칼러 차동

수학에서, Kahler 미분류는 임의의 교환 고리 또는 계략에 대한 미분형식의 적응을 제공한다. 이 개념은 1930년대에 에리히 케흘러에 의해 도입되었다. 그것은 어느 정도 후에 교대 대수학 및 대수 기하학에서 표준으로 채택되었는데, 일단 복잡한 숫자에 대한 미적분학 및 기하학에서 그러한 방법을 사용할 수 없는 문맥에 이르기까지의 방법을 적응시킬 필요가 느껴지게 되었다.

정의

R과 S를 교화반지로 하고 φ : R → S는 고리동형주의로 한다. 중요한 예로는 R에 대한 장과 S에 대한 단항 대수(부종 좌표 링 등)가 있다. Kahler difference는 다항식의 파생상품이 다시 다항식이라는 관측을 공식화한다. 이런 의미에서 분화는 순수하게 대수학 용어로 표현할 수 있는 개념이다. 이 관찰은 모듈의 정의로 바뀔 수 있다.

${\displaystyle \Oomega_{S/R}}$

서로 다르지만 동등한 방법으로 차이를 만들 수 있다.

파생어를 사용한 정의

S에 대한 R-선형 유도체는 R-모듈 동형성 $d{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d:$$S\to M}$ to an S-module M with the image of R in its kernel, satisfying the Leibniz rule ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$. The module of Kähler differentials is defined as the S-module ${\displaystyle \Omega _{S/R}}$ for which there is a universal derivation ${\dis$$Playstyle d:$$S\to \Oomega_{S/R$ 다른 보편적 특성과 마찬가지로, 이것은 d가 S-module 동형성과의 조성에 의해 그것으로부터 다른 파생을 얻을 수 있다는 점에서 가능한 최선의 파생이라는 것을 의미한다. 즉, d를 사용한 구성은 모든 S-모듈 M에 대해 S-모듈 이형성을 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Oomega _{S/R}M){\xrightarrow {\cong }\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Ω과_S/R d의 1개 구조는 S의 각 s에 대해 하나의 공식 발전기 ds로 자유 S-module을 건설하고 관계를 부과함으로써 진행된다.

• dr = 0,
• d(s + t) = ds + dt,
• d(st) = s dt + t ds,

모든 R의 경우, 모든 S와 T의 경우. 보편적 파생은 s를 ds로 보낸다. 그 관계는 보편적 파생이 R-모듈의 동형상이라는 것을 암시한다.

확대 이상을 사용한 정의

또 다른 구성은 곱셈 맵의 커널로 정의된 $텐서{\displaystyle }$ 제품 S$$ ${\displaystyle {}_{}}$ S {\$displaystyle$ S$\otimes$_{R}$S}$에서 이상적이 되도록 함으로써 진행된다.

${\displaystyle {\displaysty}S\othes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\oth t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\cdot t_{i}\case}}}}}}}$

그런 다음 S의 Kahler differentials 모듈은 다음과^[1] 같이 동등하게 정의될 수 있다.

${\displaystyle \Oomega_{S/R}=I/I^{2},}$

그리고 보편적 파생은 동형상 d에 의해 정의된다.

$(\displaystyle ds=1\time s-s\time 1.)$

이 구조는 내가 투영의 커널이기 때문에 이전 것과 동등하다.

${\displaystyle {\displaysty}S\othes _{R}S\to S\othes _{R}R\\\\sum s_\i}\othsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\ot t}\ote1\case}}}}}}}$

따라서 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

$그런{\displaystyle }$ 다음 S${\displaystyle {}_{}}$⊗ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$/ ${\displaystyle S{}_{}}$⊗ R ${\displaystyle {}_{}}$ { R R ${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$을(를) 보완 투영에 의해 유도된 지도에 의해 I로 식별할 수 있다$$.

${\displaystyle \sum s_{i}\otime t_{i}\mapsto \sum s_{i}\ot t_{i}-\cdot t_{i}\ot t}\otime 1.}$

이것은 S에서 s에 대한 형식 발생기 ds에 의해 생성된 S-모듈로 I을 식별하며, d는 R의 각 원소를 0으로 보내는 R-모듈의 동형성이 된다. 내가² 지수를 따지자면 정확히 라이프니즈 법칙을 강요한다.

