derivative of g(x).^[21]

슈르의 추측

K를 정수의 링 R과 함께 대수적 숫자 필드가 되게 하라. "슈르의 추측"이란 K에 대해 정의한 다항식 f가 무한히 많은 원시 이상 P에 대해 R/P에 대한 순열 다항식이라면 f는 딕슨 다항식, 도 1 다항식, x 형식의^k 다항식의 구성이라는 주장을 말한다. 사실 슈르는 이 방면에서 어떤 추측도 하지 않았다. 그가 그렇게 했다는 생각은 Fried 때문인데,^[22] Fried는 그 결과의 잘못된 버전에 대한 결함 있는 증거를 주었다. 턴월드와^[23] 뮐러가 정확한 증거를 제시했다.^[24]

메모들

참조

• Dickson, L. E. (1958) [1901]. Linear Groups with an Exposition of the Galois Field Theory. New York: Dover.
• Lidl, Rudolf; Mullen, Gary L. (March 1988). "When Does a Polynomial over a Finite Field Permute the Elements of the Field?". The American Mathematical Monthly. 95 (3): 243–246. doi:10.2307/2323626.
• Lidl, Rudolf; Mullen, Gary L. (January 1993). "When Does a Polynomial over a Finite Field Permute the Elements of the Field?, II". The American Mathematical Monthly. 100 (1): 71–74. doi:10.2307/2324822.
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 20 (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069. 7장.
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013). Handbook of Finite Fields. CRC Press. ISBN 978-1-4398-7378-6. 8장.
• Shallue, C.J.; Wanless, I.M. (March 2013). "Permutation polynomials and orthomorphism polynomials of degree six". Finite Fields and Their Applications. 20: 84–92. doi:10.1016/j.ffa.2012.12.003.