대각 펑터

In category theory, a branch of mathematics, the diagonal functor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ is given by ${\displaystyle \Delta (a)=\langle a,a\rangle }$, which maps objects as well as morphisms.This functor can be employed to give a succinct alternate description of the product of objects within the category ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$: a product ${\displaystyle a\times b}$ is a universal arrow from ${\displaystyle \Delta }$ to ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$. The arrow comprises 투영 지도

보다 일반적으로 소규모 $인덱스{\displaystyle \mathcal{}}$ 카테고리 J ${\$ {$J}$을$($를) 지정하면 펑터 ${\displaystyle {카테고리}^{\mathcal{}}}$ $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ J$${\$displaystyle${\$mathcal{C}^{\mathcal {J}$을(를) 구성할 수 있으며$,$ 이 카테고리를 다이어그램이라고 한다.$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의$$각 $개체{\displaystyle }$ a ${\displaystyle$ a$}$에 대해 상수 다이어그램${\displaystyle {}_{}{\Delta }_{}}$ a : ${\displaystyle J\mathcal{}}$→ C ${\$가 있다.${\$$mathcal {{J$$}\$ {\$mathcal${$J$$}}$의 모든 $개체$를 {\$displaystyle$ $a}$에$$매핑하는$$ {\displaystyle a}에$$ 매핑하고, J$${\$displaystyle {\mathcal {J}$의 모든 형태론을 1 ${\displaystyle a_{}}$ ${\$에 매핑하는 $\{\backslash \}.$The diagonal functor ${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ assigns to each object ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ the diagram ${\displaystyle \Delta _{a}}$, and to each morphism ${\displaystyle f:a\ri$$ghtarrow b}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ the natural transformation ${\displaystyle \eta }$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ (given for every object ${\displaystyle j}$ of ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ by ${\displaystyle \eta _{j}=f}$).따라서 $예$를 들어 J ${\$이(가) 두 개 객체가 있는 이산 범주인 경우 대각선 펑터 $C{\displaystyle \mathcal{}}$→ ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\$오른쪽 $화살표 {\mathcal}\times {\mathcal}}}$이(가) 복구된다$$.

대각선 펑터는 다이어그램의 한계와 코리미트를 정의하는 방법을 제공한다.Given a diagram ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$, a natural transformation ${\displaystyle \Delta _{a}\to {\mathcal {F}}}$ (for some object ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) is called a cone for ${\displa$$ystyle {\mathcal {F}}}$. These cones and their factorizations correspond precisely to the objects and morphisms of the comma category ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$, and a limit of ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a terminal object in ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\m$$athcal {F}})}$, i.e., a universal arrow ${\displaystyle \Delta \rightarrow {\mathcal {F}}}$. Dually, a colimit of ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is an initial object in the comma category ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )}$, i.e., a universal arrow ${\displaystyle {\$$mathcal {F}\오른쪽$ 화살표 $\Delta$ $\}.$

If every functor from ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ to ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ has a limit (which will be the case if ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is complete), then the operation of taking limits is itself a functor from ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ to ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathcal{C}}$ ${\$ 한계 펑터는 대각 펑터의 오른쪽 맞춤이다.마찬가지로, 콜리밋 펑터(범주가 cocomful인 경우 존재함)는 대각선 펑터의 좌대칭이다.

예를 들어 위에서 설명한$$ 대각선 $펑터{\displaystyle \mathcal{}}$ C${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\$는 바이너리 제품 펑터의 왼쪽 적응점이며 바이너리 코프로덕트 펑터의 오른쪽 적응점이다.그 밖에 잘 알려진 예로는 스팬의 한계인 푸시아웃과 빈 범주의 한계인 터미널 오브젝트가 있다.

참고 항목

• 다이어그램(범주 이론)
• 원뿔(범주론)
• 대각형 형태론

참조

• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory. New York: Springer-Verlag. pp. 20–23. ISBN 9780387977102.

• May, J. P. (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. p. 16. ISBN 0-226-51183-9.

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