예시 및 기본 사실

$모든$ 정류 링 R에 대해$,$ 다항 링 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$[$$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, $t ]$의 Kahler 차등변수는 $변수들$의 차등변수에 의해 생성된 n등급의 자유 $S-모듈이다$$.$

${\desplaystyle \Oomega _{R[t_{1},\dots,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}$

Kahler differentials는 두 번째 R-algebra R′ 및 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ R ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle S'=R'\otimes _{R}S$에 이형성이 있다는 점에서 스칼라의 확장과 호환된다.

${\displaystyle \Oomega_{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Oomega_{S'/R'}}$

이것의 특별한 경우로서 케흘러 미분류는 국소화와 양립할 수 있는데, 이는 W가 S에 설정된 승수라면, 그 다음에 이형성이 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle W^{-1}\Oomega _{S/R}\cong \Oomega _{W^{-1}S/R}.}$

$두{\displaystyle }$ 개의 링 ${\displaystyle \mathrm{동형체}}$ R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$→ T ${\displaystyle R\to S\to T}$에 따라 T-module의 순서가 짧다$.$

${\displaystyle \Oomega_{S/R}\otimes _{S}T\to \Oomega_{T/R}\to 0.}$

$T{\displaystyle }$= ${\displaystyle S}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T=S/I}$이(가) 어떤 이상 I에 해당하면$$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {T/S}_{}}$ ${\$라는 용어가 사라지고$$ 다음과 같이 왼쪽에서 시퀀스를 계속할 수 있다.

${\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes:1}}\Oomega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Oomega _{T/R}\to.}}}}$

이 두 개의 짧은 정확한 시퀀스의 일반화는 코탄젠트 콤플렉스에 의해 제공된다.

The latter sequence and the above computation for the polynomial ring allows the computation of the Kähler differentials of finitely generated R-algebras ${\displaystyle T=R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$. Briefly, these are generated by the differentials of the varia방정식의 차이에서 오는 출혈과 관계 예를 들어, 단일 변수에 있는 단일 다항식의 경우,

${\displaystyle \Oomega_{(R[t]/(f)/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f)/(df)\cong R[t]/(f,df)\,dt.}$

Kahler는 계획을 위한 차이점

Kahler differentials는 현지화와 호환되기 때문에, 위의 두 가지 정의 중 하나를 open subschemes와 gling에 대해 수행함으로써 일반적인 방법으로 구성할 수 있다. 그러나 두 번째 정의는 바로 세계화되는 기하학적 해석을 가지고 있다. 이 해석에서 I는 스펙(S) → 스펙(R)을 넘어 스펙(S) 섬유제품의 대각선을 정의하는 이상을 나타낸다. 따라서 이 구조는 대각선의 첫 번째 극소수의 인접성에 대한 개념이 최소한 두 번째 순서로 사라지는 기능을 통해 포착된다는 점에서 더 기하학적인 풍미를 가진다(관련 개념의 경우 등각 공간 참조). Moreover, it extends to a general morphism of schemes ${\displaystyle f:X\to Y}$ by setting ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ to be the ideal of the diagonal in the fiber product ${\displaystyle X\times _{Y}X}$. The cotangent sheaf ${\displaystyle \Omega _{X/$$Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$, together with the derivation ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$ defined analogously to before, is universal among ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}$-linear derivations of ${\displaystyle {\mathcal$${O}_{X}}$ -모듈$$. 만약 U가 X의 오픈 아핀 하위 체임 V에 Y의 이미지가 포함되어 있는 X의 오픈 아핀이라면, 코탄젠트 셰이프는 마찬가지로 보편적인 U의 피복으로 제한한다. 따라서 U와 V의 기초가 되는 고리에 대한 Kahler 디퍼렌셜의 모듈에 관련된 피복이다.

정류 대수학 사례와 유사하게, 계략의 형태론과 관련된 정확한 순서가 존재한다. 주어진 형태변수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$ 및$$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g:$$X$ ${\displaystyle X}$에 대한 정확한 저장 순서가 있는 계획 Y$\to$ Z$}$

${\displaystyle f^{*}\Oomega _{Y/Z}\to 0} \Oomega _{X/Z}\to 0}$

또한 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset X}$이(가) 이상적인$$ $절편{\displaystyle \mathcal{}}$ I ${\$에 의해 제공된 폐쇄 하위 절편인 경우, $Z{\displaystyle }${\$displaystyle$ Z$}$에는 정확한 절편 순서가 있다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathcal {I}{\mathcal {I}^{2}}:}\to \Omga_{X/Y}\to \O}}\to \Omga _{Z/Y}\to 0}$

