최종생성군

대수학에서, 정밀하게 생성된 그룹은 G의 모든 요소가 유한 집합 S의 많은 요소와 그러한 요소들의 반대편의 조합으로 쓰여질 수 있도록 약간의 유한 생성 집합 S를 가지고 있는 그룹 G이다.^[1]

S는 G 그 자체로 취할 수 있기 때문에, 정의에 의해 모든 유한 집단은 미세하게 생성된다. 무한정 세부적으로 생성된 모든 그룹은 셀 수 있어야 하지만 셀 수 있는 그룹은 세밀하게 생성할 필요가 없다. 합리적 숫자 Q의 첨가제 그룹은 정밀하게 생성되지 않은 계수 가능한 그룹의 예다.

예

• 미세하게 생성된 그룹 G의 모든 지수는 미세하게 생성되며, 지수 그룹은 표준 투영 하에서 G의 생성자의 영상에 의해 생성된다.
• 정밀하게 생성된 그룹의 하위 그룹은 정밀하게 생성될 필요가 없다.
• 단일 원소에 의해 생성되는 그룹을 순환이라고 한다. 모든 무한 순환 그룹은 정수Z의 첨가 그룹과 이형성이다.
  • 국소 순환 그룹은 모든 미세하게 생성된 하위 그룹이 순환하는 그룹이다.
• 유한 집합의 자유 그룹은 그 집합의 요소들에 의해 정밀하게 생성된다(§Examples).
• Fortiori, 모든 정밀하게 제시된 그룹(§Examples)이 정밀하게 생성된다.

미세하게 생성된 아벨리아 그룹

모든 아벨 그룹들은 정수 Z의 링 위에 모듈로 보일 수 있고, 발전기 x₁, ..., x를_n 가진 미세하게 생성된 아벨 그룹에서는 모든 그룹 요소 x가 이들 발전기의 선형 조합으로 기록될 수 있다.

x = α₁⋅x₁ + α₂⋅x₂ + ... + α_n⋅x_n

정수 α₁, ..., α로_n.

미세하게 생성된 아벨리아 그룹의 하위 그룹은 그 자체로 미세하게 생성된다.

미세하게 생성된 아벨리아 집단의 근본적인 정리는 미세하게 생성된 아벨리아 집단은 유한 계급의 자유 아벨리아 집단과 유한 아벨리아 집단의 직접 합이며, 각각 이소모르피즘에까지 고유한 집단이다.

부분군

정밀하게 생성된 그룹의 하위 그룹은 정밀하게 생성될 필요가 없다. 두 발전기에서$$ 자유 ${\displaystyle {그룹\mathrm{}}_{}}$ F$$2 {\$displaystyle F_{$2}}의 정류자 하위 그룹은 정밀하게 생성되지 않은 정밀하게 생성된 그룹의 하위 그룹의 예다.

반면에, 미세하게 생성된 아벨리안 집단의 모든 하위 집단은 미세하게 생성된다.

정밀하게 생성된 그룹에서 유한 지수의 하위 그룹은 항상 정밀하게 생성되며, 슈레이어 지수 공식은 필요한 발전기 수에 대한 한계를 제공한다.^[2]

1954년 앨버트 G. Howson은 자유 집단의 두 하위 집단의 교차점이 다시 정밀하게 생성된다는 것을 보여주었다. 또한 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ $및$ n ${\displaystyle n}$이(가) 두 개의 미세하게 생성된 하위 그룹의 생성자 수인$$ 경우, $이들$의 ${\displaystyle \mathrm{교차점}}$은 최대${\displaystyle \mathrm{2m}}$ n${\displaystyle }$- m${\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$ +$$ {\$displaystyle 2mn-m-n-n+1}$개의$$ 생성자에 의해 생성된다.^[3] 이 상한은 이후 Hanna Neumann에 의해 $2{\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle \mathrm{m}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ 1 $(\displaystyle$ 2 $(m-1)(n-1)+1}$로 크게 개선되었다$.$ 자세한 내용은 Hanna Neuman 추측을 참조하십시오.

그룹의 모든 하위 그룹이 미세하게 생성되는 경우에만 그룹 내 하위 그룹의 격자는 오름차순 체인 조건을 만족한다. 모든 하위 그룹이 미세하게 생성되는 그룹을 노메테리아라고 부른다.

미세하게 생성된 모든 하위 그룹이 유한한 그룹을 국소적으로 유한하다고 한다. 국소적으로 유한한 모든 집단은 주기적이다. 즉, 모든 원소는 유한한 질서를 가지고 있다. 반대로, 모든 주기적인 아벨 그룹들은 국소적으로 유한하다.^[4]

적용들

기하학적 집단 이론은 정밀하게 생성된 집단의 대수적 특성과 이러한 집단이 작용하는 공간의 위상학적, 기하학적 특성 사이의 연관성을 연구한다.

관련 개념

정확히 생성된 그룹에 대한 단어 문제는 그룹의 생성자에 있는 두 단어가 동일한 요소를 나타내는지의 결정 문제다. 주어진 정밀하게 생성된 그룹에 대한 단어 문제는 그룹이 대수적으로 닫힌 모든 그룹에 포함될 수 있는 경우에만 해결할 수 있다.

그룹의 순위는 종종 그룹에 대한 생성 집합의 가장 작은 카디널리티로 정의된다. 정의상 미세하게 생성된 집단의 순위는 유한하다.

참고 항목

• 미세하게 생성된 모듈
• 그룹 표시

메모들

참조

• Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.