예

유한 분리 가능 필드 확장

$K{\displaystyle }$${\displaystyle /}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle$ $K/k$$}$이(가) 한정된 필드 확장인$$ 경우, K/${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle$ $\Oomega _{K/k}^{1$}=$0}$ K/k$}$이(가) 분리$$ 가능한 경우에만 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ K${\displaystyle {/}_{}^{}}$${\displaystyle k}$ = 1${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$. ${\displaystyle 따라서}$ $K{\displaystyle }$/ k ${\displaystyle K/k}$이(가) 유한 분리 가능한 필드 확장자이고$$ $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle \pi$:$Y\to \operatorname {Spec}(K)}$은(는) 매끄러운 품종(또는 구성표)이며, 그 다음 상대적 동선 시퀀스

${\displaystyle \pi ^{*}\Oomega _{K/k}^{1}\to \Oomega_{Y/k}^{1}\to 0}$

$\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y_{}^{}}$/ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ Y${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$1}:{$1}}}}$ 증명$.$

투영 품종의 코탄젠트 모듈

$투영{\displaystyle }$체계 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle Sch\mathbb{}}${$$/ k {\$displaystyle X\in$ \$operatorname {Sch}$ /\$mathb${k$}}}$을(를) 고려할 때$,$ 해당 동탄자 피복은 기본 등급 대수에 있는 동탄자 모듈의 피복으로 계산할 수 있다. 예를 들어, 복잡한 곡선을 고려하십시오.

${\displaystyle {\text{Proj}\왼쪽({\frac {\mathb {C}[x,y,z]}}}{{x^{n}+y^{n}-z^{n}}}\right)={\text{Proj}(R)}}}}$

그러면 우리는 cotangent module을 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle \Oba _{R/\mathb {C}={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdotdz}{nx^{n-1}dy-nz^{n-1}dy-n-n-1}dz}}}}}}}}}}}}}$

그러면.

${\displaystyle \Oomega_{X/\mathb {C}}={\widetilde {\Oomega_{R/\mathb{C}}}}}}}}}$

계획의 형태론

형태주의를 고려하라.

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\operatorname {Spec}(R)에 \mathb {C}[t]=Y}$

${\displaystyle \mathrm{Sch}}$ ${\displaystyle }$/ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에서$.$ 그러면 첫 번째 시퀀스를 사용하여 다음 사항을 확인하십시오.

${\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}\t}\to 0}에 {\widetilde}\prac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\x\dt}}\to \Oba _{X/Y}to 0}$

이 때문에

${\dx 스타일 \Oomega_{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}$

상위 미분형 및 대수학 de Rham 코호몰로지

드 람 콤플렉스

전과 같이 $지도{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle$ X$\to Y}$을(를) 수정한다$.$ 높은 수준의 차등 형태는 외부 파워로 정의된다($$${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$

${\displaystyle \Oomega _{X/Y}^{n}}=\bigwedge ^{n}\Oomega _{X/Y}.}$

파생 ${\displaystyle {OX}_{}}$→ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 일련의 지도에 자연스럽게 확장된다$$.

${\displaystyle 0\to {\mathcal{O}_{X}{\xrightarrow{d}}}\Oomega _{X/Y}^{d}}}{X/Y}^{xrightarrow{d}}}\cdots }}}}}}$

$만족{\displaystyle }$ d${\displaystyle d}$d = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle d\property$ d$=0.$$}}$ 드 람 콤플렉스로 알려진$$ 코체인 콤플렉스다.

데 라함 콤플렉스는 쐐기 제품인 추가적인 승화 구조를 누린다.

${\displaystyle \Oomega \{X/Y}^{n}\otimes \Oomega _{X/Y}^{m}\to \Oomega _{X/Y}^{n+m}}}}}$

이것은 데 람 콤플렉스를 역차 등급의 대수학으로 바꾼다. 그것은 또한 외부 대수학에서 유전된 결합형 구조를 가지고 있다.^[2]

드 람 코호몰로지

셰이브 데 람 콤플렉스의 하이퍼코호몰로지(hypercohomology)는 Y에 대한 X의 대수학 de Rham cohomology라고 불리며, ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle X}$/ $){\displaystyle H_{\text{d$)로 표시된다.$R}}^{n}(X/Y)}$ 또는$$ ${\displaystyle {\text{HdR}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle H_{\text{d$.R$}}^{n}(X)}$ Y가 컨텍스트에서 지워진 경우$$ (많은 상황에서 Y는 특성 0의 필드의 스펙트럼이다.) 대수학 de Rham cohomology는 Grotendieck (1966a) harvtxt error: no target: CITREFGrotendieck1966a (도움말)에 의해 도입되었다. 그것은 결정학과는 밀접한 관련이 있다.

다른 준정합성 피복의 일관성 있는 코호몰로지로부터 잘 알 수 있듯이, X = 스펙 S, Y = 스펙 R이 부속 체계일 때 de Rham cohomology의 연산은 단순화된다. 이 경우, 아핀 체계는 상위 코호몰리를 가지고 있지 않기 때문에, $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$n ( ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle H_{\text{d$.$R}^{n}(X/Y)}$은(는) 아벨 그룹 콤플렉스의 코호몰로지로서 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow{d}\Oomega _{S/R}^{d}}\xrightarrow {d}^{S/R}}}{\xrightarrow {d}\cdots }}}$

즉, 용어는 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$/ ${\displaystyle Y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 절단하는 글로벌 섹션이다$.$

To take a very particular example, suppose that ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$ is the multiplicative group over ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Because this is an affine scheme, hypercohomology reduces to ordinary cohomology. 대수학 데 람 콤플렉스는

${\displaystyle \mathb{Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}\mathb {Q}[x,x^{-1}]\dx.}$

차등 d는 $d{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle x^{}}$- 1 ${\displaystyle d{}^{}}$ ${\displaystyle x}$ .${\displaystyle d(x^{n}=nx^{n1}\,dx.}$를 의미하는 미적분학의 일반적인 규칙을 준수한다.$$ 커널과 코커넬 계산 대수학 de Rham cohomology, so1

${\displaystyle {\reasoned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathb {Q} \\H_{\text{d.R}}^{1}(X)&=\mathb {Q} \cdot x^{-1}dx\ended}}}$

그리고 다른 모든 대수학 de Rham cohomology 그룹은 0이다. 비교하자면, $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ p${\displaystyle {}_{}}$[ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ Y$=\operatorname {Spec} \mathb {F} _{p}\왼쪽[x,x^{-1}\right]$의 대수학 de Rham cohomology 그룹은 훨씬 크다$$.

${\displaystyle {\reasoned}H_{\text{dR}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathb {Z}}\mathb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\\H_{\text{dR}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathb {Z}}\mathb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\ended}}}}}}}$

이러한 코호몰로지 집단의 베티 수가 예상과 다르기 때문에, 이 문제를 해결하기 위해 결정적인 코호몰로지(crystaline cohomology)가 개발되었다; 그것은 유한한 분야에 대한 웨일-코호몰로지 이론을 정의한다.

그로텐디크의 비교 정리

X가 $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 사양\mathbb{}}$ ${\displaystyle }$ C${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathb {C}$에 대해 평활하면 자연 비교 지도가 있다$$$.$

${\displaystyle \Oomega_{X/\mathb {C}^{r}(X)\to \Oomega_{X^{\text{an}}^{r}(X^{\text}})}}}}}}$

X의 Kahler (즉, 대수학) 차등 형태와 매끄러운 (즉, 모든 주문의 파생상품이 있음) 차등 형태 사이에 X와 연관된 복합 다지관인$$$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{an}}^{}}$ ${\$ X$^{\textan}}}$의 차등 형태가 있다. 이 지도가 이형일 필요는 없다. 단, X가 아핀 품종일 때는 유도지도가 된다.

${\displaystyle H_{\text{d.R}}^{r}(X/\mathb {C} )\to H_{\text{d.R}}^{r}(X^{\text{an}})}$

대수학과 평활 데 람 코호몰로지 사이는 이소모르프인데, 그로텐디크(1966a) 하브텍스트 오류: no target: CITREFGroteck1966a (도움말)에서 처음 보여졌다. 부드럽지만 반드시 붙이는 품종은 아니지만, 데 람 콤플렉스 대수학의 하이퍼코호몰로지(hypercohomology)와 단일한 코호몰로지(single cohomology)를 연관시키는 이형성이 있다. Weil cohomology의 개념을 사용한 이러한 비교 결과에 대한 증거는 Cisinski & Déglise(2013)에 의해 제시되었다.

단수 사건에 Counter-examples이 채점한 반지 k 같은non-Du 부아 특이점 y{이\displaystyle}과deg ⁡(y)=3{\displaystyle \deg(y)=3}과deg ⁡=2{\displaystyle \deg())=2} 다른 countere .[3]())[), y]/(y 2− x3){\displaystyle k[x, y](y^{2}-x^{3})}로 발견할 수 있다.xam플라이는 Milnor와 Tjurina 번호가 같지 않은 분리된 특이점이 있는 대수 평면 곡선에서 찾을 수 있다.^[4]

적용들

정관격리

X가 필드 k에 걸쳐 부드러운 품종이라면 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X/k}_{}}$ ${\$은(는) X의 치수와 같은 등급의 벡터 번들($,$ 국소적으로 자유로운 O X {\$displaystystyle$ {\mathcal${O}_{X}}-$module$$)이다$$.^{[clarification needed]} 이것은, 특히, 라는 것을 암시한다.

${\displaystyle \omega _{X/k}=\bigwedge ^{\dim X}\Oomega _{X/k}}$

선다발 또는 동등하게 구분자. 그것은 정론적인 구분자로 불린다. 정론적 구분자는 밝혀진 바와 같이 이원화 콤플렉스여서 세레 이원성이나 베르디에 이원성과 같은 대수 기하학에서 다양한 중요한 이론에 나타난다.

대수곡선의 분류

필드 k 위에 놓인 차원 d의 부드러운 대수적 다양성 X의 기하학적 속은 치수로 정의된다.

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Oomega _{X/k}^{d}).}$

곡선의 경우, 이 순수 대수적 정의는 위상적 정의(${\displaystyle k\mathbb{}}$ ${\displaystyle =}$ C$${\$displaystyle$ k$=\mathb {C}$와 X와 연관된 리만 표면의 "핸들 수"로서 일치한다. g가 각각 0(합리 곡선), 1(엘리틱 곡선), 1(과대곡선 포함) 이상인 경우(과대곡선 포함) 곡선의 속성에 따라 기하학적 특성과 산술적 특성의 다소 날카로운 삼분법이 있다.

접선다발과 리만-로치 정리

부드러운 버라이어티 X의 접선다발은 정의상 코탄젠트 쉐이프 ${\displaystyle {X/k}_{}}$ ${\$의 이중이다$.$ 리만-로치 정리와 그 광범위한 일반화, 그로텐디크-리만-로치 정리는 접선다발의 토드 계급을 결정적인 성분으로 포함하고 있다.

미묘화 및 매끄러운 형태론

미분층의 피부는 다양한 알헤브로-기하학적 개념과 관련이 있다. $형태론{\displaystyle }$ ${\displaystyle f_{}}$${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:$${\displaystyle X_{}}$$\to$ Y$}$ 체계들은$$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$/ Y ${\$가 0인 경우에만 구성되지 않는다.^[5] 필드 k의 경우 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle k}$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$/ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K:=k[t]/f}$은(는) k ifff $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ K${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \Oomega _{K/k}=0$에 대해 분리가 가능하며$$ 위의 계산에서도 읽을 수 있다.

유한형의 형태론 f는 평탄하고 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$$/$${\displaystyle Y_{}}$ ${\$$X$$/Y}}$이(가) $국소적$으로 자유로운 ${\displaystyle {OX}_{}}$ {\$displaystyle$ {\$mathcal{O}_${X$}}$ -모듈이면$$ 부드러운 형태론이다. The computation of ${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$ above shows that the projection from affine space ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$ is smooth.

기간

기간은 대체로 산술적으로 정의된 특정한 미분형식의 통합이다.^[6] 한 기간의 가장 간단한 예는 다음과 ${\displaystyle \mathrm{같이}}$ 발생하는 2 $\$ i {\$displaystyle$ 2\$pi i}$이다$.$

${\displaystyle \int_{S^{1}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

대수학 de Rham cohomology는 기간을 다음과 같이 구성하는데 사용된다.^[7] $Q{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb{Q}$에 정의된 대수적 다양성 X의 경우, 위에서$$ 언급한 기저 변화와의 호환성은 자연스러운 이형성을 산출한다.

${\displaystyle H_{\text{d.R}}^{n}(X/\mathb {Q} )\times _{\mathb {Q}}\mathb {C} =H_{\text{d.R}}^{n}(X\otimes _{\mathb {Q} }\mathb {C} /\mathb {C}).}$

한편, 우측 코호몰로지 그룹은 X와 연관된$$ $복합다지관{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{X}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$an ${\$ X$^{\text{an}}$의 드 Rham 코호몰로지(De Rham cohomology)에 대해 이형성이 있으며, $여기$서 H ${\displaystyle {\text{dR}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{an}}^{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystystyle H_{\d$$.$$R}}^{n}(X^{\text{an}).$$}$ Yet another classical result, de Rham's theorem, asserts an isomorphism of the latter cohomology group with singular cohomology (or sheaf cohomology) with complex coefficients, ${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$, which by the universal coefficient theorem is in its turn isomorphic to ${\displaystyle H^n}$${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$ Composing these isomorphisms yields two rational vector spaces which, after tensoring with ${\displaystyle \mathbb {C} }$ become isomorphic. 이러한 합리적 하위 영역의 기준(레이티스라고도 함)을 선택하면, 기저 변화 행렬의 결정요인은 복잡한 숫자로, 합리적인 숫자에 의해 곱셈까지 잘 정의된다. 그런 숫자는 마침표다.

대수적 수 이론

대수적 수 이론에서, Kahler 미분들은 대수적 수 영역의 확장에서의 래미화를 연구하기 위해 사용될 수 있다. L/K가 각각 정수 O와 o의 링을 가진 유한한 확장인 경우, 램지화 데이터를 인코딩하는 다른 이상 Δ는_{L / K} O-module Ω의_O/o 전멸기다.^[8]

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O:x\,dy=0{\text{{모든 }y\in O\}.}$

관련 개념

호치차일드 호몰로지(Hochschild homology)는 케흘러 차이에 밀접하게 연관되어 있는 것으로 판명되는 연상 고리에 대한 호몰로지 이론이다. This is because of the Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem which states that the Hochschild homology ${\displaystyle HH_{\bullet }(R)}$ of an algebra of a smooth variety is isomorphic to the de-Rham complex ${\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}$ for ${\displaystyle k}$ a field of character이스트틱 $0{\displaystyle \mathrm{}}$[\$displaystyle 0$ 이 정리의 파생된 강화는 차등 등급 대수의 호치차일드 호몰로지(Hochschild homology)가 파생된 de-Rham 복합체(de-Rham complex)에 대해 이형체라고 명시하고 있다.

드 럼-위트 콤플렉스는, 매우 대략적으로, 위트 벡터의 링을 위한 데 럼 콤플렉스의 강화다.

메모들

참조

• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), "Mixed Weil cohomologies", Advances in Mathematics, 230 (1): 55–130, arXiv:0712.3291, doi:10.1016/j.aim.2011.10.021

• Grothendieck, Alexander (1966a), "On the de Rham cohomology of algebraic varieties", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, MR 0199194, S2CID 123434721CS1 maint: 날짜 및 연도(링크) (1963년 10월 14일, Michael Atiyah에게 보내는 편지)

• Grothendieck, Alexander (1966b), Letter to John Tate (PDF)CS1 maint: 날짜 및 연도(링크)

• Grothendieck, Alexander (1968), "Crystals and the de Rham cohomology of schemes" (PDF), in Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L.; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced studies in pure mathematics, 3, Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358, MR 0269663
• Johnson, James (1969), "Kähler differentials and differential algebra", Annals of Mathematics, 89 (1): 92–98, doi:10.2307/1970810, JSTOR 1970810, Zbl 0179.34302
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Matsumura, Hideyuki (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
• Rosenlicht, M. (1976), "On Liouville's theory of elementary functions" (PDF), Pacific Journal of Mathematics, 65 (2): 485–492, doi:10.2140/pjm.1976.65.485, Zbl 0318.12107
• Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011), "Some remarks on Kähler differentials and ordinary differentials in nonlinear control systems", Systems and Control Letters, 60: 699–703, doi:10.1016/j.sysconle.2011.05.006

외부 링크

• p-adic 대수학 de-Rham cohomology - 동기로 특징 0에 대한 많은 계산을 제공한다.
• 대수적 및 분석적 미분 형식에 대한 관계에 대한 나사산
• 차등(스택 프로젝트)